Nous allons étudier la forme analytique de l'intégrale

prise le long du contour G. Gette étude nous fera connaître certaines expressions analytiques remarquables, qui nous conduiront d'elles-mêmes à généraliser le mode de génération des périodes de notre intégrale double.

Désignons par

èi, &2, ..., &N

les points critiques de l'équation différentielle E (N désigne ici la classe de la surface).

Nous joignons ces points à un point a du plan de la variable jk, et nous considérons les différents lacets ab^^ ab^t ..., ctb^ formés,

Fig. i5.

commed'habitude, d'un cercle infiniment petit autour d'un point b et d'un chemin allant de a à ce cercle {fig- i5).

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Pour chaque point critique y = b^ réquatioa fondamentale déterminante de E a une racine double. Cette racine double correspond (^voù^ T. ï, p. gS) à une intégrale hoJomorphe ^(jk), et une intégrale non holomorplie ^' (y) contenant un terme logarithmique log(jK — ^), de telle sorte que l'on ait

f{y) étant, comme û(j)/), holomorphe autour dey =: b. Les ip — 2 autres intégrales, formant avec 0 et ù,' un système fondamental, sont holomorphes autour àe y =1 b.

Ceci rappelé, tout chemin C partant de a et y revenant, se ramène à une somme de lacets parcourus dans un ordre quelconque. Désignons d'une manière générale par

la période de l'intégrale (2), holomorphe autour du pointy =^bii et qui correspond à la racine double : elle est parfaitement définie de bi en a sur le lacet.

Une période c[uelconque ^{y) de l'intégrale (2), quand y tourne autour du point bi^ se reproduit à un terme additif près de la forme

miQi{y) {iTii étant un entier),

comme il résulle immédiatement de la forme de la période appelée tout à l'heure d'une manière générale Q'(jk), toutes les autres périodes étant holomorphes autour de bi>

Donc, quand y décrivant un chemin fermé C revient au point de départ, l'intégrale considérée w(j)/) de l'équation linéaire E s'augmente d'une expression de la forme

la sommation s'étendant à un certain nombre de points bi. Si l'intégrale co revient à sa valeur initiale, on devra avoir

^TUiHi^y) = o.

Quant à la valeur de l'intégrale

(3) Ju,{y)dy,

le long- da contour G, elle est facile à calculer; sur le lacet abt^ il reste, après suppression de termes se détruisant à l'aller et au retour,

nii l Q,i{y)dy, et, par suite, la valeur de l^ intégrale (3) est

^mf ^Uy)dy,

Dans cette expression ^/(jk) est définie sans aucune ambiguïté le long- du chemin hta. D'ailleurs l'expression (4) ne dépend pas du point choisi a, comme il résulte immédiatement de l'identité

3. Les considérations précédentes appellent donc notre attention sur les expressions de la forme (4), correspondant à une identité de la forme (5). Une question se pose d'elle-même :

Une expression (4), V identité (5) étant supposée satisfaite, peut-elle être envisagée comme une période de V intégrale double

Nous entendons par période de l^ intégrale double, de la manière la plus géaérale, l'intégrale prise le long à^ un cycle à deux dimensions, c'est-à-dire d'un continuum fermé à deux dimensions à chaque point duquel ne correspond qu'une seule valeur de {x,y,z).

La réponse à la question posée est affirm^ative, comme nous allons l'établir. Soit donc l'identité

(6) miQi (jK )+...+ ^5^^(jr) — o (les 7?i étant entiers),

entre un certain nombre de fonctions Q, on va montrer ^i^'^;7 existe un certain cycle à deux dimensions, tel que la valeur de Vinté g raie double

If

Q(a?, 7, z) dx dy

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prise le long de ce cycle est égale à

by ^ b.

Cette valeur est d'ailleurs manifestement indépendante de la constante a.

lérons l'intégrale

Considérons l'intégrale

de l'équation E, en désignant par Q.\ l'intégrale relative au point b^ déjà envisagée au n*^ J. Quand y partant de a décrit le lacet h\^ l'intégrale m^Q!^ s'augmente de

7niûi(jK).

11 faut interpréter ce fait analytique au point de vue de la géométrie de situation. Soient d'une manière générale sur la surface de Riemann entre ^ et ^ donnée par l'équation

pour la valeur y^ Y ^ le contour correspondant à Qj (j/) et Y\ le conlour correspondant à 0'^. Partons du contour

pour jK = <^; le cheminement de y se produisant, ce contour se déplace en se déformant, et, quand y revient en a, on a le contour

Il est clair que, pendant la déformation, on engendre ainsi une surface ouverte, mais cwec le seul bord

et la valeur de l'intégrale double correspondant à cette surface ouverte est

f ^^i(y)dy.

De la même façon, les différents autres termes de la somme (7) correspondront à des surfaces ou\>ertes avec les bords

r^ ayant la signification analogue à F'J quand bi remplace 6^ .

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Nous avons donc s surfaces ouvertes avec les s bords indiqués. D'autre part, pour y arbitraire, les s contours

mi Fi , m^ Tii . . . , m^^ T,-

limitent, sur la surface de Riemann,

une certaine portion P de la surface, comme il résulte de l'identité (6) qui exprime que les s intégrales

ihiy), ..., 0,(7)

ne sont pas distinctes.

Considérons, en particulier, la portion P^', sur la surface correspondant àjK = Ci' Cette portion P^, avec les s surfaces ous^ertes envisagées ci-dessus , forme une surface fermée, qui est un cycle à deux dimensions; la valeur de l'intégrale double sur cette surface est précisément l'expression (7) donnée par les s surfaces ouvertes, puisque sur la portion P^, correspondant à j-= a, l'intégrale est nulle. Le théorème énoncé est donc établi.

Il est important de remarquer que nous n'avons pas à nous préoccuper de savoir si la portion P^ contient ou non des points à l'iniini, puisque l'intégrale double dont nous sommes partis est de première espèce. Il en serait autrement pour une intégrale double qui deviendrait infinie à l'infini puisque l'intégrale suivant P^ pourrait n'avoir aucun sens. Nous parlerons de ce cas dans la section suivante.

4. On peut se demander si toutes les périodes de l'intégrale double peuvent être engendrées au moyen des cycles à deux dimensions que nous venons de considérer. Nous allons établir que tout cycle à dimensions, situé tout entier à distance finie y est susceptible de la génération précédente. Nous emploierons, à cet effet, quoique dans des circonstances plus compliquées, le même genre de raisonnements qu'à la page 58 du Tome I de cet Ouvrage, quand nous avons étudié les périodes d'une intégrale double de fonction rationnelle pour un continuum fermé à distance finie.

Concevons donc relativement à la fonction algébrique ^ de ^ P. ET S., TI. " 22

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ely définie par

un cycle à deux dimensions situé à distance finie.

Posons

ce = xi-^ icc2, y = yi-^ ^yi ^

toute surface à deux dimensions sera représentée par deux relations entre ^^ , ^27 y\ ^t ro.

De même, le continuum critique C sera représenté dans l'espace à quatre dimensions réelles

(^1, oc^.yuy^^)

par deux relations entre les quatre lettres .r,, ^2, Ji ^^ fi- ^^o"»" une valeur donnée à jKs, nous avons sur ce continuum un ensennble à une dimension de valeurs de ^^ , x^ et j, , que Ton peut regarder comme représentant un certain nombre de courbes gauches a dans l'espace à trois dimensions

il faut d'ailleurs à chaque valeur de x^^ x^^ y i , y^ associer la

valeur correspondante de z^ de sorte que nous entendons par

courbe a le lieu de points {x^, oc^-, y \) pour une valeur de JK2 avec

association des valeurs correspondantes de z.

Chaque plan

fx — const.

rencontre les courbes a en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir : le nombre des points de rencontre de C avec un plan arbitraire parallèle au plan des zx.

Sauf pour certaines valeurs de ^9 en nombre fini, Tensemble des courbes a ne présente pas de points multiples; les valeurs de y^^ pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de i dans les valeurs de y pour lesquelles le plan correspondant parallèle au plan des zx est tangent à la courbe G (et en même temps à la surface). Ces valeurs de y sont celles que nous avons constamment désignées par 6, et qui ont joué dans toutes nos recherches un rôle capital. Pour les valeurs de y 2. correspondant au coefficient de i dans un des b,

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PÉKIODES DES LMÉGRALES DOUBLES. 887

deux courbes a auront an point commun, formant un ^ovul double pour l'ensemble des courbes a. Soit, pour la valeur h considérée

b — bi-^ ib.i\

pour y^2 voisin de h^ et un peu inférieur, les courbes a dans l'espace (^i , ^97 y \ ) n'ont pas de point double, mais deux branches passent très près l'une de l'autre. PourjK2== ^2? ces deux branches se rencontrent, etpourjK2 supérieure 60? elles ne se rencontrent pas, de sorte que, au moment du passage de y^ par ^o, les deux branches se sont traversées; ce fait est à retenir pour ce qui va suivre.

Revenons à notre cvcle S à deux dimensions. Cette surface étant tout entière à distance finie, il n'y aura de points de la surface que pour des valeurs de y^i^ comprises entre deux limites a^ et (^2 («) << a^)^ Quand y^ en croissant devient égale à a^^ une courbe fermée correspondante de S commence à paraître, et l'on peut la représenter dans l'espace (^^, x^^yC).

Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette courbe se réduit à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui sont venues se confondre; dans toute autre hypothèse, la surface S ne serait pas fermée. On peut faire abstraction de la première hypothèse, car, si pourjKo=:a, la courbe se réduisaità un point, il arriverait que, pour y^ arbitraire, la courbe correspondante, extension de ce point, ne tournerait pas autour des courbes a, et l'on pourrait, par une déformation continue, réduire à zéro, sans rencontrer aucune singularité, une portion fermée de la surface qui pourrait être supprimée. Nous avons donc, pourjK2=<^i? "ne certaine courbe enveloppant quelques-unes des lignes a; quand y^ croît, cette courbe se dédouble, et l'on a ainsi, pour y^ arbitraire, des couples de courbes qui, pendant la variation continue de ^^2, ne peuvent disparaître que deux à deux en venant à coïncider. Nous désignerons par G une de ces courbes, correspondant à une valeur d'ailleurs quelconque deys- Faisons croître JK2 depuis a, ; on aura ainsi une suite continue de courbes G, et la surface S pourra être ainsi décrite tout entière en faisant varier d'une manière continue y^i (non pas nécessairement toujours dans le même sens) et en revenant en a^ avec la position initiale de G.

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o. Nous allons maintenant déformer S, en déformant chacune des courbes C. Figurons {fig> i6), pour une valeur de yo, la courbe G et les lignes a dans l'espace (cT,, x^i^ JKO*

Tant que y<i ne rencontre pas une valeur singulière désignée plus haut d'une manière générale par 60, on peut faire glisser en c[uelque sorte la courbe C, sans rencontrer les lignes correspondantes a^ de manière à lui faire prendre une position F dans le plan

Yi = K (K étant une constante fixe),

cette opération se faisant elle-même d'une manière continue quand y^ varie. Mais pour j'2= ^25 on a deux lignes a, se rencontrant, et il peut arriver que l'on ne puisse plus déformer C en l'amenant dans le plan y^ = K, sans traverser a. C'est ce qui arri-

Fi£-. 18.

vera dans les figures 17 et 18, en supposant, dans la figure 17, que le plan j)/, ==: K soit au-dessous du point double A de a. Les deux figures précédentes représentent d'ailleurs les deux circon-

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PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. SSg

Stances essentiellement différentes pouvant se présenter; les antres €as étant des combinaisons de ces deux cas.

Pour y 2 voisin de bo, on pourra bien faire glisser G de manière à l'amener dans le plan y, = K, mais voici la circonstance qui va se présenter. L'opération qui amène G dans ce plan ne se fera pas d'une manière continue à l'instant du passage dey2 parla valeur 62. En d'autres termes, pour jj/2== ^2 — £ et pour y^ == ^2 + ^^ (^ et e^ très petits), la courbe Go et la courbe infiniment voisine GJ, correspondant à ces deux valeurs de y 2 n'auront pas été ramenées dans le plan j/^ =: K à deux courbes infiniment rapprochées.

La raison en est que deux branches de la ligne a se sont traversées quand JK2 est passée par 62. Il est facile de voir dans quelle dépendance sont les deux transformées T^ et F'^ de Go et G'o après les glissements les amenant dans le plan y^ = Iv.

Prenons d'abord la figure 17. Le dessin suivant est fait dans le plan j|/i = K; on désigne par /rii et /7Z2 les points de rencontre

l^ig. 19.

Ta

avec ce plan des lignes a qui correspondent à j^o = ^2 — 2; et par m[ et m[y les points de rencontre avec le même plan des lignes a correspondant à j)^2 = ^2+ 2^- L'un des dessins correspond àjK2= ^2 — £ et l'autre à j^2 = ^2 + 2^

On voit de suite que le cjcle F^ est équivalent au cjcle Fo plus le cycle correspondant à une courbe tournant autour de ??2i et/??2- Fig. 20. Fie-. 21.

Les circonstances sont différentes avec la figure 18. On a alors les dessins ci-dessus {fig.- 20 et 21) : les contours Fo et Fj^ sont les mêmes, mais le sens de la flècbe est changé.

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34o CHAPITRE Xr.

6. Ceci posé, suivons la déformation de la surface S obtenue en ramenant chaque courbe C dans le plan y^ = K. Cette déformation se fait d'une manière continue, sauf quand j^^o jxasse par une valeur désignée par ^2 ^t que l'un ou l'autre des c^as du paragraphe précédent se présente. Supposons que nous soyons dans le cas de la ligure l'y, et gardons les notations du paragraphe précédent. Dans la surface déformée les lignes Fq et F^ qui correspondent à deux valeurs très voisines dey2"e sont pas très voisines Fune de Fautre ; on passe d'une manière continue de l'une à l'autre en déformantFo de Fq en Cq dans l'espace (x^ , ^o. y^ , bj — s), puis en allant de Co en Cq sur notre surface initiale S, et enfin amenant GJ^ en Fj^ dans l'espace (^^, ^^^ JKi, ^2+ s'). Or, on peut réaliser autrement et d'une manière équivalente ce passage de l\) en F^. Considérons, à cet effet, le cycle F^ qui est dans le continuum

et qui est sur la surface de Riemann entre ^ et 5

JXx'.y, z) = o.

Faisons partir j^ de la valeur ci-dessus, et faisons décrire à cette variable dans son plan un contour fermé autour du point 6, dans un sens convenable^ et en supposant que sur ce contour la valeur de j^2 s'éloigne peu de ^2- Le cycle Fq se transformera, d'après ce que nous avons vu dans bien des circonstances, par cette circulation en un cycle ayant la forme de Fj,, et qui sera, si l'on veut, Fy dans l'espace (xj , 0^2, J\i ^2 — s) ; la surface engendrée pendant ce déplacement augmentée de celle qui correspond au transport de la courbe Fj, de l'espace (^1 , j^2? JKi , ^2 — ■ ^) à la courbe F'^ de l'espace (^^, ^2? JKo ^o + ^O* ^^ second mode pour passer de F^^ à F Q est équivalent au premier, c'est-à-dire donne la même valeur pour l'intégrale double sur les surfaces correspondantes. Nous avons donc fait disparaître la discontinuité dans la déformation de la surface obtenue en déformant la courbe C en cycles dans le plan de la variable x pour

et, par suite, nous pouvons substituer à la surface S une surface connexe formée de lignes F, à la condition d'ajouter la portion

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dont il vient d'être parlé et qui est elle-même formée de cjcle^ correspondant à jk = const. De là résulte que nous n'avons à envisager, pour le calcul de la période, qu'une intégrale de la forme

prise pour un chemin convenable de la variable y. Si donc, en décrivant notre surface cyclique S avec la courbe G, nous ne rencontrons, pour les valeurs singulières de y^-, que le cas de la fig-ure 17, la période sera obtenue par l'intégrale précédente, où ù)(jk) est une période de

prise le long d'un chemin fermé convenable, ce qui démontre bien le résultat énoncé et nous conduit aux formes étudiées au n^ 3. Les choses se présentent sous une forme un peu différente dans le cas de la "figure i8. Il n'est pas possible, en effet, de trouver un chemin dans le plan de la variable jk menant de Fq à T'^^. Nous allons calculer directement la valeur de l'intégrale double prise le long de la surface engendrée par le déplacement de la courbe F^, de l'espace (x^^ ^2?yi-) ^2 — ^) à la courbe F',^ du même espace, après avoir passé par les courbes Cq et CJj. Nous ne changerons pas la valeur de l'intégrale double si nous substituons à C^ et C^ deux courbes de même forme mais très voisines de A, et les supposant respectivement dans les espaces

{cci, x^, yu b.2 — s) et (cc^, x^^yi^ b.,-^ z' ).

La surface en question pourra alors être engendrée en laissant d'abord j/2 égal à ^2 — ^ ^t faisant varier j^i et déformant en maintenant F^, de manière que, jKi étant très voisin de bi (en posant comme plus haut b = bi-\- iboj et 6, étant Vy^ du point double A), la transformée F, de Fq soit de dimensions très petites et très voisines de A, puis ensuite avec ^2= ^2 -+-^'5 on aura une surface résultant de la déformation de T[^ et se terminant à une courbe F', , avec j/j très voisin de 6,, qui est de dimensions très petites et très voisine de A; outre ces deux surfaces^ il y aura des surfaces de dimensions très petites reliant F, à G,, puis Ci à G/, et enfin G', àF'^.

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L'intégrale prise Je long des trois dernièies surfaces est négligeable, c'est-à-dire qu'elle donne zéro quand les dimensions de C|, G',, r, et r'^ tendent vers zéro, et il reste comme valeur de notre intégrale sur la surface limite

2 f iKy)dy,

0(y) correspondant au cycle F (c'est la notation déjà employée)^ et en posant

Les deux portions de l'intégrale ne se détruisent pas, il y a au contraire multiplication par deux, parce que le sens sur le contour a changé, comme l'indique la figure i8. En définitive, le passage de y^ par b^ amène le changement de signe de 0, en même temps qu^il faut ajouter l'intégrale ci-dessus; il revient au même de dire que l'on intègre

w(j) dy

le long d'un chemin qui passe parle point singulier y = b, w(y) arrivant au voisinage de ce point avec la détermination 0(/y); mais, après le passage de y par 6, on doit changer le signe de a)(j).

On pourrait donner une forme analogue au résultat trouvé plus haut relatif à la figure i6, en disant que l'on prend l'intégrale

M(y)dy

le long d'un chemin passant par le point critique b; en ce point, to (y) devient alors infinie (comme un logarithme), et, après le passage dey par 6, on doit augmenter w(j') de 0(,x)-

Eli combinant les résultats précédents, nous voyons que l'intégrale double prise le long du cycle S peut s'obtenir de la manière suivante : Soit w(y) une période convenable de l'intégrale

Q{cu,y, z)dx

on formera l'intégrale

iù{y)dy

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dans le plan de la variable complexe y le long' d'un chemin D pouvant passer par les points sing-aliers désignés d'une manière générale par b. Quand D traverse le point singulier ^/, on doit aug-men-

ter ^(y) de

^i étant un entier positif ou négatif, et ^î{y) ajant la signification du n° 2. De plus, en revenant au point de départ O sur le chemin D, on doit retrouver ]a détermination initiale de w(y), puisqu'on revient à la même couri3e G sur la surface S. La valeur de l'intégrale est alors facile à calculer. Figurons le chemin D avec les trois points 6j, 60? ^3 (fig- 2^) pour fixer les idées et le point

Pis. 22.

de départ O. Soit, eiî outre, a un point quelconque dans le plan;

traçons

abi^ ab2^ cib^,

que l'on va regarder comme des lignes doubles. Au lieu de prendre l'intégrale

I tù(y)dy

sur le contour D, on peut la prendre sur le contour

0 bi abi b-iab^b^^ab^O ^

en supposant que, aux points correspondants de abi et de bia^ la différence des valeurs de w(/) est [j./Q/(j^), le saut brusque ayant

alors lieu en a. D'ailleurs, comme on doit retrouver la même valeur en o, il faut manifestement que l'on ait l'identité

^^^)±iili{a)^o.

Enfin la valeur de l'intégrale sera

ili{y)dy.

Par suite, toutes les périodes de notre intégrale double peuvent être obtenues au moyen des combinaisons envisagées au n^ 3. Le résultat énoncé au commencement du n'' 4 est donc établi.

7. Dans la forme analytique que nous avons donnée aux périodes de l'intégrale double figurent les fonctions ^[y) relatives à chaque point singulier.

On pourrait, sans parler de ces périodes particulières de l'intégrale abélienne

Ç^ix, y, z) dx

—fi '

donner encore la forme suivante aux périodes de l'intégrale double. Soit toujours a un point arbitrairement choisi; considérons une intégrale ^i{y) de l'équation différentielle linéaire E relative aux périodes de (8), et supposons que jK partant de a y revienne après avoir décrit un chemin C^- autour de bt et avec la détermination wJ(jk) ; on fait ainsi pour un certain nombre de points singuliers b. Supposons enfin que Von ait l'identité

(9) ^^iiy)^^^^'i{y)-

Alors l'expression

(10) ^j^^i(y)dy

est une période de l'intégrale double. Il est clair, d'après l'identité (g), que l'expression (lo) ne dépend pas de a.

Dans tous les numéros précédents, nous avons supposé, comme il était permis, que la surface algébrique / avait une position

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quelconque par rapport aux axes de coordonnées; dans ces conditions, les points singuliers b de l'équation différentielle linéaire E, qui a joué un rôle capital dans toutes nos recherches, possèdent des propriétés d'une remarquable simplicité qui nous ont été très utiles. Enonçons seulement pour le moment une remarque importante pour le cas, peu intéressant au point de vue théorique général, mais qui peut se rencontrer dans des applications particulières, où les axes de coordonnées auraient une position particulière par rapport à la surface. Les points singuliers de l'équation (E) peuvent être alors de nature plus compliquée, mais les expressions (lo), sous la condition (9), sont encore évidemment des périodes de l'intégrale double. Toutefois, et c'est là le point que nous venons signaler, tous les cycles à deux cl une usions de la surface algébrique ne pourront pas toujours être engendrés de cette manière, en ramenant à un seul planjK = ^, contrairement au théorème que nous venons de démontrer plus haut, dans la démonstration duquel la nature simple des points singuliers b a joué un rôle. Nous le montrerons sur un exemple dans la section suivante.