Supposons maintenant que l'intégrale double

(.0) JJVi..y,zU.dy

(P polynôme s'annulant sur la courbe double) ne soit pas de seconde espèce. Cette intégrale aura 2/? résidus relatifs à la ligne à l'infini de la surface. Admettons qu'on puisse trouver ip intégrales doubles

de la forme précédente, telles que le déterminant d'ordre ip formé avec l'ensemble des résidus de ces intégrales soit différent de zéro. On pourra alors de l'intégrale (20) retrancher une intégrale convenable

Al J 1 -{- A2 J 2 -\- . ■■ . -f- A2p J2p

les A étant des constantes), de telle sorte que la différence soit

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une intégrale de seconde espèce. On a donc la conclusion sui-

vante :

On peut trouver un certain nombre s d'intégrales de la forme (20), soient

h= f f''^^"'/''''dcody (.-=1,2, ...,,5),

'-//^^^Tf^'-*

les polynômes P/ en (^, j, z) s' annulant sur la courbe double, de telle sorte que toute intégrale (20) soit susceptible de se mettre sous la forme

les a étant des constantes, U e^ V étant des polynômes en x et z à coefficients rationnels en y, s' annulant sur la courbe double.

On peut d'ailleurs supposer que s est le nombre minimum, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire des I n'est susceptible de la forme (19).

27. Nous avons admis qu'on peut trouver une intégrale de la forme (20)^ dont les ip résidus relatifs à la ligne à l'infini de la surface ont des valeurs arbitrairement données. Pour l'établir, considérons une intégrale abélienne arbitraire de seconde espèce de la courbe entre x et z^

qui soit de la forme

^'"'^ J fi

P étani un polynôme en x. y et z^ s'annulant sur la courbe double. Envisageons l'éqnation différentielle linéaire E d'ordre 2/?, relative aux 2 p périodes de cette intégrale regardées comme fonctions de y; nous avons déjà bien des fois considéré cette équation E, qui a joué un rôle essentiel dans nos théories. Plaçons-nous dans le cas, qui est le cas général, ou cette équation n'admet pas comme intégrale un polynôme en y.

En désignant par (o(y) une période arbitraire de l'intégrale abé-

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lienne (21), nous avons vu (Ghap. VJII) que

<y)dy,

prise autour du point à TinHui, était un résidu de l'intégrale

double

' P (^, jKj ^) dx cly

Considérons ip périodes distinctes

de (21). On a les développements autour de y = 00

ij ^ j y y"- y^'

Les ip fonctions (0/ sont linéairement indépendantes. De plus, il n'y a pas de combinaisons linéaires des to/ qui se réduisent à un poljnome en y.

Il en résulte que, pour A- pris suffisamment grand, les 2/? expressions linéaires

(22) a\%j^^ -^ a^^^i^^^''^'^ -\- . . .-\- ak^j'^ (/ = i, 2, . . . , 2/>)

aux indéterminées

ai, ^2, . . . , ak

sont linéairement indépendantes, car si, pour toute valeur de A", ces expressions linéaires n'étaient pas indépendantes, tous les déterminants d'ordre 2/> formés avec les a.^^ seraient nuls, et l'on pourrait former une combinaison linéaire des (o/ se réduisant à un polynôme. Le nombre k étant pris suffisamment grand, envisageons l'intégrale double

dx cly,

où Fon pose

?(j') = «jjK^'-^ -+- a^^y^'-'^ -+-. . .-t- a/,i r-t-aA^,

les a étant des indéterminées. Les ip résidus de cette intégrale double sont, au facteur ^izi près, les expressions (22). D'après

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ce qui précède, on peut choisir les indéterminées a de manière que ces expressions aient telles valeurs que l'on veut, puisqu'elles sont linéairement indépendantes. Il est donc établi qu'o/z peut trouver une intégrale double (20) ayant ip résidus arbitrairement choisis.

Cette remarque jouera dans la suite un rôle important (').

(^) Nous nous sommes servis dans ce Chapitre du théorème fondamental de la page 2qi où figure le nombre p. On peut faire, au sujet de l'analyse développée sur cette question au Chapitre IX, la remarque suivante, qui simplifie la démonstration de ce théorème, il a été formé (page 289) une intégrale de différentielle totale

(a) fRxla^-hSdy.

Nous avons dit que l'intégrale (a) ne pouvait avoir d'autres courbes logarithmiques que les courbes

Cj, C2, . . ., C'^

et la courbe à l'infini sur la surface. En fait, la courbe à l'infini n'est pas une courbe logarithmique de l'intégrale. En effet, l'intégrale abélienne

(P) fRdcc

{y ayant une valeur fixe arbitraire y), relative à la courbe entre x et z^ f{x,y, z) = o ne peut avoir, comme point singulier logarithmique à l'infini, que le point M {voi?^ page 282); les m ~ i autres points de la courbe à l'infini ne sont pas des points singuliers logarithmiques pour l'intégrale. Or les m périodes logarithmiques de (p) doivent être les mêmes pour les m points à Tinfini de la courbe, puisque (a) est une intégrale difi"érentielle totale, et que par suite pour les m points de rencontre de la ligne de l'infini de la surface avec le plan y —y la. période logarithmique doit être la même. Il résulte de là que cette ligne à l'infini n'est pas une courbe logarithmique de l'intégrale. Ceci exige que l'on ait

en désignant par d^, d^, . . ., d^ les degrés des courbes C^, C2, C)^, et cette relation sera nécessairement une conséquence des relations de la page 286 entre les K et les c.

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SUR LES PÉRIODES DES INTEGRALES DOUBLES ET LEURS RAPPORTS AVEC LA THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE (M.

I. — Sur les périodes des intégrales doubles de première espèce.

1. Nous avons déjà dir un mot au Tome I de cet Ouvrage sur les périodes des intégrales doubles, et notre point de départ a été le suivant. Prenons l'intégrale double de première espèce

Q(^, jK, -2) dcp dy

et envisageons la courbe entremet z de genre />, poury arbitraire

Les ip périodes de l'intégrale (ici de première espèce)

, X C Q(-y, r, z) dx

sont des fonctions de y^ satisfaisant à Téquation différentielle linéaire que nous appelons E, et dont les points critiques b correspondent aux points simples de la surface où le plan tangent est parallèle au plan des zx. Considérons un cycle F de la courbe (i),

(^) E. Picard, Sur les périodes des intégrales doubles dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Comptes rendus, i8 novembre et 23 décembre 1901, qI Annales de l'École Normale supérieure, 1902). — Sur les périodes des intégrales doubles et leurs rapports avec la théorie des intégrales doubles de seconde espèce {Comptes rendus, t. CXXXVII, 1908, et Annales de l'École Normale supérieure, 1900).

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se déformant avec y et revenant à sa position initiale quand j/j ayant décrit un certain chemin fermé G, revient lui-même à son point de départ. On obtient évidemment de cette manière un cycle à deux dimensions, qui donnera naissance à une période de l'intégrale double. Le cycle F sera caractérisé par ce fait que la période correspondante

de l'intégrale (2) revient à sa valeur initiale, quand y décrit la courbe G. Ges considérations généralisent celles que nous avons employées pour obtenir les résidus des intégrales doubles; dans ce cas, 4e cycle F se réduisait à un contour infiniment petit autour d'un pôle.