La question précédente nous conduit à rechercher quelle

M est r expression générale des fonctions rationnelles -^ de x ety ^

restant finies toujours à distance finie, y étant une fonction

algébrique de x définie par l^ équation f{oc^y) ==0. Nous aurons

plusieurs fois à faire usage du résultat dans le cours de ce Volume.

M Remarquons tout d^abord que l'expression ^ peut se mettre sous

la forme d'une somme de termes telle que

et considérons en premier lieu le cas où la droite x = a ne correspond pas à un point de contact ou à un point double de la courbe /.

Dans ces conditions, — ^-1'-^^ devra tarder une valeur finie aux

points de rencontre à distance finie de la droite ^ = a avec la courbe/ : donc, P(^, y) devant s'annuler en ces points, on pourra

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lO

mettre

SOUS la forme d'un polynôme; et, en continuant le

raisonnement de proche en proche, il en sera de même de - — -

Dans le cas où la droite x — a =^ o est tangente à la courbe /, au

point (a, b), il faudra encore cpie — — ^-^ reste finie au point

(a, b) et aux autres points de rencontre c de la droite et de la courbe/. Ce qui exige, en posant

que l'on ait B = o. La courbe P doit donc passer par les points c et être tangente à la droite x-=-a au point (a, b\ Les conclusions

sont encore les mêmes, et 1 expression ■ — • se réduit encore

' ^ {x — ayj-

à un polynôme.

Supposons enfin que la droite x — ■ a = o passe par un point double (<:/, b) de la courbe /. Dans ]e cas où a = i, l'expression

n'est susceptible, en général, d'aucune réduction. Soit alors a >> i, l'expression précédente devra s'annuler au point (a, 6) et aux points c. Posons

et soient

les équations des deux branches de la courbe / qui passent par le point (a, b). On aura

A -;- B [JL =1 o, A -H B p/ = o

donc A = B = o, d'où l'on conclut que la courbe P a, au point (<2, ^), un point double. P doit d'ailleurs s'annuler aux points c,

et, par suite, — ^ — ^^ sera un polynôme. En continuant de proche

V ix y^ en proche, on réduit l'expression ; '^^ — ^à une expression de la

J^ ' ^ {x — ay^ ^

lorme et ici la réduction est achevée.

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THEOREME DE NOETHER.

Finalement les fonctions rationnelles de x et y ^ oii x et y sont liées par V équation f{x^ y) = o, qui restent toujours finies à distance finie sont de la forme

{x — Cil) {ce — a2 ) ... ( j? — cici )

a^^ a^i, . . ., ad étant les abscisses des points doubles de Ja courbe y, et P étant un poljnome qui s'annule aux points de rencontre des droites x — a/= o avec la courbe.

III. — Définition générale des adjointes. Théorème du reste (^j.

11. Dans le cas d'une courbe n'ayant que des points multiples à tangentes distinctes, la notion à^idjointe à une courbe donnée f{x^ y) = o, est la suivante : c^est une courbe ayant au moins comme point multiple d'ordre i — i un point multiple d'ordre i de la courbe/.

12. Considérons maintenant le cas d'une courbe f ayant des singularités arbitraires^ et soit ^ = o, y =- o un point multiple d'ordre n : il s'agit de définir la façon dont se comporte une adjointe en ce point. Cette adjointe kÇx^y) jouira des propriétés suivantes :

D'abord elle doit avoir le point O comme point multiple d'ordre 71 — ^ 1 . Ensuite il faut, lorsqu'on effectuera la réduction de la singularité, que les transformées successives de l'adjointe X aient comme points multiples d'ordre r — i les points multiples d'ordre r des transformées successives de f qui correspondent au point O de cette dernière courbe.

Il nous reste à voir si, ces conditions étant satisfaites, la transformée de la courbe )^, après la résolution de toutes les singularités, se transformera en une adjointe dans le sens défini au paragraphe précédent. Nous avons donc à montrer que, dans toutes les transformations successives, les courbes transformées de À

(^) Le théorème du reste a été donné par MM. Brill et Nœtlier dans leur Mémoire fondamental [ C/eôe/' die algebraischen Functlonen und ihre Amvendung in der Géométrie {Math. Anncden, t. VII)].

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satisfont aux conditions d'une adjointe pour tous les noia^eaux points multiples introduits.

Soit, en employant des coordonnées homogènes,

^"'^ YZ ^ ZX "' XY

la transformation cpiadratique qui commence la réduction de la singularité O. La courbe /se transformera en F, la courbe \ en A, ces courbes étant définies par les équations

/i>,jK,^)-Z-F(X,Y,Z), X(:r,j,^;-Z— iA(X,Y,Z);

et si m et \x désignent les ordres respectifs de /'etX, F sera d'ordre 2 m — n et A d'ordre 2 u — /? 4- i .

Or, pour F, les points multiples introduits par la transformation sont le point X = o, Y =:ri: o d'ordre m^ le point X = o, Z = o d'ordre m — /i, le point Y = o, Z ^= o d'ordre m — n\ et pour A ces points seront respectivement d'ordre p., d'ordre \k — ■ n -\- \ ^ d'ordre p, — /z -]- 1 .

Soit d'abord p ^ m — i, alors À satisfera en ces points aux conditions d'une adjointe à F. D'ailleurs on a, entre les ordres de A et F, la même inégalité qu'entre les ordres de À et/, puisque de l'inégalité p ^ /?z — i , on déduit 2 p — n -^ i^'km — n — i . En continuant la série des transformations, on arrivera donc bien au résultat énoncé.

Dans le cas où p. <; /?2 — j , soit ^.:=^ m — i — p, on ajoutera à l'adjointe primitive une courbe arbitraire de degré p. On aura ainsi une courbe composée d'ordre m — i qui se transformera en une adjointe après les résolutions de toutes les singularités.

13. Il ne sera pas inutile, en terminant ces généralités sur les adjointes, de revenir sur la définition transcendante de ces courbes. On verra comment, par une application convenable du théorème de Nœther, on arrive, presque sans calculs, à donner aux intégrales de première espèce leur forme canonique. Nous montrerons ensuite que la définition algébrique et la définition transcendante de l^ adjointe sont équivalentes.

THÉORÈME DE NOETHER. 10

Nous avons à chercher les conditions pour que l'intégrale

■ dx

reste finie pour tout point de la courbe f.

Considérons en premier lieu le cas où la courbe / n'a que des points multiples à tangentes distinctes, et soit i l'ordre de l'un de ces points.

Nous avons d'abord à exprimer que pour tout point à distance

finie, le quotient , — reste fini. Si la droite x =^ a ne passe

pas par un point multiple, nous avons vu que ce quotient doit se réduire à un polynôme.

Si la droite ^ = a passe par un point multiple (a, b) d'ordre i, alors / doit contenir [x — «)^~', en facteur, sur l'une quelconque des branches de/ passant par ce point, et l'on en conclut immédiatement que Q(^,y) doit admettre le point {a^b) au moins comme point multiple d'ordre i^ si a ^ o. Dans ces conditions, appliquant encore le théorème de Nœther, le quotient

' "^ devra se réduire à un polynôme. On passe ainsi de a à

ive à un(

X — a a — i, et, finalement, on arrive à une intégrale de la forme

OÙ Q admet alors le point (a, b) comme point multiple d'ordre / — I .

La considération des points à l'infini de / permet ensuite facilement de déterminer le degré de Q(^,Jk). Si l'on suppose, comme il est toujours licite de le faire, que les directions asymptotiques de/ sont distinctes entre elles et distinctes des axes, il suffit de faire la perspective

Aux points à Finfini de/ correspondent alors certains points à distance finie (X = o, Y r= a)^ et comme on a

/; ~ Fi

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l4 CHAPITRE I.

on en déduit de suite que le degré \ de Q est, au plus, égal à 771 — 3.

Il y a Jieu de se demander maintenant si, lorsque la courbe a des points singuliers quelconques, les intégrales de première espèce sont encore de la forme

Q étant un polynôme de degré m — 3.

Effectuons la transformation déjà étudiée (a)

qui fait correspondre à la courbe y d'ordre m la courbe

de degré 2 m — /z, qui admet m — n asymptotes de la forme Z = G. Il s'agit de montrer, comme l'on s'en rend compte immédiatement, que si la courbe F a toutes ses intégrales de première espèce de la forme

Q étant un polynôme adjoint de degré 2771 — 7i — 3 au plus, il en sera de même pour la courbe/. Exprimons successivement que le polynôme Q admet le point (Y = o, Z = o) comme point multiple d'ordre 77i — 7i — i , et qu'il a comme asymptotes les tu — 7i droites (Z = G). On en conclut que ce polynôme peut se mettre sous l'une et l'autre des deux formes suivantes :

Q(Y, Z) =. cp,,,i ( Y, Z) -. . .-I- ^2.^-.^-3(Y, Z),

Geci posé, on trouve d'abord, en prenant Q sous sa première forme, et en tenant compte de l'équation /= o, la relation

rq{Y,Z)dz __ rQ^(.T,r) dx

j Fy '^ j JK'^^-'^-i f'y'

dans laquelle on a

^ ^ x.\ 5 / y2fn--n—3

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THÉORÈME DE NOEÏHER. l5

D'autre pai^L, en envisageant la seconde forme de Q, on trouve

O2 étant un poljnome. Le rapprochement des expressions (i) et (2) de Q montre que Q, [x^y) doit contenir j/'^^~'^~' en facteur, d'où l'on déduit le résultat annoncé : les intégrales de première espèce de/, dans le cas où les points singuliers sont quelconques,

sont de la forme

* Pfrr, y) dx

et si, comme on peut le supposer, les points à l'infini de / sont des points singuliers ordinaires, on en conclura comme précédemment que le degré de P est au plus égal à m — 3.

Il nous reste à montrer que les deux définitions algébrique et transcendante de l'adjointe sont équivalentes. La même transformation (a) va nous servir pour arriver à ce résultat. Au point de vue transcendant^ une courbe \(^x^ y) = o est une adjointe si, pour tout point singulier, l'intégrale

^\{x^ 7) dx

reste Jinie, en supposant les points singuliers à distance finie. Or on a, en tenant compte de F = o, la relation

l{x, y)dx __ A (Y, Z)dZ

Y n'étant pas nul pour les transformées du point (x ==:: o, r = o), on en conclut, en continuant de proche en proche jusqu'après résolution de toutes les singularités, que la courbe transformée finale de À jouit bien des propriétés de l'adjointe selon la définition algébrique et qu'il en est par conséquent de même de la courbe X.

14. Le théorème du reste, dû à Brill et Nœther, dont nous aurons à faire un usage fréquent dans le cours de ce Volume, est le suivant :

Soit f{x, jk) = o une courbe de degré m, cjue nous supposerons cV abord n! avoir cjue des points doubles, et soit cp une

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l6 CHAPITRE I.

adj ointe cV ordre n. La courbe cp coupe en général la courbe f. en dehors des points doubles, en un certain nombre de points que nous dii^iserons en deux groupes P et Q. Cela posé^ soient à et y^ deux autres adjointes arbitraires d^ ordre n, la première passant par P, la seconde par Q; elles détacheront respectivement sur la courbe f des groupes de points Q' et P^

Fis. 3.

La proposition que nous avons en vue consiste à montrer que les points V et O' sont sur une même adjointe d^ ordre n.

Envisageons le pdljnome A^; il s'annule aux points P et Q, et a comme points doubles les points doubles de /. Appliquant alors la remarque fondamentale du n" 8, on en conclut qu'on peut écrire ce polynôme sous la forme

et l'on voit de suite que la courbe [i := o doit passer parles points doubles; c'est donc une adjointe. D'autre part, elle passe parles points P' et Q^, puisque la courbe cp n'y passe pas, et son degré est égal à n^ si, comme il arrive en général, les termes de plus haut degré dans y et C5 n'ont pas de facteurs communs : la démonstration est ainsi achevée.

Dans le cas où la courbe f a des points multiples à tangentes distinctes, la démonstration précédente s'applique de même. La courbe J;-^ a en chaque point multiple d'ordre i un point multiple d'ordre ii — 'i ■=: i -^ i — i — i .

La remarque fondamentale du n° 8 s'applique encore et l'on peut écrire la relation (i). 11 reste à voir que j3 a un point multiple d'ordre i — i. Or soit, en groupant les termes homogènes,

/•= fi -!-//+l^-.--,

cp = cp,-i -t- ^i -}-...,

a rr: aX -h «X+l -+-•••,

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THEOREME DE NOETHER. I7

et supposons, comme il arrive en général, que // et cp/i n'ont pas de facteurs communs : si l'on avait ij- << ^ — i et X <C i — 2, il faudrait que l'on eût

ce qui est impossible. La conclusion est la même que précédemment.

11 nous reste à considérer le cas où la courbe/ a des singularités arbitraires.

Mais nous avons montré qu'une adjointe se transforme en une adjointe après la résolution de toutes les singularités; cela suffit à faire voir que le théorème du reste subsiste dans les cas les plus généraux^ car on peut remonter du cas des singularités ordinaires aux singularités quelconques.

IV. — Cas des surfaces. Surfaces sous-adjointes. Théorème du reste.

lo. Le théorème de Nœther s'étend au cas des surfaces de la manière suivante :

Soient cf)(^, jK, -s) = o, ^{x^ y^ z) :== o^ fi^x, y^ z)-=. o trois surfaces; les axes étant supposés quelconques, il s'agit de trouver les conditions pour que le polynôme f{x^y, z) puisse se mettre sous la forme

A et B étant des polynômes entiers en x^ y., z.

Si la représentation (i) est possible, elle le sera pour le cas des courbes d'intersection des surfaces cp, A, / par un plan arbitraire.

Réciproquement, supposons que, dans un plan arbitraire ^ r= ^q, la représentation soit possible, c'est-à-dire que le polynôme f\OC^ y^z^i) soit susceptible de se mettre sous la forme

A(^, y, zo) cp(^, y, Zq) -1- B (^, 7, ^0) ^(^, y, ^0),

où A et B sont des polynômes entiers en x ely^ mais qui peuvent contenir rationnellement Zq *. on aurait donc une identité

(2) R(^o)/(^, y, -so) = M(^, j, zo)o{x, y, Zq) -4- N(a7, y, Zo)^{x, y, Zq),

où M, N, R sont maintenant entiers par rapport à z,

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i8 CHAPITRE I.

Soit So = ^- ^^^^ racine de R(so) ^==- o, on aura identiquement

Or cp(^,j/, a) et A(^,y, a) n'ont pas de facteur commun, car autrement une partie de l'intersection des deux surfaces serait une courbe plane dans le plan z ^= a^ ce qui n'est pas, les axes étant arbitraires.

Il faut donc que N(^, y, a) soit de la forme

en remplaçant a par Zq -[- (^- — ^o )• Mais on a

N(x,y,Zo) = N(^, jK, a)-f-(^o— a)X(.r, jr, Sq, a), donc

Q et Q2 étant des polynômes en x^ y, Zq. Substituant dans (2), il vient

l\(zo)f(j^,y,Zo) ==cp(^, ^, ^o)P-4-(^o— a)4^(^, y,Zo)Pu

P et P^ étant des polynômes en j^^ jk, ^o- E)e là résulte que P doit être divisible par Zq — a. On peut donc supprimer ainsi successivement tous les facteurs de R(so), et l'on aura finalement

f(x, y,Zo) = cp(^, y, zo) S (il-, y, Zo) -h tj;(^, y, ^0) T(^, y, Zq),

S et T étant des polynômes en x^ y^ ^0 j ^t la démonstration est achevée (^).

Appliquant une remarque faite relative aux courbes, on voit que si, en particulier, les surfaces cp et 'i ont une courbe commune qui soit multiple d'ordre q pour o et d'ordre r pour tj;, et si les deux surfaces n'ont pas de plan tangent commun en un point arbitraire de la ligne multiple, la surface /"satisfera aux conditions voulues si cette courbe est pour elle multiple de Tordre q -\- r — i .