il sera intéressant de faire, sur la surface
(S) X^-hy'^ -r~ Z^ =: 1,
une vérification du théorème générai du n^' 14 sur le nombre des périodes d'une intégrale double générale de seconde espèce correspondant à des cycles à distance finie.
Pour une surface générale du troisième degré, on a
l'expression
^ — ^ip ~ (m — i)
sera ici égale à 6. Nous devons donc pouvoir trouver 6^^ périodes distinctes pour une intégrale double arbitraire de seconde espèce de la surface (S). Or^ envisageons l'intégrale double
A, B, C étant trois constantes arbitraires.
Nous montrerons d'abord que cette intégrale est de seconde espèce. Prenons par exemple,
— dcu dy (<ï^i correspond à A — G = o).
L'identité
rend manifeste que l'intégrale est de seconde espèce. Les deux autres intégrales se déduisant de celle que nous venons d'examiner par des permutations de lettres, il n'est pas douteux que Pintégrale (aS) est de seconde espèce. La possibilité de cette permutation est évidente pour
j i ~ dx dy {Pl~^=.o}.
Pour la troisième intégrale
xy , , -~ dx dy^
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il suffit (le remarquer que l'élément
dx dy
peut se remplacer par
dy dz
et nous avons par suite l'intégrale
- dy dz.
qui est de même type que les précédentes.
Calculons maintenant les périodes de (a'i). La première catégorie de cjcles à deux dimensions, dont nous avons parlé au n° 15, donne les périodes
(24) Cwii, Ga)12ô,
les intégrales doubles ayant pour coefficients A et B, donnant des périodes correspondantes égales à zéro.
Les cjcles de la seconde catégorie (pour lesquels la réduction est faite avec un plan x^=.ci) donneront, dans les mêmes conditions, les périodes
Enlîn, on pourra encore former deux autres cjcles, en faisant la réduction avec un plan z = a, et cela toujours de la même manière. Ils donneront les périodes
('26) Acol2, Aoji2s.
Pa/' siiite, nous m^ons Jormé, pour i^ intégrale double de seconde espèce (^^3), six périodes distinctes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance finie, représentées par les expressions (24)? (^5), ('^6).
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III. — Comparaison entre le nombre des périodes des intégrales doubles de seconde espèce et le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce; relation fondamentale entre ces deux nombres.
17. Nous allons revenir maintenant an problème dont nous nous sommes occupés au Chapitre précédent : reconnaître, étant donnée une expression
(Q s'annuiant sur la courbe double), si elle est susceptible de se mettre sous la forme
dx oy
Gomme nous Pavons signalé au Chapitre précédent, le nombre p joue un rôle important dans ce problème.
Le cas le plus simple est celui de ^ ^=-\^ dont nous nous occuperons tout d'abord, en nous reportant particulièrement pour les notations au n^ 10 du Chapitre précédent. Nous avons, si le problème est possible, l'identité
^'^^' f'z àx ' dy '
OÙ B^ est de la forme
l>i ^=^ di il -h ... -h ^(^2/) ^2p -H C2 J2 ~T~ • • • ~i~" <^m J fH)
les a et c étant rationnels en y. Les I et les J sont déterminés, comme il a été expliqué aux n"' 10 et 12 du Chapitre précédent. On a
les 0 et g' étant des polynômes en .3; et ^ à coefficients rationnels en y. Quant à A^, c'est une fonction rationnelle œ^ y, z, dont il est inutile de donner la forme.
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)4 CIIAPITRK XI.
Posons, pour abréger,
Q^ étant Lin polynôme en ^ et :î à coefficients rationnels en
18. Pour une valeur fixe, arbitraire d'ailleurs de y^ intégrons les deux membres de l'identité (27) le long d'un cycle relatif à la courbe/(x,y, 3) = o entre x et z. Nous aurons d'une manière générale
oj et (i)' étant les périodes correspondantes des deux intégrales abéliennes
La variable y partant de a, tournant autour d'un point ht et revenante son point de départ, nous déduisons de suite par intégration de l'identité (28)
(29) f ili{y)dy=H-{a),
en prenant pour ^{y) une période augmentant de Û/(j/) par une rotation de y autour de ht (nous nous servons des notations du commencement de ce Chapitre). Quant à ù'- (jk) il a la même signification par rapport a l'intégrale
r Q' dx que ^^i(y) par rapport à l'intégrale
Les égalités (29) relatives aux divers points singuliers 6 vont nous permettre de faire une remarque importante. D'après la première section de ce Chapitre, les périodes étudiées de l'inté-
grale double
Q{x,y, z)dxdy
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sont de la forme
2 l^i f ^-1(7) (-fy ^^'6C rideiitité \ ixii2i(y) — o .
Les équations différentielles linéaires relatives auK deux intégrales (3o) et (3i) ont le même groupe. Si, entre certains û^- , on a l'identité
on aura nécessairement l'identité
2ia,(>;.(j) =0.
Or on a
Par conséquent, toutes les périodes (*) de l'intégrale double sont nulles. Ainsi, l'identité (27) entraîne la conséquence que toutes les périodes de l'intégrale double
r r(i{x,y,z)dxdr
sont nulles. 11 s'agit d'ailleurs, on ne doit pas l'oublier, de surface pour laquelle 0 = 1.
19. Nous démontrerons maintenant la réciproque du théorème précédent :
Si toutes les périodes sont nulles pour V intégrale double qui précède^ on peut mettre jt sous la forme
dx ôy
Nous allons d'abord chercher si, les périodes étant supposées
(^) Quand nous parlons de périodes, nous parlons toujours des périodes étu" diées plus haut, relatives à des cycles tout entiers à distance finie, et qui sont en nombre IN — 2^0 — {m — i ) .
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iiLilleSj on peut déterminer les a et les c rationnellement en jk, de telle sorte que
0^(y) correspondant à l'intégrale
' Q' dx
—y — Cti^i "i~ . . . "T- Cilp i'ip "+" C2 J 2 "+" • • • ~t~ C//i J //i7
où
avec les notations rappelées au n^ 17. Désignons d'une manière
générale par
il'l et Y'i
les valeurs, analogues à 0/, se rapportant aux intégrales écrivons les TS relations
qui vont déterminer les 2p -{- m — 1 fonctions de y
Les IN relations (R) se réduiront à 2p-\-m — i d'entre elles, puisque toutes les périodes sont supposées nulles ; car, en ajoutant plus de 2/> + m — 1 des relations précédentes multipliées par des entiers [;. tels que Su/Q/(j/) = o, on obtiendra zéro identiquement. Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait des relations distinctes en faisant i successivement égal à
Le déterminant des coefficients des ip-\- m — i inconnues a et c dans ces relations ne sera pas identiquement nul, car alors il y aurait une combinaison linéaire des intégrales
Q/; dx r qic dx
J%f " ff
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qui, n'ayant pas de période, serait algébrique, ce qui est incompatible avec la façon dont ont été formées ces intégrales.
Les relations (R) permettent donc de déterminer les a et les c, mais les valeurs ainsi obtenues sont-elles fonctions rationnelles de yl 11 est aisé de voir qu'il en est bien ainsi; il suffit de montrer que ces fonctions sont uniformes, car aucune singularité essentielle ne se trouve dans les expressions figurant dans les calculs qui précèdent. Or, quand on fait décrire à y un chemin fermé entourant le point singulier 6ç, les
et l'intégrale
iV.' Y h
f ^Hy)dy
se reproduisent respectivement aux termes additifs près
v.,1)^', v,-rf et v^, / ilc,{y)cly (v,. entier).
L'ensemble des relations (R) n'a donc pas changé, quand on substitue aux coefficients des a et des c leurs nouvelles valeurs après que y ^ partant d'un point, y revient après avoir décrit un contour quelconque. Ceci suffit évidemment à établir que les a et les c sont des fonctions uniformes, et, par suite, rationnelles dej^-
Nous avons donc déterminé une fonction rationnelle Ri dex^y et ^, en posant
Montrons maintenant que l'on peut déterminer une fonction rationnelle A, de cT, j)/, Z'j telle que
fz ^y ^^
11 suffit défaire voir que l'intégrale abélienne
regardée comme appartenant à la courbe entre ^ et 5,
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n'a pas de période. Or c'est précisément ce fait qu'expriment les relations (R), qni nous ont servi à déterminer les a et c figurant dans Bi, ou du moins ce fait résulte de leur dérivation par rapport à y. Il est donc certain que nous pourrons déterminer rationnellement B, en x^ y et z satifaisant à la relation précédente, comme nous voulions l'établir.
Il est important de remarquer que, dans la démonstration de la réciproque, nous ne nous sommes pas servi de ce que p = i . Quand les périodes sont toutes nulles pour l'intégrale double
(a) J j j, dxdy,
on peut mettre -~ sous la forme inditjuée. Nous pouvonc donc énoncer la proposition suivante :
Pour que V expression ^i P^^^^^^ ^^ mettre sous la forme
dx dy
il suffit que toutes les périodes de V intégrale (a) soient nulles. Cette condition suffisante sera, de plus, nécessaire s'il s'agit d'une surface pour laquelle le nombre p égale r unité.
20. Le théorème précédent va nous conduire à une proposition très importante relative aux surfaces /;oi/r lesquelles p = i.
En écrivant que toutes les périodes de l'intégrale (a) sont nulles,
nous avons
N — {ip -\- m — i)
égalités à écrire. Ces égalités sont-elles bien distinctes? C'est une question qu'il nous faut examiner tout d'abord. Nous avons rappelé (n^ 13) que toutes les intégrales de la forme (a), où Q est un poljnome en ^, y et z s'annulant sur la courbe double, se rapmènent par la soustraction d'une intégrale
//[é(/i)-I^Gi)]-*
(U et V étant des polynômes en ^ et ^ à coefficients rationnels en y) à une expression de la même forme, mais où le degré du
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polynôme O est limité. Soit donc
(8) f r-Pt^^^r. z)dx'dy ^
P étai)t un polynôme, s'annulant toujours sur la courbe double, dont le degré soit ainsi limité. Le polynôme P ainsi réduit renferme un certain'nombre de paramètres essentiellement distincts ai, a2, . . . , a^ (^voir iV 13). La question est la suivante :
Les N — 2/; — (m — i) périodes de l'intégrale ([3) sont des polynômes linéaires et homogènes en a^, a2, . » . , a^; ces polynômes sont-ils algébriquement distincts, c'est-à-dire aucune combinaison linéaire à coefficients constants de ces polynômes n'est-elle identiquement nulle par rapport aux paramètres a? Nous allons montrer qu'il en est bien ainsi. Plaçons-nous, en effet, dans 1 hypothèse ou les polynômes en a,, a^, . • . , a^ ne seraient pas distincts. Pour une intégrale double arbitraire de la forme (a), les périodes se ramènent aux périodes d'une intégrale (|3), puisque l'intégrale soustraite pour faire la réduction n'a pas de périodes^ les périodes de rintégrale (p) étant, dans notre hypothèse, liées par une certaine relation linéaire dont les coefficients sont indépendants de a,, ao, . . . , a^, il en sera de même pour les périodes de (a). Nous arrivons-donc à la conclusion que les périodes
Pl5 P'27 • • • 1 Pn— 2/J— (//i— 1)
de l'intégrale (a), où Q est un polynôme uniquement assujetti à passer par la courbe double, sont liées par une relation
(3'2) XiPi-i- X2P2-I-. • -H- ^^-2p-{7n~l)^ ^^-ip-ini-ï) = O,
les \ n'étant pas tous nuls et étant indépendants de Q. Or, il est aisé de voir que cela est impossible. Nous emploierons un raisonnement tout à fait semblable à celui qui nous à réussi au n° 13 pour un but analogue. Q ayant d'abord une valeur déterminée, nous envisageons une intégrale double où Q est remplacé par
en désignant par 'f(y) un polynôme arbitraire. Alors, en raisonnant comme au n"" 13, la relation précédente entre les périodes
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nous conduit à une relation devant être vérifiée, quel que soit le polynôme f(jK),
(33) 77ii I ^(y)^i{y)dy ^...- jm f ^(y) ih{j) dy = o,
les m étant des constantes (et non pas des entiers, comme au n° 13) qui ne sont pas toutes nulles. Les ù sont des fonctions déterminées, qui correspondent à Pintégrale (a) dont on est parti. II est essentiel de remarquer que tous les termes du premier membre ne peuvent disparaître, par suite de ce que les jn seraient nuls. Soient en effet, pour l'intégrale (a) dont on est parti, les périodes P formées de la façon suivante, en supposant
linéairement indépendants. On pose
-p+ni—
[/i r= I, 2, . . ., N — ip — {m ~ i)],
l'entier [A2/?+m-t+A n'étant certainement pas nul. Si donc, dans la relation (Sa), \h n'est pas nul, on trouvera certainement dans (33) un terme en
/ cp ( 7 ) ih,,^ni-i^/i ( J ) dy
et, par suite, la constante f7i2p^?n-\-^h n'est pas nulle. D'ailleurs, aucun des 0 n'est identiquement nul.
La relation (33) devrait être vérifiée, quel que soit le polynôme ^(jk); il ^y 9 qu'à raisonner, comme au n"" 13, pour voir que cela est impossible. Par suite, il est bien établi que, en écrivant que les N — 2 p — (m — • i) périodes de l'intégrale
F{a^, y^ z) dx dy
sont nulles, on obtient N — ip — (m — i) relations distinctes .
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Il résulte de là que ^011 a
Si en effet s était inférieur à N — 2/j — {m — i), on n'aurait pas JN — 2p — (m — 1) relations distinctes, en écrivant que les périodes de l'intégraJe (a) sont nulles. D'autre part, si s était supérieur à ]N — ip — {^in — - i), il j aurait au moins une intégrale de la forme ([3), où tous les paramètres a ne seraient pas nuls, et qui se réduirait à une intégrale du type
ce qui est en contradiction avec la définition du nombre s.
21. Proposons-nous de calculer le nombre po des intégralei doubles distinctes de seconde espèce. Ces intégrales rentrent dans les intégrales du type ([3), dépendant des s paramètres a. Il faut écrire d'abord que les intégrales de ce type sont de seconde espèce; ceci donnera exactement ip relations, car nous avons vu que, sans des conditions très générales, les ip résidus d'une intégrale double de la forme en question par rapport à la courbe à l'infini de la surface ne peuvent être liés par aucune relation. Nous avons
donc le nombre
s — ip
d'intégrales du type (j3), qui sont de seconde espèce. Par suite, s — ip représente le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce. D'où le théorème suivant qui est fondamental dans la théorie :
Soit une surface f pour lacjuelle p = i . Le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce est donné par
r égalité
Po= N — 4/0 — (/??. — i).
ou encore :
Le nombre po est égal au nombre des périodes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance finie de V intégrale double générale de seconde espèce de la forme toujours considérée dans notre analyse
'P(^, jK, z)dx dy
Jf
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372 CHAPITUE XI.
Il est remarquable que cet énoncé ait précisément la même forme que clans la théorie des courbes algébriques, où le nombre des intégrales abéliennes distinctes de seconde es{3èce est précisément égal au nombre des périodes d'une intégrale de seconde espèce. Mais la généralisation n'était pas immédiate, etelle est plutôt dans la forme que dans le fond, les périodes n'ayant pas des deux côtés absolument le même caractère; elle n'est d'ailleurs exacte que quand p = 1. 11 nous reste à examiner le cas où a est différent de l'unité.
22. Reportons-nous au n^ ISdu Chapitre précédent. On j a vu que, à un ensemble de lignes
Gi, G2, . . . , Gp i
correspondant au théorème fondamental de la page 241, on peut faire correspondre des expressions
(O/ polynôme en x^ y, z s'annulant sur la courbe double), réductibles à une somme de deux dérivées partielles de la forme tant de fois écrite (les fonctions sous ces signes de dérivation devenant infinies pour une ligne G). De plus, toute autre expression
(Q polynôme en x^y^ z s'annulant sur la courbe double), réductible à une somme de deux dérivées partielles, sera de la forme
n àx\fL)'^ dy\fl
les \k étant des constantes, U et V des polynômes en x Ql z^ k coefficients rationnels en jk, s'annulant sar la courbe double.
Ceci rappelé, nous pouvons reprendre avec les modifications nécessaires l'analyse du numéro précédent. Nous avons toujours le
nombre
des intégrales de seconde espèce du type (|j), dont aucune combi-
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liaison linéaire n'est réductible à une intégrale du type envisagé plus haut
Mais, parmi ces s — 2/> intégrales, figurent des intégrales de la forme
/ / H dcc dy^
où l'on a
Il faut donc retrancher le nombre p — i de s — 2p pour avoir le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce, ce qui nous conduit de suite cl la formule
po= N — 4./^ — (m — i) — (p - 1).
On voit que le nombre p intervient dans l'expression de po- JNous pouvons alors énoncer le théorème fondamental suivant qui comprend comme cas particulier le théorème du uuméro précédent.
Le nombre po est égal au nombre des périodes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance finie de l^ intégrale double générale de seconde espèce de la forme
SI
fi
(Q polynôme en ^, JK, z s'annulant sur la courbe double), dimin ué de ^ — i .
Dans la formule qui exprime le théorème précédent, le nombre Oq est un invariant absolu, c'est-à-dire un invariant pour toute transformation birationnelle. Nous avons déjà dit qu'il n'en était pas de même de p.
23. Nous avons vu (n" 19) que, si toutes les périodes d'une intégrale double
Q{x^ y^ z) dx dy
fi
sont nulles, on a une identité de la forme
.o,^ q(x,r,z) dA dB
^'' ' Il ^ dx^ dy'
mais cette condition, suffisante pour l'identité précédente, n'est nécessaire que si p = i .
Quand p est supérieur à un, une intégrale
ff
fz
dx cly ^
où yj a la forme (34), peut avoir des périodes diftereutes de zéro.
Il est intéressant de voir à quel fait analytique est due cette circonstance.
On a vu, au n" 15 du Chapitre précédent, qu'à chaque courbe G du théorème fondamental qui conduit à la définition du nombre p (p. 240^ correspond une fonction
-^ (Qi polynôme en ^", y et ^),
tell
e crue
qu€
,o., Q/ à i Wi\ à i N,
l'z àx\gif'J dy\gifL
Mi et N/ étant des poijnouies en x et z^ k coefficients rationnels en j/. Quant à gi c'est un polynôme en x et jk, et la courbe gi = o donne la projection de G/ sur le plan des xy. Les deux quotients
et
deviennent seulement infinis à distance finie sur la courbe G/ (en dehors de lignes r = const. ).
De plus, il résulte de Pidentité (35) la conséquence suivante : pour une valeur donnée de y, l'intégrale
relative à la courbe entre x et z^ f{x^ y, z) =r o a, comme points singuliers logarithmiques à distance finie, les points de la courbe Ci correspondant à la valeur envisagée de /; pour tous ces points la
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période logarithmique a la même valeur qui est une constante T indépendante de y. Pour l'établir, il suffît d'intégrer les deux membres de l'identité (35), multipliés par do) dans le plan de la variable complexe (y ayant la valeur envisagée d'ailleurs arbitraire) le long d'un petit contour entourant un point M. Le premier membre donne zéro et le second nous apprend que la dérivée par rapport à jk de la période logarithmique en question est nulle, ce qui justifie bien la remarque énoncée.
Ceci posé, à l'intégrale (36) correspondent des fonctions que nous allons appeler 0^, jouaut par rapport à (36) le même rôle que les 0 par rapport à l'intégrale
j., dx\
mais, tandis que pour cette dernière il y avait entre plus de 9./j> -H 77Z — T fonctions Q une relation linéaire et homogène à coefficients entiers, soit
2 \H^Ay) = o,
la relation correspondante pour l'intégrale (36) sera
y\ '^i iï^ ( j/ ) -f- /c r = o ( /i: entier j ;
caria constante F est une période de l'intégrale (36), qui n'avait pas son correspondant dans l'intégrale ci-dessus.
Il est alors facile de se rendre compte que certaines périodes de i'intéorale double
/ / ->/ da: cly
puissent être différentes de zéro, en reprenant l'analyse du n" 18. Nous avons, comme dans ce numéro,
^\M { iMiy^dy^^xxiil'iXa) 1 ^ fa.-i^Kjr) - oj ;
mais, ici, le second membre n'est plus nul nécessairement ; il est égal à — kV qui peut être différent de zéro. On se rend donc bien compte que toutes les périodes puissent n^ être pas nulles dans le cas actuel correspondant à p ;> i ; de plus, on voit que l'inté-
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876 CHAPITRE Xi.
grale (87 ) a une seule période qui est multiple de la quautilé F relative à l'intégrale (36).
24. On pourrait vérifier les conclusions précédentes sur l'intégrale double de seconde espèce
X dx dy
relative à la surface
déjà considérée au n^ 14. On a ici l'identité
d ( x^dx
L'intégrale double considérée a deux périodes différentes de zéro, quoique le coefficient de dx dy sous le signe d'intégration soit la somme de deux dérivées partielles.
Il en est de même pour la surface
P(^) étant un poljnome en x^ et cet exemple a appelé le premier l'attention sur la circonstance qui nous occupe; nous avons formé incidemment (p. 199 de ce Volume) une intégrale double
U(.T, jK)
dx dy^
OÙ U représente un certain polynôme en x et j^, qui avait des périodes différentes de zéro, et l'on avait la relation
z dx
dy
qui définissait d'ailleurs le polynôme U. Il nous suffira d'appeler l'attention du lecteur sur ces exemples, où l'on vérifiera sans peine les remarques générales que nous venons de faire.
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PÉÉIODES DES IXTÉGRALES DOUBLES. Syy
IV. — Discussion des hypothèses générales faites dans ce Chapitre.
25. 11 a été admis, dans tout ce qui précède [voir n^* H), que pour l'équation linéaire E^ correspondant à une intégrale arbitraire
P(.T, 7, z) dx
(Je polynôme P s'annulant sur la courbe double), on pouvait trouver 'ip-\-in — I fonctions 0 qui ne soient pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. Cette condition, avonsnous dit, est en général vérifiée. Pour préciser, nous allons montrer qu'elle est certainement vérifiée si la surface algébrique n'a pas d'intégrales de diliérentielles totales de seconde espèce (transcendantes), c'est-à-dire si sa connexion linéaire se réduit à l'unité.
