ET CELLE DES INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES

I. — Quelques remarques préliminaires sur la forme de certaines

identités.

1. Nous avons vu (Chapitres VII et VIII) que toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à la surface

se ramènent aux intégrales

'Çl{x,y,z)dxdy

ff-

le polynôme Q s'annulant sur la courbe double. Le degré de ce polynôme Q est limité et ses coefficients satisfont à certaines relations c[ue nous avons appris à former. Mais toutes les intégrales doubles ainsi obtenues ne sont pas distinctes, et il faut indiquer la marche à suivre pour trouver exactement le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce (-), c'est-à-dire des intégrales

(^ ) E. Picard, Sw quelques points fondamentaux dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Acta mathematica, t. XXVI); Sur les relations entre la théorie des intégrales doubles de seconde espèce et celle des intégrales de différentielles totales {Comptes rendus, t. GXXXVIl, et Annales de VÉcole Normale, 1903).

(2) Le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce a été désigné par p (p. 186). Dans le Chapitre précédent figure, d'autre part, un nombre p relatif aux intégrales de différentielles totales de troisième espèce. II ne faut pas faire de confusion enire ces deux nombres ; aussi désignerons -nous dorénavant par p^ le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce.

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dont aucune combinaison linéaire n'est de la forme

A et B étant des fonctions rationnelles de x, y et z. On répondra aisément à cette question si l'on sait reconnaître à quelles conditions l'expression donnée

est de la forme

d\ ÔB

dx dy

A et B étant rationnelles en x^yelz] bien entendu :3 est regardée €omme fonction de x ety, quand on (ait les diflferentiations partielles. Mais nous avons déjà indiqué à la ùv\ du Gbapitre Vlll (p. 228) quelles circonstances venaient compliquer la question : c'est que l'on ne sait pas a pj'ioj^l, dans l'identité

0{T,y,z) d\ ÔB

fz " àj^ ^y '

pour quelles courbes A et B peuvent devenir infinies.

2. Supposons donc que Ton ait l'identité précédente. Désignons par

Çx{x,y)-^o

la projection de la courbe double sur le plan des xy^ et par

la projection sur le même plan de la courbe de contact de la surface avec le cjlindre parallèle à O^.

Dans l'identité ci-dessus, A et B peuvent devenir infinies pour diverses courbes de la surface, et l'on peut avoir a priori pour ces fonctions des expressions de la forme

i;\x,y)^^^G{x,y)V'<:^^{x,yy-^...o,\x,y)y-rfL

^•{x,y)^^'G{x,y)9^' ^^{x.yyA. . .'D,\x,yy-rfl' où '^1, 02, . ., 'Or représenlent des polynômes irréductibles en x

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THÉORIE DES LXTÉGllALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 29 1

et r, premiers entre enx et avec g et G, et contenant x ; les lettres Aj !j., aj, . . . , y.r représentent des entiers positifs. Quant aux numérateurs U et V, ce sont des polynômes en x et z^ k coefficients rationnels en y.

Nous allons montrer tout d'abord c{ue Ton ne diminue pas la généralité en supposant que les entiers a, , . . . , a;., a'^ . . . , a/, sont égaux à un. En effet, considérons l'expression B comme une fonction rationnelle de x et z, relative à la courbe entre x et ;:,

on sait, par la théorie élémentaire de la réduction des intégrales abéliennes ('), que Ton peut de B retrancher une expression qui soit la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle R de Xj y et G, de manière que

soit de la même forme que B, sauf que a.\ = a^ = . . . = a^', = i . Or écrivons l'identité

sous la forme

f'z àx nous avons réalisé la substitution cherchée, car on a

Q dX^ ^ SB,

f'z '^ dx ' ày

et, dans le numérateur de B| , les poljnomes cp^ , îp2? • • • j 'fr figurent seulement à la première puissance, il faut donc qu'il en soit de même dans A|, puisque

reste finie le long des diverses lignes de rencontre de cp/(^,j)^) r= o avec la surface /"j, et c[ue ces lignes sont des lignes simples de rencontre pour les deux surfaces

( ^ ) Pour cette réduction, on pourra consulter le Tome I de cet Ouvrage (p. 160) et aussi le Tome I, 2*^ éd., du Traité d^ Analyse de M. Picard (p. Çi^).

Q c)/V dB Tz~' '^ àf

ô\\\ , ôx ) '

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On le voil immédiatement de la manière suivante. Supposons

que A, renferme au dénominateur cp, à la puissance a, supérieur

A 1 à Ai . 1 1

a U7i. Alors -j— contiendra le terme

Or -r^^ est premier avec ^p, (pour y arbitraire). Si donc U ne s'annule pas pour les courbes d'intersection dn cvlindre 0\ avec la surface, ce terme aura une ligne d'infini d'ordre a, + i, que ne

renferme pas l'expression -y-^^ ce qui est impossible.

3. Ces considérations ne sont pas immédiatement applicables pour ce qui concerne^' et G. On peut bien dans B ramener encore, au moyen des mêmes considérations élémentaires, les puissances de ^* et G à être égales à ujî, mais dans A les puissances de g et G pourraient être égales à deux. Soit en effet l'identité

Q ^ ^B où A et B ont les valeurs écrites plus haut, en supposant

■ Nous allons voir que X et a sont au plus égaux à deux. Considérons G: le cjlindre

coupe la surface suivant la courbe doubler et une autre courbe y. Le premier membre ne devenant pas infini pour un point arbitraire de l'une ou l'autre de ces courbes, il en est de même du second. Par suite, B ayant F comme ligne d'infini double^ il faudra que A ail seulement F comme ligne d'infini double. Quant à y qui est ligne d'infini simple pour B, elle sera ligne d'infini simple pour A. Il résulte de là que

IJ(^,.X, ^) ne peut avoir les lignes F et y que comme lignes d'infini simples.

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Soit ui supérieur à deux; alors U(^, r, z) devra avoir y comme ligne de zéro double, et il en sera de même pour F. Il en résulte que le quotient

pourra se mettre sous la forme d'un poljnome en x et z, à coefficients rationnels en y. Par suite, on passera de [j. à [a — i jusqu'à ce que [a = 2.

On ne peut faire plus loin la rédaction, puisque, pour que

ait r pour ligne d'infini simple, il suffit que U ait F pour ligne de zéro simple et, par suite,

ne se mettra pas en général sous la forme d'un poljnome en x et z.

Les conclusions que nous venons de formuler pour la ligne double se projetant suivant G sont applicables à la ligne de contour apparent qui se projette suivant g.

Donc^ en suivant la méthode indiquée, on voit que l'on peut

supposer

a' = ix = ] et 1 = i-i == 2.

4i, En modifiant légèrement les considérations précédentes, on va voir que l'on peut supposer également que X et ^. sont égaux à l'unité.

CoQimençons par faire une remarque relative à une courbe

algébrique

Si a correspond à un point double A de /, on sait que, d'une expression

{x~aYf'y

(P étant un poljnome en x el y)^ on peut retrancher la dérivée d'une fonction rationnelle de x et y, de manière à être ramené

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à a=i; c'est nn résultat sur lequel nous nous sommes appuyés tout à l'heure.

On peut aller plus loin et supposer que, après cette réduction, le polynôme V{x^y) s'annulera au point double.

Supposons en effet la réduction faite à a= i. Si P ne s'annule pas au point double, la fonction

a, au point A, un pôle double sur chacune des branches de courbe passant en A. On peut trouver une fonction rationnelle de x eA y ayant à distance finie seulement deux pôles simples qui soient précisément le point A regardé comme appartenant à l'une et l'autre branche, les résidus, de plus, ayant pour ces deux pôles les valeurs données. Jl suffira de retrancher de (i) la dérivée d'une telle fonction (en prenant pour les résidus des valeurs convenables) pour avoir une expression de la même forme, et où P(.r, r) s'annulera au point double.

Une remarque analogue peut être faite pour le cas où la droite œ = a serait tangente à / en un point A. On peut faire d'abord la réduction habituelle ramenant à a= i^ soit alors l'expression que nous appellerons encore (i). On voit de suite que l'on peut retrancher de (i) une expression convenable de la forme

^ ' ' clx L ( ^ — «^ ) J

où M(^, j) est un polynôme s'annulant en A et aux autres points de rencontre de ^ = a avec la courbe, de telle sorte que la différence de (i) et (2) soit encore de la forme (t), mais avec cette condition que P(:r, j) s'annule en A.

S. Ces remarques faites, nous pouvons raisonner comme aux n"' 2 et 3; mais nous pourrons maintenant supposer que nous avons, dans B, non seulement

mais que, de plus, V(^,j}^, z) s'annule pour la courbe double et pour la courbe de contour apparent.

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Il en résulte qu'on peut compléter le raisonnement du n^ 3. Dans

la courbe double F ne doit plus être une ligne d'infini et, par suite, on peut supposer que \± est égal à Tunité; il en est de même pour )w

Finalement, après ces réductions élémentaires, nous arrivons à la conclusion que U identité ctcbnise peut prendre la forme

U et V étant des polynômes en x et z à coefficients rationnels en y, s^ annulant sur la courbe double et sur la courbe de contour apparent de la surf ace sur le plan des xy.