MG+N

-1 -f-MOX.

G^H-PÔ4-Q 62-1- P0H-Q Par conséquent, le polynôme du troisième degré en X

(9) ô(.2X + i)[Xfi-0 + i][X(i+0 + i]

'-4-PÔ-I-Q 62-+ P6-t-Q

est divisible par le premier membre de (8) ; il admet donc un diviseur de premier degré en X à coefficients rationnels en j/ et 9. Si donc nous posons

Z2 == (sX H- i) [X(l - i) -!- l] [X(i + i) H- [],

on pourra exprimer Z etXen fonctions rationnelles dey, 9 et^<^, La fonction X (nécessairement finie) ainsi déterminée doit nécessairement se réduire à une constante, car autrement l'élément

différentiel

parla substitution de cette valeur de X, prendrait la forme

R étant rationnel en y, 0 et \j b. Il y aurait donc une intégrale de première espèce, relative à la courbe gauche dans l'espace (?, Ç, t)

ib,

n'ayant que deux périodes, ce qui n'a pas lieu pour a et b polynômes quelconques en y»

Le polynôme (9) en X doit donc s'annuler pour une quantité X, indépendante dey. Cette constante X doit annuler le polynôme

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du troisième degré

{iX + i) [X(i - i) + 1] [X(i -f- i) + i],

car autrement s/b s'exprimerait alors rationnellement à l'aide de 6 et de y.

Si alors X est une des racines du polynôme précédent, ou aura

(MÔ-hN)["|

x('2G-^-i-pe)

PÔH-Q 0^4- P6 •

Cette équation du troisième degré en 9 doit être une identité, car 6 ne peut satisfaire à une équation du troisième degré à coefficients rationnels en y.

En développant cette écjuation en 9, on trouve de suite

M(X + i)Ô3+N(-2Xh-i)02-i-0X(PN— QM) =- o,

il faut donc que

L'équation (6) est donc de Ja forme

et l'on a alors

Donc, s'il existe des solutions au problème posé, on a, dans Téquation

z et ^-, qui sont fonctions rationnelles àe y.

Posant X' = r, nous sommes donc ramenés à reconnaître si

i'écjuation

peut être vérifiée en prenant pour c^ et^ des fonctions rationnelles de y. On peut établir facilement qu'il en est ainsi (^). Il y a même

(') Dans Farticle cité page 264, M, Picard démontre ce fait, auquel il rattache un tliéorème bien connu de M. Nœtlier sur certaines surfaces unicursales, en faisant rénumération des constantes arbitraires. On peut supposer que a et b sont

de degré pair 2771, et soit ç =. — ■> en désignant par u et ov des polynômes de de-

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INfÉGUALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCK. 278

une infinité de solutions se déduisant de l'une d'entre elles; il suffit en effet de faire pivoter une droite autour d'un premier point à coordonnées rationnelles de cette conique, pour exprimer z el ç en fonctions rationnelles dey et d'un paramètre m. En prenant pour m une fonction rationnelle de y, on aura toutes les expressions de z et (^ en fonctions rationnelles de y.

En retranchant d'une intégrale de différentielle totale de troisième espèce relative à la surface

des expressions de la forme

Cl0g(^+ P^2 j R)^

G étant ime constante, et P et R des fonctions rationnelles de y^ on ramènera ^intégrale à n'avoir, en dehors peut-être de lignes y = const., que les deux courbes logarithmiques correspondant à une équation déterminée

du type envisagé plus haut. L'étude des intégrales de différentielles de la surface peut alors être effectuée complètement, puisque toutes ces intégrales sont susceptibles de se ramener à

la forme

A dx -f- B dy

A et B étant des polynômes en x^ à coefficients rationnels en y. En général (c'est-à-dire pour a et b polynômes arbitraires en j/), ces intégrales sont algébrico-logari thmiques.

gré [j-. Le polynôme

doit être un carré parfait. Comme il est de degré im + 2 [j,, le nombre des conditions sera m^ \x. D'autre part, le nombre des constantes figurant dans u et (p

est 2 [j. H- 1 ; comme

à partir d'une certaine valeur de \x, il est possible de satisfaire au problème proposé.

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nk CHAPITllE IX.

ÏV. — Sur des classes de surfaces dont toutes les intégrales sont algébrico-logarithmiques (M-

27. Les cas particuliers que nous venons d'examiner se rapportaient à des surfaces donnant des sections du genre iin^ pour j/=::const. Voici des cas plus généraux et mettant en évidence des circonstances intéressantes.

Envisageons la surface

f{x) étant un polynôme de degré ip -\- i (à racines simples) et F(j^) un polynôme arbitraire. D'après la théorie générale, développée précédemment (page aSo), nous avons à rechercher les courbes

de degré /> au plus en x^ telles que, pour {x^y) satisfaisant à cette dernière équation, z soit fonction rationnelle de x et de y. Nous allons démontrer que de telles courbes n'existent pas, en dehors des courbes ^ = a, en désignant par a une racine dey(^). Soit

z = v/FÔÔ Ç, on aura

et l'on pourra satisfaire à cette équation en prenant pour ^ une fonction rationnelle de x^y et\/F(y)^ les deux lettres ^ et jk étant liées par la relation cp =: o, que l'on suppose exister. Donnons à y une valeur déterminée et considérons une détermination de sj'P(y)': 01^ aura, pour x^ les p racines Xi, ^2? • — ? ^pf en supposant cp de degré p et irréductible. Formons les sommes

x] dcCi x\dX2 x'ndXn ,^

(ii) V -■ -^ -/ 4-...-}- / 1 (A = o, I, . . ., /J — J).

Puisque sjf(^i) est une fonction rationnelle de xi^ y et y/F(j/),

(^) E. Picard, Comptes rendus^ t. CXXXVI, et Annales de V École Normale,

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les sommes précédentes seront de la forme

les Rx étant rationnelles en jk et y/F(j^), et les intégrales

/i^xLr, /F(7)] dy

seront des intégrales de première espèce. Toutes les fonctions Rx ne peuvent être identiquement nulles (à moins que les x ne soient constants); car, des équations obtenues en égalant à zéro les expressions (E), on déduirait que deux des x sont égaux, ce qui est contradictoire avec l'irréductibilité supposée de l'équation cp = o. Ceci posé, nous aurons donc au moins une intégrale de première espèce relative à la courbe

qui aura les mêmes périodes qu'une intégrale de première espèce relative à la courbe

Cette circonstance ne peut se présenter si le polynôme F(/) est arbitraire, ce qui démontre l'impossibilité de la relation cp = o jouissant de la propriété indiquée.

Nous avons supposé le poljnome irréductible cp de degré p par rapport à x] la même démonstration s^appliquerait si cp était d'un moindre degré que p.

De cette analyse nous concluons [en remarquant de plus que la surface

n'a pas d'intégrale de seconde espèce] que toutes les intégrales relatives à cette surface sont algébrico-logarithniiques. On suppose, bien entendu, que F (y) est un polynôme arbitraire.

28. Les conclusions précédentes s'étendraient immédiatement (en raisonnant comme au n° 24) aux équations de la forme

a et b étant des polynômes arbitraires en y.

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29. Nous avons donc ainsi obtenu des cas particuliers assez étendus pour lesquels les intégrales de différentielles totales de troisième espèce peuvent être étudiées. Si l'on cherche à traiter le cas d'une surface de degré m (à singularités ordinaires)

on devra considérer les courbes gauches tracées sur cette surface. Soit une telle courbe de la surface; elle coupe la courbe définie par la relation entre ^r et ^

en un certain groupe de points dépendant rationnellement du paramètre y. Il faudrait donc étudier les groupes de points sur la courbe précédente qui dépendent rationnellement àe y. On peut supposer que ces groupes de points ne contiennent pas plus de/? points [p désignant le genre de la courbe / pour y arbitraire); c'est ce que nous allons commencer par démontrer.

Envisageons en effet un groupe de \ points 0^>p)j et rappelons-nous que la dimension des adjointes d'ordre m — 3 + a(a^i) est

p — 1 -^ in^j,.

Or on peut choisir un nombre 'j, dans la suite

de telle sorte que l'on ait