Revenons aux périodes précédemment trouvées
y^mt f iUr)dy avec la condition
Elles se ramènent immédiatement à un nombre limité d'entre elles. Tout d^abord, parmi les 0/(jk), il J en aura, en général, 2/> qui sont linéairement indépendants. Ceci arrivera en particulier si l'équation E est irréductible (ce qui est le cas général). Supposons, en efî'et, que, parmi les 0/( y), il y en ait moins de 2/> linéairement indépendants, soient
et supposons tracées toujours dans le plan de la variable y les coupures allant de a aux points singuliers b (comme au n"" 2). Considérons l'intégrale 0,(7), elle n'aura en a que .s* déterminations linéairement indépendantes, puisque la circulation autour
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d'un lacet correspondant à 6/ augmente simplement, d'une manière générale, ^{y) d'un multiple de Q/(y), et que, parmi ceux-ci, il n'j en a que s linéairement indépendantes. L'équation E aurait donc une intégrale qui n'aurait dans tout le plan que s déterminations linéairement indépendantes; elle serait donc réductii3le, contre l'hypothèse faite. Dans les généralités qui vont suivre, il sera supposé qu'il y a ip fonctions Q linéairement indépendantes.
Soient alors, pour fixer les idées,
les Q correspondant respectivement aux points critiques
linéairement indépendants. Si h est supérieur à 2/;, on a nécessairement une identité
Envisageons alors les expressions
kh=m\ / il,{y)dy-i-...^mfi^p / ihp{y) dy -^ jyin / ilhiy) dy {h = 2/?-+-i, .. ., N),
qui sont des périodes. Or, si P est une période de l'intégrale double, on a
P -^[^/ f ^h{y) dy [^avec ^ p./0/( JK) = ^J ;
on pourra manifestement trouver une relation entre les P et les A, par l'élimination des quantités
f ilh{y)dy {^h = o.p-^i, ..., N),
ce qui conduit à une relation de la forme
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À, les \k et les Sy étant des entiers, et 1 étant différent de zéro. Puisque P et les A ne dépendent pas de a^ il en sera de même de
ce qui entraîne la relation
2 8vi^v(j) = O.
Mais les ^v{y) (pour v = i , a, . . . , 2/>) sont linéairement indépendants par hjpothèse; par suite, on aura
Ov= o (V = I, 2, . . . , 2/»).
Il résulte delà que, entre Pet les A, il y a une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. Donc, nous sommes déjà assurés que le nombre des périodes est au plus égal au nombre des quantités A, c^ est-à-dire N — 2y9.
9. Nous pouvons aller plus loin. Il existe des relations homogènes et linéaires à coefficients entiers entre les A, d'où résulte une diminution du nombre des périodes. Puisque l'intégrale double dont nous sommes partis est de première espèce, toutes les solutions de l'équation E, désignées d'une manière générale par cjl)(j/"), ont leurs résidus nuls pour le point à l'infini. Soit alors ^{y) une solution arbitraire de l'équation E; en prenant
le long de l'ensemble des lacets b^, b^-, . . ., b^^ on obtiendra le même résultat que pour un contour autour du point à l'infini, c'est-à-dire zéro. La valeur de l'intégrale précédente est manifestement de la forme
H-1 / ûi(jK)^/r-f-...-+-[XN / Q.^{y)dy.
En l'égalant à zéro, on obtient une relation homogène et linéaire à coefficients entiers entre les A. En prenant pour ol)(jk) succes-
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sivement2/? solutions indépendantes toj, to^, .«., toop de E, on obtient 2p relations de cette nature.
La valeur de l'intégrale
autour du point ce, exprimée en fonction des A, prend la forme
les V étant des nombres rationnels. On obtiendra donc les ip relations
Une cjuestion imporlante se pose immédiatement : ces ip relations ^sont-elles distinctes^ c'est-à-dire peut-on en tirer 2/? des A en fonction des N — '/\p autres? JNous allons démontrer que la réponse est affirmative, en raisonnant comme à la page 828.
Considérons, à cet effet, une intégrale arbitraire de seconde
espèce
^P(^, jK, z) dx
(P poljnonie en x^ y qV z s'annulant sur la courbe double) de la courbe entre ^ et ^ représentée par l'équation
Les périodes de cette intégrale sont des fonctions de jk, satisfaisant à une équation linéaire du tjpe E. Les ip déterminations (jl>|, 0)2, ..., ^'ip linéairement indépendantes sont uniformes à l'inlîni, et l'on a par exemple les développements
autour àe y :=:qc. Comme nous l'avons vu, les 2/? résidus de l'intéerale double
P(.T, jK, z) dx dy
relatifs à la courbe à l'infini de la surface, sont les valeurs de l'in-
tégrale
autour du point à l'infini; ils ont donc pour valeur
Nous avons vu (p. 828) que, en nous plaçant dans un cas très général, on pourra certainement déterminer un polynôme
tel que les ^p résidus de l'intégrale double
j(jK)P(a7, jK, z) dx dy
aient des valeurs arbitrairement cboisies.
Ses ip résidus par rapport à la courbe à V infini de la surface algébrique seront donc linéairement indépendants au point de vue arithmétique.
Désignons alors par
fz
(Q^ poljnome en œ. y^ Zy s'annulant sur la courbe double), une intégrale double jouissant de la propriété ci-dessus. Elle va nous servir à démontrer que les 1 p relations S sont distinctes.
10. Les équations différentielles linéaires E et E' relatives aux périodes de l'intégrale abélienne (8)
et de l'intégrale
ont même groupe.
Désignons par
Qfa?, y^ z) dx Qi(^, 7, z) dx
A 1 Av
les expressions formées avec l'intégrale (i 2)de la même manière que
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35o CHAPITRE XI.
les A des n"' 7 et 8 avec rinlégrale (2). Les '2 p résidus de (12), relatifs à la courbe à l'infini , seront égaux à
(i3) Ap^xHp^i-^'"-^A^k (à = i,2, ...,2i>),
les nombres rationnels v étant les mêmes qu'au n° 9, puisque les groupes des équations différentielles linéaires E et E^ sont les mêmes; désignons par tt^^j l'expression (i3).
Nous allons voir de suite que les 2 p relations S du n° 9 sont distinctes. Si, en effet, celles-ci ne pouvaient être résolues par rapport à 2/> des A, on pourrait trouver des entiers kk (non tous nuls) tels que l'on ait
kh{'^2P+l-^2p+l-^' . .-4-V^^An) = O
identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les lettres A. Il en résulte que l'on aurait
ce qui est contre l'bypothèse que les uy^ ne sont liés par aucune relation homogène et linéaire à coefficients entiers.
La réponse à la question posée au numéro précédent est donc bien affirmative. Par suite, le nombre des périodes de notre intégrale double de première espèce est au plus
puisque, entre les N — 2 p périodes A, il existe 2p relations distinctes homogènes et linéaires à coefficients entiers.
La question qui se poserait maintenant serait la recherche du nombre des périodes, distinctes de l'intégrale double la plus générale de première espèce d'une surface donnée. Mais c'est une question que nous n'aborderons pas en ce moment et c'est dans une tout autre direction que nous allons nous engager.
Nous allons voir dans les sections suivantes que c'est la combinaison
qui est véritablement intéressante, et nous trouverons une rela-
tion remarquable entre les deux nombres py et p et la combinaison précédente.
II. ~ Généralisation des résultats précédents; sur certains cycles à deux dimensions de la surface, situés à distance finie.
H. INous sommes, dans la section précédente, partis d'une intégrale double de première espèce. Que deviennent les considérations, dont nous avons fait usage, quand, au lieu d'une intégrale de première espèce, on considère une intégrale double quelconque
de la forme
P {.r^ y, z) dx cly
Jz
P(x, y, s) étant un polynôme quelconque s'annulant sur la courbe double. Les périodes de l'intégrale abélienne
P(^.', y, z) dx
relative à la courbe /(^, JK, 5) = o entre x ^V z sont alors des fonctions de y . Ces périodes sont au nombre de
ip -H m — i
et satisfont à une équation linéaire E^ Parmi ces périodes, in — i correspondent aux points à l'infini et sont des polynômes qxi y {voir page 217 de ce Volume). Ainsi, l'équation EM'ordre 2/?-j- in — \ admet comme solutions m — i polynômes tuo, 113, ..., tU/;^, qui n'existaient pas tout à l'heure pour l'équation E.
En chacun des points singuliers existe toujours une intégrale Q avec les mêmes propriétés, et si entre Q, , ^21 . . . , ^^ il existe une
relation
/?^l ûi -h. . .-f- fJisi^s =" o (les m entiers),
l'expression
' ili dy -\- m^ / ^2 <^jK -H . . . -H nis / ils dy
ne dépendra pas de a. 11 pourrait arriver que la portion P^ de la
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surface de Riemann correspondant à j\x^ a, 5) = o [voir n^ 3),
limitée par ies bords
mi Ff , . . . , 'iis^^i-j
contînt un ou plusieurs points à Tiniini; dans ce cas, l'intégrale double n'aurait pas de sens à cause des points à l'infini, mais l'expression précédente n'en aurait pas moins un sens.
Faisons maintenant l'iijpothèse, correspondant au cas général (^), que pour une intégrale arbitraire de la forme indiquée il y ait 'ip-\-ni — i fonctions ^{y) linéairement indépendantes, soient
12 1, 122, • • • 5 ^^2p-^ni-l
correspondant respectivement aux points singuliers b de même indice; elles formeront un système fondamental de l'équation différentielle linéaire E^ Envisageons une autre lettre 0, soit 1)^, où s est supérieur à ip -{- m — 1 . On aura la relation identique
( I 4 ) f^^i 12i -T- . . . 4- ni^p-^„i-i Q.op^,n-i -r- Dis ils = o,
et l'expression correspondante, indépendante de a,
(i5) /ih lilAy)dy-^...-r-nis / 12,(7)6//.
11 est facile de voir que les contours
1^1? i^2) •••5 ^ip^m—i-, ^s
limitent, sur la surface de Riemann /(^,, 7, z) =z o, une portion de surface ne comprenant pas de points à l'infini, et, par suite, l'expression (i5) est une période correspondant à un cycle à distance finie. Pour le démontrer^ rappelons que, sur une surface de Riemann à m feuillets, on peut tracer ip ^ m — i contours à regarder comme distincts, si dans la déformation ces contours doivent nécessairement rester à distance finie, et que tout autre contour peut se ramener à une somme de ceux-là, les déformations se faisant toujours sans passer par l'infini.
(^) Dans tout ce qui va suivre cette condition sera supposée satisfaite. Nous la discuterons dans la Section IV de ce Chapitre.
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Les contours
répondent bien à ces conditions puisque les 2p-\-]n — i fonctions
sont linéairement indépendantes. Ensuite, tout autre contour Vg (ou un de ses multiples) peut se ramener à une combinaison des F précédents, sans passer par l'infini. Donc nous aurons sur la surface de Riemann une portion P, n'ayant pas de points à l'infini et limitée par
cette portion P adjointe aux 2p -H m surfaces ouvertes^ que nous avons fait correspondre aux contours précédents, nous donnera le cjcle fermé à deux dimensions, tout entier à distance Jinie, qui donne la période (i 5), comme nous voulions l'établir. Nous obtenons donc de cette manière
N — ip — {in — I )
périodes pour notre intégrale double.
La théorie développée plus haut (n"8) a ici son analogue. Toute période P de l'intégrale double correspondant à un cjcle, situé à dislance finie, est encore de la forme
\^k / ilk{y)dy avec l'identité
A chaque valeur s plus grande que ip -\- m — i correspond, d'après ce qui précède, une période P^, et il y a entre P et les 1\ une relation homogène et linéaire à coefficients entiers.
12. Nous avons considéré l'intégrale double (.6) Jjn^,y,pd.dy
OÙ p est un poljnome quelconque s'annulant sur la courbe double.
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INous nous rapproclieroiis des résultats obtenus dans la section pré-
cédente, si nous supposons que l'intégrale abélienn
relative à la courbe /(^, j)', ;:;)=: o entre œ el z^ est de seconde espèce. L'équation E^ est alors seulement d'ordre 2/j>, et nous avons de nouveau
expressions correspondant à 2/? + i (onctions 0. A la vérité, elles ne peuvent être toutes considérées comme des périodes, à cause des points à Finfîni du cycle correspondant, à moins que l'on ne veuille élargir le sens du ijiol période.
li résulte de ce que nous avons dit au numéro précédent que, pour m — 1 des N — ip expressions trouvées, le cycle correspondant s'étend à l'infini, de telle sorte que Ton ne peut pas dire en général que l'intégrale double prise sur ce cycle ait un sens.
Un cas particulier n'est pas sans intérêt.
Supposons que Tintégrale abélienne (17) soit de première espèce. Alors il n'y a [)lus aucune difficulté relative aux points à l'infini, et les IN — '2p cycles à deux dimensions conduisent à une intégrale double ayant un sens déterminé. Parmi les N — 2.p valeurs de ces intégrales, il y en a 2/? qui sont les résidus de l'intégrale double par rapport à la courbe à l'infini de la surface. Nous avons rappelé à ce sujet (n"9) les résultats de la page 217, d'après lesquels ces résidus sont les valeurs de l'intégrale
'{y)dy autour du point 00.
13. Revenons au cas général du n" 11. Les N — 2 /> — {m — i) périodes, que nous m^ons trouvées, sont-elles distinctes?
Nous allons démontrer que ces périodes sont distinctes, c'està-dire ne sont liées par aucune relation homogène et linéaire à coefficients entiers, si Vintégrale double
(18) / j ':',■ ^ dxdy
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est arbitraire (P étant toujours un polynôme s'annulant sur la courbe double). Tout d'abord, dans une telle intégrale double, on peut, comme on l'a vu (p. 327), supposer le degré du polynôme P limité, puisque par la soustraction d'une expression de la forme
U et V étant des polynômes en ^, 5 à coefficients rationnels en y (s'annulant sur la courbe double), on peut limiter le degré de P, et que dans la nouvelle intégrale les périodes seront les mêmes (pour ce point voir la section suivante de ce Chapitre). Soit alors l'intégrale double (18), ainsi réduite, renfermant s paramètres essentiellement distincts a,, ao, ..., a^, c'est-à-dire telle que, quand les a ne sont pas tous nuls, elle ne se réduit pas à la forme (îq). Admettons maintenant que les périodes trouvées de (18) soient liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. U est presque évident que ces coefficients entiers ne varieront pas avec les paramètres a qui sont susceptibles de variation continue. Pour le voir bien nettement, désignons par
PI, Pî, ..., P^' [,^^N-2/>-(/;z-i)J
les périodes de (18) quand on fait a, = i et ao ==...= a^= o, et d'une manière générale par
les périodes quand a/= i, les autres a étant nuls.
Les P], P^-, . . . , P^, pour une valeur fixe de /, ne seront pas nulles à la fois, car alors l'intégrale correspondante à 7,/:= i, les autres a étant nuls, n'aurait pas de périodes et serait par suite réductible à la forme (19), comme il sera démontré dans la section suivante.
Si les périodes de (18) ne sont pas distinctes, on aura, par hypothèse, quelles que soient les constantes arbitraires a,
Ml (ai P} H- 7.2 P| H- . . .H- ciJ\r) + • • .+ ^J^^X^i Pï'+ ^2 P^'H- . . . H- ^.Pf ) = o,
les M étant des entiers qui ne sont pas tous nuls. Les P sont des nombres fixes; les entiers M pourraient-ils dépendre des variables continues a? Donnons à a des valeurs déterminées, mais arbi-
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356 CHAPITRE Xï,
trairemefil choisies. On a l'égalité ci-dessus. Il faudra nécessairement que tous les coefficients des a soient nuls, c'est-à-dire que
En effet, dans le cas contraire, on pourrait exprimer un des a à l'aide des autres et des quantités P^ or, ceci est impossible, car on peut certainement trouver s nombres irrationnels a^ tels qu'aucun d'eux ne soit susceptible de s'exprimer rationnellement à l'aide des autres et de nombres déterminés P (en nombre fini). De là résulte que la relation sup[)osée entre les périodes de (ï8) est toujours la même, quelle que soit cette intégrale double.
Envisageons alors une intégrale déterminée, d'ailleurs prise arbitrairement, du tjpe (18). En conservant aux Q la même signification que dans tous les numéros précédents, une relation entre ces périodes se traduirait par une égalité de la forme
^^1 (r ) dy -^...-^ m^ / ^N ( y ) dy = o,
les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls (' ).
Supposons alors qu'au lieu de l'intégrale (18), nous partions de l'intégrale
r r es ( y)V{x, y,z)dxdy
^"^ J J jr- '
^{y) étant un polynôme en j\ D'après ce qui |)récède, nous aurons, quel que soit ce polynôme, la relation
/ ^{y)^h{y)dy-^...-r-m^ / o{y)il^,{y)dy^o
avec les mêmes entiers m que dans la relation (^o).
Ainsi, en changeant seulement un peu les notations, on aurait
{fig> 23) des fonctions délerminées B,(j)'), ..., B^(;'), holo-
( ' ) Il est essentiel de remarquer qu'aueua des i^,(y) n'est identiquement nul, comme on le reconnaît en calculant ^2,(^) qui est didérent certainement de zéro, si, comme on peut le supposer, le polynôme P(^', r, z) ne s'annule i)as aux points de la surface/ où le plan tangent est parallèle au plan des zx.
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PÉRIOBtS DES INTÉGRALES DOUBLES.
il>7
niorplies respectivement de a en 6^, de a en 60, . . ., de a en h^ (dont la somme est d'ailleurs identiquement nulle et qui ne sont pas toutes nulles), avec la relation,
qui aurait lieu, quel que soit le polynôme f (jk). Il est aisé de voir que cela est impossible. Ceci entraînerait en effet les relations en nombre infini
Or, envisageons la somme
r-0,^.^...^rm^.
OÙ X est une variable arbitraire, correspondant à un point non situé sur les courbes d'intégration ah>^ , • • • ? ob^. 11 est certain que la somme précédente représente une fonction de x^ qui n^ est pas identiquement nulle. En effet, d'après une théorie élémentaire, la fonction de x
C'^J^dy
éprouve l'accroissement
2 7utB/i(;r)
quand le point x va d^m bord à l'autre de la coupure bkOi.
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358 CHAPITRE Xf,
Ceci posé, pour x trrs grand, on peut développer l'expression (22) suivant Jes puissances croissantes de -j et les coefficients
des différentes puissances de - sont précisément les premiers
membres des relations (R). L'expression (22) serait donc identiquement nulle, ce qui est contradictoire. Le théorème est donc démontré.
14. Parmi les N — ip — [m — i) périodes distinctes que nous venons de trouver, il y en a 2/? qui sont les résidus de l'intégrale double relatifs à la ligne à l'infini de la surface; ces résidus correspondent à l'intégrale
prise autour du point oc, en prenant pour (jl)(j)/), ip intégrales de l'équation E^ formant un système fondamental avec les m — i polynômes désignés par iz au n" 11, Si l'intégrale double est arbitraire, ces 2/? résidus sont certainement distincts ; on le démontre en raisonnant comme au n^ 9.
Nous concluons de là, qu'e/z ne comptant pas les périodes correspondant aux résidus relatifs à la courbe à l^ infini de la surface, nous a^ons
périodes distinctes correspondant à des cycles à distance finie . En particulier, envisageons une intégrale double générale de seconde espèce , du type des intégrales précédentes,
P(^', y^z~) dx dy
comme cette intégrale, étant de seconde espèce, n'a pas de résidus. le nombre de ses périodes correspondant à des cycles à distance finie est égal à
15. Dans tout ce qui précède, il a été essentiellement supposé que la surface occupait une position arbitraire par rapport aux axes; d'une manière plus précise, les pians tangents à la surface, parallèles au plan des zx^ correspondent à des valeurs y =^ b qui
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sont des points singuliers de l'équation différentielle E^ jouissant des propriétés très simples sur lesquelles nous nous sommes appuyés. Nous avons déjà énoncé au n° 7 la remarque, que les choses seraient moins simples si la surface avait une position particulière par rapport aux axes.
Vérifions-le sur la surface
qui nous donnera d'ailleurs l'occasion d'exemples d'une autre nature particulièrement instructifs ('). Envisageons la courbe entre x et z représentée par l'équation précédente. Nous avons, pour cette courbe, deux cycles F, et Fo ; en faisant décrire k y dans son plan un chemin fermé convenable, nous ramenons F, et T. 2 à leurs positions initiales, et ainsi se trouvent engendrés deua^ cycles à deux dimensions pour 5 situés à distance finie. Les points critiques relatifs k y sont ici les trois racines de
mais ces points singuliers ne sont pas de la nature de ceux que nous avons rencontrés dans le cas général. On ne trouve ici que deux cycles à deux dimensions. D'ailleurs ces cycles existent bien elfectivement, je veux dire ne se ramènent pas à zéro. Envisageons
en effet l'intégrale double
X dx dy
qu'on vérifie aisément être de seconde espèce, ce que nous allons retrouver d'ailleurs plus bas. Calculons sa valeur le long du cycle précédent. Posons à cet effet
d'où se déduit
L'intégrale double devient alors
fr^'-^'-fé^^''''-
( ' ) E. Picard, Sur les périodes d'une intégrale double de fraction rationnelle [Annales de l'École Normale supérieure^ 1900).
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36o CHAPITRE XI.
Sous celle forme, les périodes sonl calculées de suile. En effet, désignons par lu et cos des périodes de l'intégrale simple
J Vi—r'-dr^
et par Q et Os les périodes de l'intégrale simple
t dt
Nous aurons pour périodes de l'intégrale double correspondant aux deux cycles à deux dimensions indiqués plus haut
ojil et M Hz
(s = racine cubique imaginaire de l'unité); ces expressions étant différentes de zéro, les deux cycles existent effectivement.
En permutant x al y on a deux autres cycles à deux dimensions, et l'on peut montrer qu'ils ne se ramènent pas aux deux premiers. En effet, l'intégrale double
' y dx dy
prise le long de l'un ou Tautre des deux premiers cycles est nulle, puisque l'intégrale double exprimée à l'aide de j)^ et t devient ici :
ydy
ri
qui est nulle le long des cycles à deux dimensions de la première catégorie. Au contraire, en considérant l'intégrale double
y dx dy
le long des cycles de la seconde catégorie, on aura des valeurs différentes de zéro. Par suite, tous les cycles à deux dimensions ne peuvent être formés en faisant la réduction avec un plan y = a, comme nous voulions le montrer. Mais ceci n'est pas en opposition avec le théorème général démontré au n" 6, car les plans
y = const.
occupent une position spéciale par rapport à la surface.
