d-^ dk
sont pas des constantes, car on aurait, a cause de -r- = t— ?
•■ ^ ^ ôx ày
B = — - 2, ^i^^^{^ — ^i^) + fonction de jk,
et cette fonction B ne peut être rationnelle en x, y el z que si les cp sont des constantes. Il en résulte que les intégrales considérées de la surface sont nécessairement de la forme
E G,- log(5 — Zix) + SA log(jK - a) + R( j),
les G et les A étant des constantes^ et R-(jk) ^^^^e fonction rationnelle àe y ,
Nous pouvons donc conclure :
Toutes les intégrales de différentielles totales relatwes à la surface
[où P(y) est un polynôme arbitraire de degré 7?z], s'expriment par des combinaisons algébrico-logarithmicjues,
33. Terminons en cherchant le nombre des courbes irréductibles sur la surface précédente répondant à l'énoncé du théorème fondamental de la page 241. Etant considérée une courbe irréductible quelconcjue de la surface, on peut, d'après tout ce qui précède, former une intégrale de différentielle totale n'ayant d'autres courbes logarithmiques que cette courbe, et la totalité ou une partie de la courbe à Pinfini et des droites sections de la surface
par les plans
[a étant racine de P(j-)].
Or de cette intégrale on peut faire disparaître comme courbes logarithmiques les m droites obtenues en coupant la surface par le plan
a, étant une racine déterminée de Vi^y)^ et les m — ■ i droites sections de la surface par le plan
£, étant une racine m^'^'^-^ déterminée de l'unité (la /?2'''"'^ droite d'intersection figurant déjà parmi les m précédentes). On peut, en effet, retrancher de l'intégrale l'expression
A2log(jK— «2)4-. . .+ A;;ilog(jK— Clm)
4- Bi l0g(^ — S-i^) --1- B9, log(^ — S2^) +. . .+ B/;Jog(.3 — ZmOC)^
les A et les B étant des constantes convenablement choisies de façon à faire disparaître les 'im — i lignes logarithmiques indiquées. Donc, en considérant les {^m — i)^ lignes droites A de la surface situées dans les plans
y =^ ai ( / =:^ '2 , 3 , . . . . /?z )
et non situées dans le plan
il existe certainement une intégrale de troisième espèce ayant comme lignes logarithmiques une courbe arbitrairement choisie, et la totalité ou une partie des lignes A et de la courbe à l'infini. D'ailleurs, il n'existe pas d'intégrale ayant seulement comme courbes logarithmiques la totalité ou une partie des lignes A et de la courbe à l'infini. En effet, d'après le paragraphe précédent, une telle intégrale serait, à une fonction rationnelle près, de la forme
Gilog(^ — 01:27) -h G2l.og(^ — £2^)+. . .-t- Gni\o^{z— Zj,,x)
Or les droites de la surface dans le plan
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ne doivent pas être des courbes logarithmiques. Donc, on doit
avoir
Cl -1- Al ^ o, G2 -i- Ai = o, ..., Gy;i -H Al == o;
l'expression est donc de la forme
— Al P(j^') -4- Al logfj — ai) -f-. . .H- A,;, log(j/ — ani), car
{z — ZiX){.Z-'t^^x). ..{z — ZniX) ^ P(r).
Donc, l'expression peut encore s'écrire
A'^ log(j'' — a.) -i-. . . H- A',;, log(j/ — a m), et, comme les droites situées dans le plan
^ — Ôl^ — o
ne doivent pas être des courbes logarithmiques, tous les A^ sont nuls.
Le nombre désigné par p dans l^ énoncé du théorème fondamental est donc ici égal à
34. Nous venons de déterminer le nombre p pour les surfaces de degré m supérieur à trois, dont l'équation est de la forme
Une question se pose de suite : Quelle est la valeur de p poui' une surface donnée?
Nous ne sommes malheureusement pas en état de répondre toujours à une telle question, et c'est là nne lacune importante dans la théorie. On pourrait seulement indiquer aisément nne limite supérieure, résultant de la démonstration même du théorème fondamental, mais cette limite manque de précision. C'est surtout, comme on va le voir dans les Chapitres suivants, pour la théorie des intégrales doubles de seconde espèce que cette lacune est regrettable.
Quant à la question déjà plusieurs fois soulevée, de savoir si, pour une surface, les intégrales de dilTérentielles totales se ramènent en général à des combinaisons algébrico-logarithmiques,
\\ ET S., II. i9
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Jes exemples assez étendus qui viennent d'être indiqués tendent à faire pencher vers l'affirmative. Toutefois, le théorème assez singulier de la page 2 43 rend hésitant dans l'énoncé d'une probabilité.
Pour ce qui concerne les surfaces dont Féquation est de la forme
^-=/(.r, j) (de degré 2/:» -f- i en ^),
il semble que Fétude des relations
cp(^, j^) = i' (de degré p en ^),
telles que ;:; se mette sous la forme d'une fraction rationnelle de a: et j)^ [quand on a o{x^y) = o] ne soit pas inabordable, au moins pour des valeurs assez petites de p.
D'après les exemples donnés dans cette section, il ne paraît ])as douteux qu'il n'existe pas en général de telles relations. S'il en est bien ainsi, on a des exemples extrêmement étendus de surfaces pour lesquelles toutes les intégrales de difierentielles totales sont algébrico-logarilhmiques.
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