Soit donc l'intégrale de différentielle totale
(E) j ?{x, y, z) dx-\-q^{x,y,z)dy,
n'ajant d'autres lignes logarithmiques que les droites sections de la surface par les plans y = a, où a est racine deP{y). L'intégrale
(a) j ?{x, y, z) dx
sera une intégrale abélienne pour la courbe entre z et x
[y étant arbitraire et différent des a), n'ayant pas de point singulier logarithmique à distance finie, puisque l'intégrale (E) n'a d'autres lignes logarithmiques que les droites sections de la surface parles plans y = a. On sait d'ailleurs que, parla soustraction d'une expression de la forme
-^ K{^x,y,z), dx ^ ' -^ ' '^'
on ramènera l'intégrale (a) à la forme
r F(.r, y, z) dx J z"'-^ '
F étant un polynôme en x el z k coefficients rationnels en y^ et l'on peut supposer cjue le degré de ce polynôme en œ et z est au plus 2 ni — 4-
Les périodes (pohiires ou cycliques) de cette intégrale ne doivent pas dépendre de y. L'intégrale précédente est de la forme
a^iS-^^^P dx
a et [^ étant des entiers positifs (a + ^^iin — 4)^ et les a^p étant des fonctions rationnelles de jk- Considérons d'abord les termes pour lesquels a +• [3 a la valeur /x, comprise entre o et m — 4? ^t la valeur k -^ m.
En posant dans l'équation de la courbe
zm = a^m | Y (^ )^ z = X, 'VHy) et x='ç "s/^{y), nous aurons uneintégrale où
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sera un facteur, et qui sera de la forme
rm—\
cio^a étant encore rationnelle en y et ne représentant pas nécessairement la même fonction que plus haut.
Envisageons ensuite les termes où a -t- [3 a la valeur 7?i — 3 ; on est alors conduit à l'expression
(II) ^^(y) '" /
Enfin, les termes où a + [î = /?z — 2 conduisent à
La somme des périodes des intégrales (I), (II) et(ITI) doit être une constante indépendante de y. Il s'ensuit que la somme des périodes des intégrales (I) et (H) doit êlre nulle; sinon
'VpïF)
satisferait à une équation d^ordre m — i au plus, dont les coefficients seraient rationnels en y.
Nous concluons de là que, dans l'intégrale
¥ [ce, y, z) dx
les termes qui correspondent à a 4- j3 ^ /?z — 2 donnent une fonction rationnelle de x^ y et z. On peut retrancher celle-ci de l'intégrale de différentielle totale envisagée, et nous avons alors une intégrale de ditférentielle totale, dans laquelle le coefficient de dx est
Les périodes de l'intégrale
CCrjO^X^Z^ dx . P - • M ^
— — (cï^ft iractioii rationnelle)
ne doivent pas dépendre de y.
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Il en sera ainsi si les «aS sont des constantes, et il est facile dans ce cas d'avoir la valeur de l'inlégrale. Désignons par s une racine m''^"^^ de l'unité et écrivons
sous la forme d'une intégrale de différentielle totale, et nous raplant que
Le coefficient de dx sera
dz
z — zx \dx ou
Z — zx
ylll — l
et Ton a, par suite, l'intégrale
■ dx.
qui est de la forme des intégrales considérées plus haut. En prenant successivement pour s les m racines /;2'èiiies ^|g p^Qi^é, nous aurons ainsi m intégrales dont la somme est nulle, et l'on voit immédiatement que toute intégrale
' .-r^s3 dx
est la somme de ni — i des intégrales précédentes, et s'exprime par conséquent par les logarithmes de z — £^ en prenant pour s (//i — i) racines m^^^^^^^ -i. £25 • • ? ^m-\ àe l'unité.
Nous avons supposé que les a^p ne dépendent pas de y. SI les <^ap dépendent de y^ l'intégrale considérée
ctrjQ^x'J'z'x^ dx lura pour valeur
i =im — ]
O^l0g(^ — ZiX),
les cp étant des fonctions rationnelles dejK- On aurait donc une in-
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té orale de différentielle totale
f kdx-^^dy,
relative à la surface
^m ==, ;j^ni j P(jk),
dans laquelle
i == jn — 1
^iOC),
les C5 étant rationnelles en y . Mais ceci est impossible, si les cp ne
