Les conclusions sont différentes si nous sommes dans un
cas de multiplication complexe. Bornons-nous comme plus haut
(page 205) à
11 y a alors deux couples de courbes logarithmiques, pour une intégrale de troisième espèce, jouant le rôle fondamental dans la
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réduction. 11 n'j avait tout à l'heure que le couple correspondant à
Nous avons ici en plus le couple correspondant à
X =JK£ (s racine cubique de l'unité),
à ce couple correspond une seconde intégrale du type (i5) qui est réductible. Sans qu'il soit nécessaire d'insister, on a ici
pour la surface
Le résultat précédent est général quand le poljnomey*(.a;) correspond à la multiplication complexe.
23. Ces exemples nous suffiront pour le moment. Ils appellent l'attention sur une circonstance extrêmement remarquable, je veux parler du caractère arithmétique de V invariant po. Ce nombre ne dépend pas seulement de questions de configurations et de singularités relatives à la surface algébrique. La nature arithmétique des coefficients de l'équation influe sur sa valeur. Ainsi, pour la surface
le nombre Po est égal à trois en général. Ce nombre s'abaisse à deux, quand les coefficients de f{^x) satisfont aux conditions arithmétiques relatives à la multiplication complexe. L'invariant Po est donc, à ce point de vue, bien différent du genre riemannien /? relatif aux courbes planes, ou des genres géométrique et arithmétique pg et p,i que nous avons précédemment étudiés. On comprend combien cette circonstance rend difficile la recherche de lois générales. Nous ferons dans le Chapitre suivant l'étude des périodes des intégrales doubles, qui a de nombreux points de contact avec les questions qui nous ont occupés dans ce Chapitre. Terminons, pour le moment, par quelques re^ marques sur la réduction des intégrales doubles, en revenant à la surface à singularités ordinaires.
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V. — Quelques remarques générales sur la réduction des intégrales doubles.
24. Reprenant la surface à sing-alarités ordinaires, nous reviendrons un moment sur la question de la réduction des intégrales doubles de seconde espèce. Rappelons les résultats obtenus. Il a été démontré au Chapitre Vil que toutes les intégrales doubles de seconde espèce pouvaient être ramenées, par la soustraction d'une intégrale
W ffi^^^^i^)
ÔA dB\
(A et B rationnelles en x^ y et z)^ à la forme
jf-
fz
dx dy^
où P est un polynôme s^ annulant sur la courbe double.
On a ensuite procédé (même Chapitre) à la réduction de ces intégrales; elles ont, par la soustraction d'une intégrale
(U et V étant des polynômes en ^, j/et ^), été ramenées à la forme
(17) JJ^^^cl.dy,
OÙ le polynôme Q en x^ y et z ne s'annulait pas nécessairement sur la courbe double, mais était de degré limité. Il a été ensuite indiqué (Chap. VIII, p. 208) (\\\e ces dernières intégrales pouvaient elles-mêmes se ramener, par la soustraction d'une intégrale (16), à la même forme, avec degré limité, mais le polynôme Q s'annulant alors sur la courbe double. La démonstration de ce résultat est très simple, en passant par l'intermédiaire d'une transformation birationnelle qui dissout la courbe double, transformant la surface donnée S en une surface S. On a alors pour la surface S
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une intégrale double qui ne devient plus infinie sur la courbe double. On peut faire la rédaction en faisant disparaître la ligne d'infinij qui est la transformée de la courbe double, et, en revenant à S, on a une intégrale qui reste finie sur la courbe double. Les transformations du Chapitre VII nous amènent à une intégrale de la forme (17), mais où Q s'annule sur la courbe double.
25. Nous venons de rappeler le résultat précédemment obtenu, à savoir que toutes les intégrales doubles de seconde espèce se ramènent par la soustraction d'une intégrale (16) à la forme (17), oîi le degré du polynôme Q est limité^ ce polynôme s^ annulant sur la courbe double.
Allons plus loin, en nous servant des résultats du Chapitre actuel. Nous avons un nombre fini d'intégrales
R/^ dx dy
(le polynôme R/^ s'annulant sur la courbe double) auquel se ramènent toutes les autres. Une intégrale quelconque de seconde
espèce
r r F (x, y, z) dx dy
