III. — Recherche du nombre des intégrales doubles de seconde
espèce.
10. Les rédiicLions précédentes étant supposées effectuées, la recherche théorique du nombre des intégrales doubles de seconde espèce ne présente plus de difficulté essentielle.
D'après ce que nous avons vu, toutes les intégrales doubles de seconde espèce sont réductibles à la forme
Q (^, jK, -s) dx dy
OÙ le degré du poljnome Q en x, y^ z, qui s'annule sur la courbe double, est limité {voir Ghap. VIII). Il s'agit de reconnaître, pour un polynôme Q donné, si l'on peut satisfaire à l'identité
Q ^ ^ ^ f'z ~ àx^ dy'
A et B ayant nécessairement les formes indiquées au paragraphe précédent.
Prenons d'abord le cas le plus simple, où pour la surface /, on a
Alors A et B ont la forme
fz fz
M et N étant des polynômes en ^ et ^, à coefficients rationnels en y, d'ailleurs, M et N comme Q s'annulent le long de la courbe double.
11. Avant d'aller plus loin, indiquons une propriété des fonctions algébriques d'une variable. Soit
une courbe algébrique, et considérons l'intégrale
THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3o5
OÙ Q est un poljnome en ^ et jk s'anniilant aux points doubles. L'intégrale deviendra, en général, infinie aux 7?i points à Finfîni, et aura en ces points des périodes logarithmiques. Appelons Oi, Oo, . • . , 0,n les 771 points à l'inlini. On peut former une intégrale de troisième espèce
où qi est un polynôme, et ayant comme seuls points singuliers logarithmiques Oj et O/, avec périodes égales à + i et — i . Il est clair alors c[u'en choisissant convenablement les constantes
l'intégrale
^2? ^Zi
Q — C^qi—- . ■— Cm g m ^^^
n'aura plus de points singuliers logarithmiques à Fintîni, et sera, par suite, une intégrale de seconde espèce. On aura donc, en dési-
gnant par
II, L, . . • , ïîip
les coefficients de dx dans un système de 2p intégrales distinctes de seconde espèce
en posant
t; -— «1 II +. . .-T- a2/;i2/;--+- ^2 J2 -r • . «-T- C/;i J/;j ,
et P\. désignant une fonction rationnelle de x et j'. 'J2. Appliquons ceci à la courbe entre ^ et ^
renfermant le paramètre y. Toutes les opérations précédentes peuvent être appliquées à la fonction rationnelle de x et 3,
elles sont elles-mêmes rationnelles, les 771 points à l'infini étant
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clislincls au point de vue de la rationalité par rapport ky. Dans Ja réduction précédente, les I et J seront des fonctions rationnelles déteî'77ilnées de x^ y et z, les a et les c seront des fonctions rationnelles àey^ et R sera une fonction rationnelle de x^ y et z. Soit donc, dans ces conditions,
-~ = ai II -H... 4- (^2/^2/; H- C2J2 + . "-r-Cm'^ni-^ -^ >
et écrivons l'identité sous la forme
On voit que l'on a
Jz ^^ ^y
en posant
Bi = r^iIi-1-...-H «2/J2y;-^- C2J2 + . • .+ C/;^ J/;i.
Les I et J sont déterminés; il s'agit de voir si l'on peut satisfaire à ['identité (8) en prenant pour A, une fonction rationnelle de x^ y et z^ et pour les a et les c des fonctions rationnelles de j'. Nous avons maintenant à écrire que la différence
est la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x^ y et z. Dans ce calcul, y joue le rôle de paramètre, et nous avons à écrire qu'une fonction rationnelle de x et z relative à la courbe fi^x^y^ s) = o est une dérivée de fonction rationnelle. Les conditions exprimant ce fait sont bien connues; elles nous donnent ici
-ip -\- m — i
relations linéaires entre
ai, a-i, ..., ctop, C2, ...J Cm
et leurs dérivées premières. Aucune irrationalité par rapport à y ne s'introduit et ces relations contiennent rationnellement j'. Ces relations sont bien distinctes, et l'on pourra certainement
en tirer
da^ da^i da^,, dc-i de m
dy dy cty dy dy
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THÉORIE DES INÏÉGllALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 807
en foncllon linéaire des a et des c, les coefficients étant rationnels en y. Les m — i relations concernant les points à l'infini contiendront seulement les dérivées des c, dont elles donneront les valeurs en fonction àe y] les 2p autres relations contiendront les a et les c ( ' ).
Soit (S) le système de relations que nous venons de former. Si Ton peut y satisfaire en prenant pour les a et les c des fonctions rationnelles de y, on pourra mettre ^ sous la forme demandée.
(^) Il n'est pas sans intérêt de remarquer que le problème que nous venons de traiter généralise le problème fondamental relatif à l'existence des intégrales de différentielles totales de seconde espèce (transcendantes). Reportons-nous au Tome I (page 164 ). Il faut chercher si l'on peut déterminer les fonctions rationnelles «1, «21 •••: ^2, cIg jK, de manière que les périodes de l'intégrale
a,Qt + ...+ ao^Q,^,
dx
f'z ne dépendent pas dey. Avec nos notations actuelles, on aura
D'autre part, soit
dx — A, dy
une intégrale de seconde espèce (transcendante). On peut supposer, comme il a été vu, que
et nous avons l'égalité
- ^ ^^ dx dy
C'est l'égalité du texte, en supposant Q identiquement nul, ainsi que les c.
Profitons de l'occasion pour compléter l'analj^se de la page iC5 du Tome I, relative à la formation des équations différentielles linéaires devant donner les a. On j parviendra de suite en remarquant que l'intégrale abélienne
^^ {a,\,-^ . . .~\' a.,^l,^,) .dx,
relative à la courbe entre x 0,1 z
doit se réduire à une fonction rationnelle. En appliquant les conditions classiques dans la théorie des fonctions abéliennes, pour qu'une intégrale abélienne soit algébrique (par exemple les conditions données par Weierstrass), on formera de la manière la plus simple le système des équations différentielles linéaires relatif aux a.
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3o8 CHAPITRE X.
Ceci résulte de ce que si une fonction rationnelle
de ce, y, z remplit les conditions pour qu'elle soit la dérivée d'une fonction rationnelle de x et z^ ces lettres étant liées par la relation
elle pourra être regardée comme la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x, y et z. Soient, en effet, pour x = Xq^ les m racines z^ , z^, . . . , z^ de l'équation
f{x^,y, zi) = o; formons la somme
U = -i >^ / lKx,y,z)dx,
la lettre y étant regardée comme un paramètre dans l'intégration. La fonction U est une fonction rationnelle de x^ y et z, et l'on a
dx
On a donc simplement à rechercher si un système de
ip -\- m — I ,
écjuations différentielles linéaires à coefficients rationnels entre les a et les c peut être vérifié par des fonctions rationnelles. C'est là un problème classique. On est naturellement conduit à se demander si l'on pourrait trouver plusieurs systèmes de valeurs rationnelles des a et c satisfaisant aux relations (S); s'il existait deux tels systèmes de valeurs, leur différence conduirait à une expression 13 de la forme
B = 7.1 II -}-... -f- "Mp \-ip~\~ Y2 J2 + . . . -T- ^(ni'J mi
les a et Y étant rationnels en j^, à laquelle on pourrait associer une fonction rationnelle A de x, y et z, telle que
£A ÔB
dx dy
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L'intégrale
/ B dcr — A dj^
serait une intégrale de différentielle totale, ne pouvant avoir à distance finie que des courbes logarithmiques correspondant aux équations y = const. On peut faire disparaître ces dernières en retranchant de A la dérivée d'une expression convenable de la
forme
SG/log(j^ — ai) (les G et les a étant des constantes).
Supposant l'intégrale ainsi préparée, celle-ci ne pourra avoir que la courbe à l'infini comme courbe logarithmique. Or^ une intégrale ne pouvant avoir une seule courbe logarithmique, elle sera nécessairement une intégrale de seconde espèce, et, par suite^ on devra avoir nécessairement
T2 =• • • = Tm — o-
Si la surface ne possède pas d'intégrale de seconde espèce (transcendante), il faudra enfin que les a soient nuls, et, par suite, il ne peut y avoir deux solutions différentes pour notre problème. Il en serait autrement si la surface avait des intégrales de seconde espèce, mais on voit alors immédiatement quelles seraient les formes de B et A.
13. Dans le problème posé au n° 10, nous avons supposé p = i . Dans le cas où p est quelconque, la solution va reposer sur une analyse analogue. Considérons la courbe C/ et formons, relativement à cette courbe, une intégrale comme celle de la page 182 (Ghap. IX, n^ 2)-, si H/ est le coefficient de dx dans cette intégrale, nous avons donc une intégrale abélienne
Hi dx (H/ rationnelle en x^ y^ z)^
relative à la courbe entre x el z
ajant pour points singuliers logarithmiques le point à l'infini Oi , et les points de la courbe G/ avant la valeur considérée du paramètre y»
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3lO CHAPITRE X.
Ceci dit, revenons à l'identité
Q ^ ^ dB
f'z ~~ àx ~^ df '
OÙ A et B ont les valeurs considérées an n° 9. On pourra mettre B sous la forme
(9) B = ai Ii-f-. . .H- 0L2pUp-\- Y2 J2 -f- . • •
âR
R. étant rationnelle en Xy y, 5; pour l'établir, il suffit de s'appnjer sur une extension immédiate du résultat énoncé au n^ 11, en remarquant que, pour la fonction B regardée comme fonction rationnelle de X et z, les résidus correspondant aux points M de la courbe G/ correspondant à une valeur arbitraire de y sont égaux entre eux et indépendants dey. Ce dernier point se démontre en recourant à une considération dont nous avons déjà fait souvent usage sous des formes variées. En intégrant, pour une valeur fixe donnée à y, dans le plan de la variable x autour d'un point M les deux membres de l'identité
Q àK dP>^ f'z ~~ àx "dy'
le premier membre donne zéro, ainsi que -r—? et, par suite, la dérivée par rapport à y du résidu de B relatif au point M est nulle, c'est-à-dire cju'il ne dépend pas dey.
De là résulte que dans l'identité (9) les 7j sont des constantes^ les a et les y des fonctions rationnelles dey.
En écrivant comme plus haut
fz~àx\ ày J ~^ ây \ dx ) ^
nous avons une identité de la même forme
Q __ c)Ai dBi f'z ~ àx dy
avec
Bi=:aili-i-.,
- Y2 J2 +• • • + Yw J/
CiHi -h. . .-+-Co iHg
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TIIÉOUIE DES 1>'TÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3ll
les c étant des constantes, les a et les y des fonctions rationnelles
de y.
14. La cjuestion est donc de savoir si l'on peut satisfaire à l'identité (co), avec une valeur de B^ de la forme indiquée. Nous n'avons qu'à procéder, comme au n° 10, en écrivant cpie la différence
f'z ày
est la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de x^y
et z. Ceci nous donnera
ip -\- m — i
relations linéaires entre les a, les y, leurs dérivées premières et les constantes C|, C2, . . ♦, Cp i ; les coefficients de ces relations sont rationnels en y.
Le problème est donc ramené à reconnaître si l'on peut déterminer les constantes c, de manière que les éc[uations linéaires précédentes puissent être vérifiées par des fonctions rationnelles a et Y de y\ cette question ne présente aucune difficulté théoricjue.
On reconnaîtra, de plus, par un raisonnement analogue à celui du n^ 12, que, s'il est possible de satisfaire à l'identité (10), ceci ne peut en général se faire cpie d'une seule manière.
En résumé, si Von connaît un système de courbes C, il est possible de reconnaître si une expression
fl
peut se mettre sous la jovme
dk dB
et Von peut, par suite, dénombrer Les intégrales distinctes de seconde espèce.
lo. Ajoutons C|uelques remarques importantes. A chaque )urbe Ci correspond une expression ~? où Ç en x^ y et ^, susceptible de la forme indiquée.
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3î2 CHAPITRE X.
Considérons en effet les courbes
Cl, C2, . . ., Gp i,
et adjoignons à ces courbes une courbe déterminée, d'ailleurs arbitraire, y. On peut former une intégrale de troisième espèce ayant pour courbes logarithmiques les lignes C/, la courbe y et la courbe à l'infini. Si la courbe y est prise arbitrairement, chacune des courbes Ci sera effectivement une courbe logarithmique, c'està-dire que la période logarithmique correspondante ne sera pas nulle. Désignons cette intégrale par
r étant un poljnome en x et y qui, égalé à zéro, donne la projection de y dans le plan des xy. P et Q sont des polynômes en ce et ^ à coefficients rationnels en y, s'annulant sur la courbe double et sur les lignes d'intersection avec les surfaces des cylindres
^•1 = 0, .... ffp-i^ o, r = o,
en dehors de G, , Co, . . . , Cp, et y. La condition d'intégrabilité nous donne
dx \ g, g',... ^-p-i Vf: I dy\ g, g.,... g^-i Tf^ Décomposons la fraction rationnelle de x et y
ê'lê'2' • 'S'p~l ^
en éléments simples, en la regardant comme nne fonction rationnelle de X. On aura
f Al Ao Ap i B
B et les A étant des polynômes en ^ à coefficients rationnels en y. Nous avons alors
''^~V (} ( Q^i\ à / PAA] d /BQ\ ^ /BP \ ^ Vàx\gtf.:) 'd^\gifU\'^'d^\VfU àyKyfl)-'''
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THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3l3
Envisageons maintenant l'expression
â /QAA à /P\f.
àoo \gifz) ày\g-ifl
Elle ne de^nent pas infinie le long de la courbe G/, puisque, d'après l'idenlité précédente, elle est égale à une expression n'ajant pas G/ comme ligne d'infini. Elle ne devient infinie à distance finie (en dehors de courbes y = const.) que pour les points de Ja courbe de contour apparent désignée par G (n^ 9).
Écrivons l'expression sons la forme
^"^ àccKgtn)'^ dy\gifl
M et N étant des polynômes en ^ et ^, à coefficienls rationnels euy^ et s'annulant sur la courbe double ainsi que sur la seconde courbe de rencontre du cylindre gi{x, y) = o avec la surface.
La forme de l'expression (ii), quand on ne développe pas les opérations, est immédiate; c'est
s étant un polynôme en ^ et ^, à coefficients rationnels en y\ Gette expression n'a pas la forme, habituelle pour nous, où f^ figure au premier degré au dénominateur. Nous allons voir que l'on peut déterminer deux polynômes U et V en ^ et ^ tels que la somme
^^'^ à^ \gifU ^ ày \gjU ^ àcc \f'J ' dy \jl)
soit de la forme voulue
T étant un polynôme en x el z^ k coefficients rationnels en j/, s'annulant sur la courbe double. Imposons d'abord à U et V de s'annuler sur la courbe double; ensuite l'expression (12) peut
s'écrire
I fà gj M ^ ^ N \ i fdgi U^: ^ agi. y^-v .^^ f'z ' ày f'J gj\dx fL dy f- )
gi L àx \
W-\-\}gi\ ^ à /N-hY^v
f. I ày\ fl
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OlL\ CHAPITRE X.
Nous réaliserons la condition cherchée, si
M-f-U^7 et N-i-V,^7
s'annulent sur la courbe G de contour apparent, et cette condition est évidemment réalisable. De là nous tirons la conclusion qu'à une courbe G/ on peut faire correspondre une expression
égale à
^ ■ M, \ à / Ni
les polynômes M| et N, en ^ et ^ s'annulant sur la courbe double, et les quotients — ^ et — étant infinis seulement le long de la
courbe G/ (en dehors de courbes y = const.).
On peut aller un peu plus loin. Le polynôme T/ en x et z contient^)/seulement rationnellement; soit
P étant un polynôme en x^ y et 5, et 7:(y) un polynôme en y. On a donc le quotient
Gomme l'intégrale double
<y)fi
est manifestement de seconde espèce, on peut (fo//' Ghapitre VIF soustraire de (i3) une expression
d f Mx,y,z)\ d /B(^, jK, z)
dx \ 7ri(jK) J ^ ày\ 'K^{y)
A et B étant des polynômes en x^ y et 5, et r,^ un polynôme en y, de telle sorte que la différence ait la forme
Q/ étant un polynôme en x^ y, z s'annulant 5?^/' la courbe double.
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THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3j5
Finalement, nous avons une identité de la forme
M/ el N/ ayant les mêmes propriétés que les polynômes désignés plus haut par Mi et Nj . Le polynôme Q/ n'est d'ailleurs certainement pas nul identiquement sur la surface, car l'intégrale
s-ifi
serait une intégrale de différentielle totale, n'ayant (en dehors de courbes j/=:const.) d'autres courbes logarithmiques que la courbe C/ et la courbe à l'iafini, ce c[ui est impossible. [La courbe C/ sera bien une courbe logarithmique effective, car elle Test pour l'intégrale auxiliaire (a).]
De plus, et pour une raison analogue, aucune combinaison linéaire à coefficients constants
Cl Qi -h. . .-f- Gp-i Qfi-i
(les G n'étant pas tous nuls),
fi
ne peut se melUe sous la forme
les U et V étant des poljnomes en x et z^ à coefficients rationnels enj)'.
16. Aux courbes G,, C^, •-., Gp i correspondent ainsi des expressions
Q. Q2 Qp-t
