X -f- [Jt. = /> — 2-1- /?za (a entier

Ceci posé, nous avons vu c[ue les m points à l'infini de la courbe y sont à considérer comme distincts au point de vue de la rationalité par rapport à y. Joignons alors aux X points du groupe considéré, [jl des points à l'infini; nous pouvons dire que nous avons un groupe de ). h- [ji points dépendant rationnellement dey. Par ces A -j- a points on peut faire passer une adjointe au moins

d'ordre

m — 3 -f- oc,

et, en dehors des X + u. points et des points doubles, nous avons p points de rencontre. Nous sommes donc ramenés à un groupe

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cle p points (dont quelques-uns pourraient être à rinfini); c'est ce que nous voulions montrer.

30. L'étude générale des groupes de p points sur la courbe /, dépendant rationnellement dejK, ne paraît pas facile. Nous allons étudier seulement le cas particulier de la courbe

OÙ P(j') est un poljnome arbitraire de degié m. Nous considérons donc sur la courbe (a) entre ^ et ^ un groupe de p points

r r . ■ (in l)(jn 2)1 -, r 1 . • 11 , 7

/> étant ICI ^ — \ dépendant rationnellement de y\

posons

on aura

Sur la courbe (p) correspond au groupe des p points de la courbe (a) un groupe àe p points dépendant rationnellement de j^ et de \/^^{y) . Désignons ces p points par

(çi,^i), (b, Ç2), .-., (?,., Ï/Zj, et soit une intégrale de première espèce de la courbe ((j)

la somme

(li{'i^X^)d^l , ^i(h,^t)di, , ^ QK?/., ?/<) ^?.

( OÙ les différentielles sont relatives à la variable y) sera nécessairement de la forme

^ty.'Vnyïldy,

Kl étant une fonction rationnelle àe y et y^P(j^), et l'intégrale

J^i[y.'Vny)\dy sera nécessairement une intégrale de première espèce relative à

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278 CHAPIïRE IX.

la courbe entre u el y

Nous avons donc les/? équations

pT^Iz:]^ • H pTT^ZTi ■ -4- . . • -i pTj^-j — Ll^LJ? V^ (^ jj ^J

Si s 2 S/-»

pour t= 1 , 2, . . . , /J>.

Si ces équations admettent une solution donnant pour toute fonction symétrique des p points (ç,, '^,). . .(ç/?, C/?) une fonction rationnelle de y et \/P(jk), il est nécessaire que les périodes des intégrales

f^iLr/Vnr)]dy (.- = 1,2, ...,p)

soient des périodes correspondantes des intégrales

Or ceci est impossible, quand le polynôme P(jk) est un polynôme arbitraire de degré m (en supposant /7Z>>3); car alors il ne peut arriver qu'une intégrale de première espèce relative à la courbe

n'ait d'autres périodes que celles d'une intégrale de première espèce relative à la courbe

On en conclut que tous les R sont identiquement nulles, et nous avons les relations

bi s 2 ^p

On peut énoncer ce résultat sous une autre forme. Soient

les valeurs des (^, 'f\) poury =jro et une certaine détermination de ^(/^(yo) ? ^^ somme des intégrales

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on nous n'avons pas écrit l'élément

sera une fonction de jr, dont la dérivée est nulle. Elle est donc égale à une constante (à des périodes près), et cette constante est nulle (d'après sa valeur pour y = j/^).

Les équations (y) nous apprennent d'ailleurs^ si les (^, ri) dépendent dey, que le déterminant

IQiiU Ca)I = o, et, par suite, les points

sont sur une adjointe d'ordre m — 3.

Ceci posé, considérons une telle adjointe passant par ces points ; elle rencontre encore la courbe (jS) aux/) • — 2 points

(a-i, pi), ..., (a^,2, p/,-2).

Pour y =: y^^ on aura en particulier

{al Pî), ..., (aO,, (Bo 2).

On aura évidemment, pour toute intégrale de première espèce,

Or, si l'on a une courbe de genre p et 2p — 2 points de cette courbe situés sur une adjointe d'ordre m — 3,

les conditions nécessaires et suffisantes pour que 2/? — 2 autres points

(il5 Cl)) •••? ( ^27^-2 j "^2/5-2)

soient sur une adjointe d'ordre m — 3 s'expriment par les yj relations

formées avec les p intégrales de première espèce.

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Si nous appliquons ce résultat^ nous voyons que les ip — i points

(^1. Cl), ..-, (u C;0, («î, Pî), .-., («r2, ?}U)

sont sur une adjointe cVordre m — 3. Par suite, si nous revenons à la courbe entre s et ^,

nous aurons sur elle le groupe des p points, dont nous sommes parti, situé sur une adjointe d'ordre m — 3, et cette adjointe rencontrera la courbe qw p — ■ ^i points dont les coordonnées seront

La correspondauce entre les deux courbes

^m. — ^;;i ^ P(JK) et t"^ ^ \'^^- -{- I

est d'ailleurs telle qu'à un point de la première correspondent m points de la seconde [suivant la détermination de ^/^(jk)]? et les coordonnées de ces m points diffèrent par un facteur qui est une racine nx^"^^^^^ de l'unité.

Il résulte de' là que, pour la surface

on peut trouver une surface

de degré m — 3 eu ^ et s, rencontrant la surface à distance finie suivant la courbe initiale considérée (correspondant au groupe des/? points), et suivant les/? — 2 courbes planes

X — liZ = 0 ( A,- = --i j (t = I, 2, ...,/? — 2);

il pourra j avoir aussi des courbes de rencontre correspondant à y ■=. const., ces constantes étant racines de P(>') = o.

Remarquons que Vl^ est différent de un^ à cause de la relation

(po)-^(aJ)-+i;

nous supposons ici le point (aj*, [3^-) à distance finie; s'il était à

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l'infini, le point (x, z) serait à l'infini pour j^ arbitraire, et, par suite, sans intérêt pour nous. De ce que \i n'est pas une racine ^ième jjg l'unité, il résulte que le plan

X — \iz — o

coupe la surface suivant une courbe irréductible.

31. De ces résultats nous allons pouvoir tirer des conclusions intéressantes sur les intégrales de différentielles totales relatives à la surface de degré m

où P(y) est un poljnonie arbitraire de degré m. Par la soustraction d'expressions de la forme

G logR(.r, j, z) - G^ log(^ - X.'^),

OÙ R a la signification do paragraphe précédent et où C désigne une constante convenable, nous pouvons ramener l'intégrale à n'avoir plus à distance finie d'autres lignes logarithmiques que des courbes correspondant à j- = const. Nous faisons, en efifet, disparaître parées soustractions toutes les courbes logarithmiques à distance finie, en n'introduisant peut-être c[ue des courbes logarithmiques correspondant à des équations de la forme y == a, a étant une racine de P(jk) =o, valeur pour laquelle la courbe entre 5 et ^ se décompose en m droites.

En résumé, par des soustractions de logarithmes de fonctions rationnelles, nous sommes assuré de pouvoir ramener toute intégrale de difTérentielle totale relative à la surface

z"i = ce"' -\-V{y)

à une intégrale ne pouvant avoir, à distance finie, d'autres courbes 1 ogarithmiques que les droites correspondant aux sections de la surface parles plansj/'==a [a étant racine de P(jk)]. On n'oubliera pas d'ailleurs cjuc toute l'analjse précédente suppose que le polj'nome P(jk) n'est {3as un polynôme particulier de degré m.