IV. — Étude de quelques cas particuliers
18. Nous avons déjà eu l'occasion d'utiliser la facilité avec laquelle s'appliquent les théories générales aux surfaces dont l'écjuation est de la forme
A la vérité, elles ne rentrent pas dans la catégorie des surfaces que nous avons appelées à singularités ordinaires, ixiciis cependant avec peu de modifications les théorèmes généraux trouvent encore leur application (voir, en particulier, Chap. IX, p. 248). Ainsi, toutes les intégrales doubles de seconde espèce, relatives à
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la surface précédente, sont rédactibles à la forme
P('c2^, y) dx dy
P étant un poljnome en x etjK-
De plus, le degré du polynôme P est limité. On le montre par une analyse analogue à celle delà page 182 de ce Volume, en soustrayant des expressions de la forme
U et V étant des poljnomes en x et y.
Il sera, en général, simple d'écrire que l'intégrale double (i4) est de seconde espèce. Prenons, par exemple, le cas OLiy'(^,j/) serait un polynôme en ^ et y de degré 2/?, en supposant que la courbe
réductible ou non, n'ait que des points doubles à tangentes distinctes, et n'ait que des points simples à l'infini. L'intégrale reste finie pour x et y finis (le cas des points doubles de la courbe/^^ o se traite comme le cas des points doubles isolés d'une surface, page 121, du Tome I). Il reste à étudier les points à l'infini; on posera à cet effet
Si l'on a
l'intésrale se trouvera ramenée à
Q(X,Y)d\dY
xhVf(x7yT
Le seul cas à examiner est celui où l'entier [j. est positif. En appliquant les indications de la théorie générale, on ramènera, par des soustractions convenables, ce cas à celui où [j. :::::= i, et l'on doit alors écrire que les résidus de l'intégrale
Q(X, Y)dXdY
^Xv/fTx7y)
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3j8 chapitre X.
relatifs à X = o, sont nuls, ce qui se fera en écrivant que l'intégrale hyperellip tique
se réduit à une fonction algébrique.
On a supposé plus haut c[iie f (x,y) était de degré 2 p; si/est de degré 2 /? -H i dans la surface
il suffira de poser
pour avoir une surface
où/, sera de degré pair et jouira des propriétés indiquées.
19. Nous nous bornerons, pour le moment, à examiner un cas très particulier, où nous pourrons utiliser quelques résultats du Chapitre précédent. Faisons seulement une remarque générale. Nous avons envisagé (p. aSS) le nombre p relatif aux surfaces spéciales (^ )
Si ce nombre 0 est égal à zéro, on aura le résultat suivant :
Toute expression
susceptible de se mettre sous la forme
pourra s écrire
àk
dB
'ùi "
M et N étant des polynômes en ^ à coefficients rationnels en y.
(') Pour ces surfaces spéciales, le nombre p présente une grande analogie avec le nombre désigné par la môme lettre pour les surfaces à singularités ordinaires ; aussi avons-nous conservé la même notation, quoiqu'il n'y ait pas d'identité à établir entre les deux nombres. Ici le nombre p peut être égal à zéro, tandis que précédemment il était au moins égal à un.
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THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. SlQ
20. Envisageons, en parliciilier, les surfaces de la page 2^4?
oiifi^x) ^^ f {y) sont des polynômes arbitraires de degrés 2/? + i et 2g H- I .
Par des rédactions tout élémentaires, il est clair que toute intégrale double de seconde espèce est réductible à la forme
'?{œ,y)dxdy ^
où P(x, y) est un polynôme en x et jk? de degré 2p — • i par rapport à x^ et de degré iq — 1 par rapport k y. On va montrer que, si les poljnomes /"et F ne sont pas particuliers, aucune intégrale de ce type n'est réductible à la forme
-—-}--— dx dy.
àx dy I -^
En effet, pour les surfaces précédentes, les seuls cj/lindres
cp(^, r) = o
(où cp est un polynôme en x^ de degré au plus égal à /?), qui coupent la surface suivant deux courbes, se réduisent k x :=. a^ a étant racine de/. Donc A et B peuvent être ramenés à la forme
U étant un polynôme en ^ à coefficients rationnels en jk- Mais le facteur /(x)" du dénominateur peut lui-même disparaître, en relrancbant, par exemple, de B une dérivée partielle convenable par rapport à x. Finalement, en appliquant à ce cas particulier les méthodes générales de la section précédente, on voit que B peut être supposé de la forme
^ ^ ai3?2p-i-f-...-4- a^p
les a étant rationnels en j/. Si donc
p. ET S., IL
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est susceptible de la forme
dA ^ dB àx ày
on devra pouvoir déterminer les a l'ationnellement en jk, de telle sorte que la difFérence
sJj\x)Y{y) ày
ai^2p-l.
regardée comme fonction de x^ soit la dérivée, par rapport à x^ d'une fonction rationnelle de x et slf{x). Mais ceci est impossible, car, V[x^ y) étant par rapport à x de degré ip — i, cette différence est de la forme
les a dépendant dey seul. Or, une telle expression ne peut être la dérivée d'une fonction algébrique que si tous les b sont nuls. Donc, si l'on pose
les A étant des polynômes en y de degré iq — i , on devra avoir
v/F(y) ày
mais ceci est impossible, car
v/FÔÔ
où Ki est un poljnome en y de degré iq — i, ne peut être la dérivée d'une fonction algébrique.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante : Pour ta surface
le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce est égal à
^pq.
Ceci suppose que les poljnomes/*(^) et F (y) sont des polynômes arbitraires de degrés i p -\- i et 2^-f- i.
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21. Arrêtons-îioiis plus particulièrement sur le cas où f[x) et F(jk) sont du troisième degré. Nous pouvons énoncer alors avec plus de précision que la surface
aura quatre intégrales doubles distinctes de seconde espèce,
ou que
po = 4,
si l'on ne peut satisfaire à l'équation
C étant une constante convenable, par une fonction rationnelles àe y, ne se réduisant pas à une constante {^voir p. 256).
Soient, en particulier, les polynômes F et /identiques. Nous ne serons pas alors dans le cas précédent. On a vu que, en laissant de côté les sections s == a (a étant racine de /"), le nombre p est égal à l'unité. Nous aurons alors une intégrale de la forme
(A, B, C, D étant des constantes), qui sera réductible à la forme
Cette intégrale, qui ne se rencontrait pas tout à l'heure, pourrait se déduire d'une analyse analogue à celle du n° lo de ce Chapitre; cette analyse fait correspondre au couple de courbes correspondant à
une intégrale de la forme indiquée. On l'obtient encore en appliquant l'identité classique déjà rencontrée (voir notamment page 262)
\/f(^)Ar) ^^
Le polynôme U(s, jk) en s et j* n'est pas du premier degré par
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rapporl à ^ et par rapport à y] mais par la soustraction d'une expression
dcp
dy
où M et N sont des polynômes en x et y, on peut ramener U à avoir la forme
A -f- B .r -H G jr -1- D xy (A, B, G, D étant constantes), et l'on a alors une identité
A -(- B ^ -4- Oy -f- D xy
où R et s sont des polynômes en x et y. D'ailleurs R et S ne sont évidemment pas nuls identiquement, et il en est, par suite, de même du premier raiembre, comme il résulte du n° 21 du Chapitre IX (p. 203).
11 y a donc une intégrale de la forme (i5) qui est réductible, et, par suite, le nombre po est diminué d'une unité. Il n'est pas diminué de plus d'une unité ; c'est ce qui résulte de ce que l'on peut former une intégrale de différentielle totale ayant comme courbes logarithmiques le couple de courbes correspondant à x =:. y, et un couple quelconque de courbes correspondant à un cylindre cp(^,j/) = o (page 261). Nous avons donc pour la surface
le nombre po égal à trois (po = 3). Ceci suppose toutefois, rappelons-le, que, pour le polynôme du troisième degré f{x)^ les fonctions elliptiques correspondantes n'admettent pas la multiplication complexe.
