Nous pouvons faire diverses remarques au sujet de A et B
En raisonnant comme au n° 3 du Cbapitre VITl (j). ^09), on déduit de ridenlité(3) que les périodes logarithmiques de l'intéjj^rale abélienne
kdy
se rapportant à la courbe entre jk et z
et se rapportant à un point double de cette courbe, doivent être des constantes, c'est-à-dire indépendantes de x. Or le calcul du résidu de A relatif à un point double de la courbe précédente est facile; ce résidu est égal à la valeur de
TT
au point double, multipliée par
Or la valeur de (4), en un point double, dépend de la branche
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de courbe que l'on envisage passant au point double, puisque U et G s'annulent sur la courbe double. Cette valeur est égale à
dU dV dz dy dz dy
.cp,. dG dy
Quant à -^ 11 a pour valeurs les racines de l'équation du second degré
La valeur cherchée est donc la valeur de l'expression suivante sur la courbe double
.,, I V'' dy -^--y dz ] ' dz
en posant
D'après ce que nous avons dit, l'expression (5) doit avoir une valeur conslante sur la courbe double. Si nous sommes dans ce que nous avons appelé le cas général (voir p. 208) où R n'est pas nne fonction rationnelle de ^, J^^, z quand le point (^, y^ z) se déplace sur la courbe double, le radical Pv sera susceptible d'avoir changé de signe, quand [x, y^ i;) partant d'un point déterminé de la courbe double j reviendra, en étant restée sur cette courbe. Donc, dans ces conditions, pour que (S) reste constant, on devra avoir, en désignant par C la valeur constante de (5) sur la courbe double,
( rn à\] .„ d\]
ces identités ajant, bien entendu, lieu sur la courbe double.
De là nous allons tirer une conséquence importante. Nous pou-
vous mettre -^1 sous la Jorme
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et cette expression est de la forme
dx ' dy en posant
Al = — — -r. 5 Bi =
OÙ l'on a
U:=U-C.«-.cp,...o,/i^.
U] est, comme U, un poljnome en ^ et g qui s'annule sur la courbe double, mais, de plus, nous allons voir que
s'annule sur la courbe double. Ceci résulte de ce que
ôy dz
sont nuls sur la courbe double, comme on le voit immédiatement d'après les relations (6).
Ainsi donc, nous avons un résultat plus complet qu'au n° o. Nous pouvons dire que l'on a l'identité (3), où, non seulement U et V s'annulent sur la courbe double, mais ou de plus
s^ annulent sur cette courbe. On peut encore dire que les deux surfaces U = o, et V = o ont, comme ligne double, la ligne double de /.
7. Nous allons faire une remarque analogue concernant la ligne de contour apparent C de la surface relative au plan des xy ,
Partons toujours de l'identité (3). Nous coupons la surface par le plany =j>^, et nous envisageons un des points de rencontre M de ce plan avec la courbe C. Considérons alors ce point M sur la courbe
En intégrant les deux membres de (3) dans le plan de la variable
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298 CUAPITUE X.
complexe œ le long d'an circuit qui entoure deux fois le point M, nous aurons zéro dans le premier membre ; le premier terme du second membre donnera également zéro. Pour le second terme, la quantité, sous le signe -y-? donne an facteur 4'^^pï'ès la valeur parfaitement déterminée en M
La dérivée par rapport à y de cette valeur devant être nulle, il en résulte que, le long de la courbe G, Texpression précédente a une valeur constante C^
Or, désignons par^, (dlz^ Vx et le z du point M. Si l'on développe /*(^. j)^, ^) suivant les puissances de x — x,^ et z — ^j, on aura
+ 7^- \fx\{oc — x^ y + •i/x^zX^' — ^1 ) (^ — ^1 )
et soit de même pour V(.r, j)% z) développé suivant les puissances de ^ — Xi el z — 5,
Y{x, y, z) - V;X'^ " .^1 ) + Vl^ U - ^0 + • • • •
Comme z — Z\ est de l'ordre de \/x — -x^^ d'après l'équation fz=zi o, il résulte de là que la valeur de l'expression (6^) au point M
est égale à
)n entendant que, dans cette expression, j^ et ^ sont remplacées )ar Xi et z^\ cette valeur est précisément égale à G^ Ecrivons alors l'identité (3) de la manière suivante :
f'z àx\ g J dy \ g J
Elle est de la forme
f'z'^ àx '^ dy ''
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THÉouiE d:îs intégrales doubles de seconde espèce. 299
en posant
\ - Ui ,> __ Vi
avec
v. = v--C'gG,.. ..„,/•:.
Il résulle de la valeur de G^ c{ae, dans le déveioppenient de V, suivant les puissances de x — ^x^ et z — z^, il n'j aura pas de
terme du premier degré en z — z^. Donc — a une valeur finie le long de la courbe G, et il en est de même de --^•
Par suite, en rapprochant ce résultat de celui que nous avons obtenu au paragraphe précédent, nous pouvons dire, en revenant à l'identité (3) du n" 5, qu'il est permis de supposer cpie, dans
cette identité,
s'annulent sur la courbe double, et que
ont des valeurs finies le long de la courbe de contour apparent, INous allons voir maintenant comment on peut réduire encore les éléments arbitraires dans l'identité (3).
II. — Réduction plus complète et introduction du nombre 0. 8. Nous supposons toujours que Ton ait l'identité (3)
o __ dx. ^ (m
où
.^'' G cp , oo . . . 'f />/; ,^'- G 9 1 02 • . . ?r y ;:
A et B peuvent être infinies le long des courbes se projetant sur le plan des xy suivant
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Nous allons faire disparaître ces lignes d'infini de A et B, et les remplacer par nn nombre déterminé de lignes d'infini.
D'après le théorème fondamental da Chapitre IX (p. 241), on peut tracer sur la surface p — i courbes particulières
Cl, Gg, . . . , Gp i,
telles qu'il existe une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques une autre courbe arbitrairement choisie, et la totalité ou une partie des courbes G,, ..., Gp^ et de la courbe à l'infini; de plus, d'après la démonstration même, cette intégrale n'aura aucune autre ligne d'infini en dehors de lignes du type y =: const.
Soit A une courbe de la surface se projetant suivant
et le long de laquelle AetB deviennent infinies. On pourra former une intégrale de troisième espèce ayant pour courbe logarithmique A et la to.talité ou une partie des courbes G précédentes et de la courbe à l'infini. Gette intégrale sera de la forme
V dx-^ Q dy
TiC-^: y) é'"i(^: y)'^ .é''p-i(^; y) fi'
en désignant par
les projections des p — 1 courbes G, et par P et Q des polynômes en ^ et ^ à coefficients rationnels en y. Les fonctions P et Q s'annuleront le long des courbes de la surface se projetant suivant
distinctes de A et des courbes G;^, et sur la courbe double. On aura d'ailleurs la condition d'intégrabilité
'^y V?i^i- • 'S'^-if'zi àx Vcpi^i . . ,gr^-iju
et, de pluS; le long de la courbe A, l'expression
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TMÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3oi
se réduira à une constante difïerente de zéro, puisqu'elle représente, au facteur iT.i près, une période logarithmique de l'ijitégrale.
Revenons à l'identité (3)
O dk ù^
et supposons que le point (^x^y^z) reste dans le voisinage d'un point M d'ailleurs arbitraire de la courbe A. Le premier membre (le l'identité précédente ne devenant pas infini dans ces conditions,
on pourra écrire
àk ^ d^ __ d\
dx dy dx
\ étant une fonction liolomorphe de ^ et jk dans le voisinage de M. Donc
^ dx — ( A — ). ) dy
est une intégrale de différentielle totale avant autour du point M la courbe A comme courbe logarithmique, et l'on en déduit de suite
que l'expression
S'- G -^ Cp2 . . . '-^rjz
dx ^ i ^ -
se réduit à une constante sur la courbe A, car elle représente au facteur '2tu près une période logarithmique de l'intégrale. Or le second membre de l'identité (3) peut s'écrire
G désignant une constante arbitraire. Or on peut choisir la constante G de manière que
<;'• U cp 2 . . . O/. J ^ i^^. . . g çj-i J z
s'annule sur A, d'après les deuK remarcjues ci-dessus. Par suite, pour un tel choix de G, la fonction sous le signe y- clans l'expression (a) ne deviendra pas infinie le long de A, et alors il en sera nécessairement de même pour la fonction sous le signe — •
3o2 CIIAPITUE X.
Nous avons ainsi fait disparaître la ligne A comme ligne d'inOni pour les fonctions figurant dans l'identité (3). En allant ainsi de proche en proche, nous arrivons à une identité
où A et B ont la forme
M et N étant des polynômes en ^ et ;^ à coefficients rationnels
en r.
deviennent infinies le long de la courbe C/, mais non suivant les autres courbes C^. De pkis, comme il arrivait au paragraphe précédent,
s'annulent sur la courbe double F, et
— et
restent finies le long de la courbe de contour apparent G cousidérée plus haut.
9. Nous avons en somme remplacé toutes les lignes d'infini qui n'étaient pas connues a prioi^i par des lignes déterminées
Il reste encore à envisager, comme lignes d'infini de A et B, les lignes F et C^ suivant lesquelles les deux cylindres
coupent la surface, en dehors respectivement de la courbe double F et de la courbe de contour apparent G. Les considérations précédentes sont applicables sans modifications; on peut se débarrasser de ces deux lignes par des soustractions de même nature, et il arrive alors que, dans les expressions (7) de A et B, les polynômes
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THÉORIE DES IINTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3o3
M et N, en gardant les propriétés indiquées^ sont, de plus, tels cjii'ils s'annulent le long des courbes T^ et C^
Il en résulte une propriété essentielle des quotients
M N er - —
ces quotients se réduisent à des polynômes en x el z. En effet,
soit le quotient
il s'annule en général (c'est-à-dire pour un point arbitraire) sur la courbe double F, et, de plus, il reste fini sur la courbe F. Ceci
suffit à établir, d'après des propositions classiques, que p- est un
poljnome (en ^ et z), La façon dont M se comporte sur les
courbes C et G' montre de même que -7^ est un poljnome.
Il résalle de là que V identité (3) du début peut s'écrire
fz ~ '^^ ' ^y
où
où M etN sont des polynômes en ^ et 5 (à coefficients rationnels en r) s'annulant sur la courbe double. Les polynômes ^,, g^^ .. , ^p„, correspondent aux projections sur le plan des xy de p — i courbes déterminées G| , Go, . . . ^ Gp i et, pour jk arbitraire, les
quotients
-— et —
deviennent infinis seulement suivant la courbe G/.
Nous cwons ainsi éliminé toute courbe d'' infini de A. et ^ en dehors des courbes déterminées G|, G2, . . . , Gp.i (e/i laissant de côté, bien entendu, les courbes y ■=. const.).
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3o4 CHAPITRE X.
