X := p[77iu)^ Z'= p'( 771U) p' (u

X = p(7lZU), Z = p'(— 71ZU) p'{u),

puisque la somme des arguments

( 771 -+- 71Z)U^ 772 U^ 71ZII

correspondant à ces trois points est nulle. Soit

z = ax -\- b

l'équation de la droite joignant ces trois points, où a et b sont des fonctions rationnelles àe y. Alors, en revenant à la surface

z^^=f{x)f{y), l'expression

ax -^ b ^ z log , —

ax -^ b -^ z

permet de ramener le couple de courbes logarithmiques correspondant à

aux couples qui correspondent à

u — mu et ç = nsu.

C'est toujours le même mode de raisonnement, et, finalement, nous sommes ramené aux deux couples relatifs à

x =^ y et ^ = zy .

23. Par suite, dans notre exemple actuel, on voit immédiatement cjue l'on peut se borner à envisager les intégrales de différentielles totales de la forme

P dcû -1- Q dy

{x—y){^x—zy)s/f^oc)f{y)''

P et Q étant des polynômes en x à coefiicienLs rationnels en y.

L'intégrale diffère de celle cjue nous avons étudiée au § 21 par la présence au dénominateur du facteur x — zy. Mais les raisonnements faits (/oc. cit.) vont encore être applicables avec peu de modifications, et nous arriverons à la même conclusion, à savoir que toutes les intégrales relatives à la surface

se ramènent encore à des combinaisons algébrico-logarithmiques. P\.eportons-nous en effet à la figure faite plus haut; a, 6, c représentent les trois racines de 4.^^ — i . 11 faudrait encore marquer le point correspondant à y s. SijK est voisin de a, le point yz sera voisin de l'un des deux autres points. Supposons cju'il soit voisin de c. Toutes les parties du raisonnement fait au § 21 sont encore applicables, puisque le point ^s restant voisin de c n'amène aucune modification dans F, cjuand y tourne autour de a. On arrive donc encore à une contradiction, et, par suite, l'intégrale dont nous avons admis l'existence ne peut être construite, et les seules intégrales sont des combinaisons algébrico-logarithmiques.

24. Examinons quelques autres cas. Soit la surface ^2 ^ a{y)x'^-^ b{y), OÙ a et b sont des polynômes en y. 11 n'y a pas en général de

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fondions rationnelles z et x de jk satisfaisant à cette relation. Admettons en effet qu il en soit autrement et posons

on aura

X et Z sont visiblement des fonctions rationnelles de jk et de 9, ne se réduisant pas à des constantes, en posant

L'intégrale de première espèce

de la courbe (3) doit donc se transformer en une intégrale de première espèce de la courbe (4). Or a qI b étant des polynômes arbitraires, il n'y a pas d'intégrale de première espèce de la courbe (4) n'ayant que deux périodes; l'iiypothèse faite est donc inadmissible. Ce mode de raisonnement permettrait même, en approfondissant davantage, de reconnaître dans quels cas il serait possible de trouver x qI z rationnelles en y et satisfaisant à l'équation de la surface,

23. Du cas particulier précédent on conclut que, en général, on ne peut satisfaire à T équation

(où a, 6, c, d sont des polynômes arbitraires en y) en prenant pour z el X des fractions rationnelles de y. On exclut, bien entendu, ici comme plus haut, le cas de ^ et ^ identiquement infinies. Gomme, en général, une telle surface n'a pas d'intégrales de dilférentielles totales de seconde espèce non rationnelles, on arrive à la même conclusion que plus haut pour t outes les intégrales de différentielles totales de cette surface.

A la vérité, l'étude complète des cas où l'on peut satisfaire à

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l'équation (4) par des fonctions rationnelles ^ et^ dej^^ne semble pas facile. A cet égard, le calcul des nombres des constantes indéterminées se présentant dans le problème n'est pas sans intérêt. On ne diminue pas la généralité en supposant que a, 6, c, cl sont des polynômes de degré pair im en y. Soit, de plus,

U et ^ étant des polynômes de degré tj. en y . On devra pouvoir choisir ces polynômes de manière que le produit

{^aiy^ii^ -h h {y) ii^-ç -\- c{y) uv^- -^ d{y)v^]{>

soit un carré parfait. Comme le polynôme précédent est de degré 2 Jii + 4 ^-■) ^1^ aura

m -f- 2 [JL,

conditions à écrire. Or le nombre des constantes figurant dans u et (^ (d'une manière non homogène) est

L'inégalité

montre qu'en général le problème est impossible.

En général, la surface (4) sera de genre géométrique supérieur à zéro^ et les fonctions rationnelles ^ et ^ de y, qui pourraient satisfaire à la relation (4), ne dépendront pas alors d'un paramètre arbitraire; car, sur une surface algébrique pour laquelle /?o- >> Oj on ne peut avoir une suite continue de courbes unicursales. Les solutions (^, z), en nombre fini ou infini, ne pourront donc former qu'une suite discontinue. C'est ce que nous avons trouvé pour le cas étudié plus haut en détail: il y avait alors une infinité de solutions dépendant d^ un entier arbitraire.

D'ailleurs, en général, pour la courbe (4)^ on pourra déduire d'une solution rationnelle une infinité d'autres, car, en menant la tang-ente au point correspondant, on aura par son intersection avec la courbe un second point à coordonnées rationnelles, et ainsi de suite^ en remarquant de plus que deux points en donnent

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270 CHAPÏTRE IX.

LUI troisième. C'est ainsi, en fait, que se sont trouvés obtenus tous les points cherchés sur la courbe z- ^=^ f\x) f{y) (^).

26. Arrêtons-nous encore sur un cas particulier, celui de la surface

(5) ^'- -= ci.{y)x'^ — b{y),

a elb étant des polynômes arbitraires en y. D'après notre théorie générale, nous avons à étudier les équations

(6) ^2 ■4-P(y)^-l- Q(jk) = o (P et Q rationnelles en 7),

telles que, x el y satisfaisant à une telle relation, z soit fonction rationnelle de œ et y. Cherchons les équations (6) jouissant de cette propriété, en supposant que a et b sont des polynômes non spéciaux .

On aura, pour x satisfaisant à l'équation (6),

M et N étant des fonctions rationnelles de y. Soit maintenant

on aura

ace'* — b = a{x — 0) (a? + 0) (^ + 6 ?:) (^ — 0 i).

Si donc nous posons

cv — O = ---,

on pourra écrira

ax'*~b= ^ (2X-f-i)[X(i-0-l-i][X(n-Ô-^J] L'identité (7) devient alors

(7^^^"0 \/^(2X-i-i)[X(i — /)-hi][X(i-4-0 + i] -= M6(i + X)X-i-NX2,

(^) Il est intéressant de noter que la question à laquelle nous venons d'être conduits, de satisfaire à Téquation (/j) par des fonctions rationnelles ^ et ^ cle 7, peut être regardée comme une généralisation du problème de la transformation des fonctions elliptiques.

ceci sous la condition que X satisfasse à la relation (8), transformée de (6),

En se servant de (8), la relation (^rjbts'^ peut s'écrire

v/ô(2X-i-i)[X(i— 0-Hi] [X(H- i)-^-i\

-X(2Q2|pO) 02