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réductibles à la somme de deux dérivées partielles. Toute autre

expression

( Q polynôme en ^, y et ^ s'annulant sur la courbe double) réductible à une telle somme sera de la forme

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3l6 CHAPITRE X.

les A étant des constantes, \] et \ étant des polynômes en x et z (à coefficients rationnels en y^ s^ annulant sur la courbe double.

On s'en rend compte aisément, en se reportant à la forme de J-' donnée au w"^ 9. Il suffira de décomposer le quotient

en éléments simples (en le regardant comme une fonction rationnelle de x') pour avoir la forme ci-dessus.

17. Toutes les considérations que nous venons de développer sont utilisables cjuand on a pu déterminer un système de courbes

Cl, Go, . . . , Gp i

jouissant des propriétés fondamentales relativement aux intégrales de différentielles totales de troisième espèce. Elles sont numériquement applicables sur un exemple donné, mais elles ne permettent guère d'énoncer, sur le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce, des propositions générales. C'est en les combinant avec l'étude des périodes des intégrales doubles, que nous obtiendrons dans le Chapitre suivant quelques lois importantes. Pour le moment, nous allons faire quelques applications à des cas particuliers très simples, qui nous donneront l'occasion de faire une remarque générale sur le nombre Oq des intégrales doubles distinctes de seconde espèce.