Commençons par prendre une intégrale abélienne
Q(.27, y.^ z) dx
(le polynôme Q s'annulant sur la courbe double) qui soit une intégrale arbitraire de seconde espèce pour la courbe entre x et 5,
Nous avons alors pour ses périodes une équation différentielle linéaire E d'ordre 2p, considérée déjà bien des fois; soit toujours ùi la fonction Ù correspondant au point singulier bi.
Supposons que parmi les Q/ il y en ait moins de a/?, soient
entre lesquelles il n'existe pas de relation homogène et linéaire à coefficients entiers, mais telles que les autres Q sont liées à cellesci par une telle relation. Aux h cycles correspondant à 0,, ..., 1^/^, on peut associer 2p — h autres cycles, de manière à avoir pour la surface de Riemann entre ^ et ^,
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'^^p cycles distincts; clésigQons ces ip — h cycles, ou plutôt les intégrales correspondantes par
Pour les 2p intégrales distinctes de seconde espèce (38) / Il dcc. ..., / l^pdx^
formons le Tableau des périodes correspondant à ces cycles,
Q\ il] ...il^P
iH
^Ip-h^lp-h'-'^lp-h-
Le déterminant de ce Tableau n'est pas identiquement nul, car autrement on pourrait trouver une combinaison linéaire des intégrales (38), qui serait sans période, ce qui est impossible. Ceci posé, formons les équations
aiil{ -f-a.Of +...H-a2^1>p^ = o,
ai Ql -I- ^2 0| -{-... M- a^p û|/ = o,
«iCo} -i-a2(jOf -f-. . , -4- 6?2/;Wf^^ =^1,
ai (^^2p-h + <^^-2^lp-/i -^. . .+ a2p(J^ljj./i, = C^p-Zn
les 2p — h lettres G représentant des constantes arbitraires. Ces équations définissent les a comme fonctions de y; nous allons voir que ce sont des fonctions rationnelles. En effets les 0 et les to se reproduisent, par une circulation quelconque de y^ à une somme près de multiples des Q; ainsi, par exemple, co^' se change en
les [j, étant des nombres rationnels indépendants de /cil en résulte que le système des équations en a reste invariable pour une circulation quelconque de y] donc lésa sont uniformes en y, et, par
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suite, i^ationnels (aucune singularité essentielle ne figurant dans les fonctions envisagées).
Nous concluons de là que les ip périodes de l'intégrale abélienne
(ai II -f- «2^2 H-- • --T- cciphi) ) dx^
relative à la courbe entre x et ^, f\x^ y, z) = o, ne dépendent pas de y^ et, en raisonnant comme nous l'avons fait plusieurs fois, on voit que la surface aura des intégrales de différentielles totales de seconde espèce (transcendantes). Nous pouvons donc dire que, si la surface a une connexion linéaire égale à l'unité (ce qui arrive en général), il y aura certainement ip fonctions Q qui ne seront pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers.
27. Plaçons-nous dans le cas qui précède. Nous allons démontrer que, pour une intégrale arbitraire du type toujours considéré
' V {x^ y, z) dx
il y a ip -\~ m — i fonctions tl cjui ne sont pas liées par une relation homogène et linéaire et coefficients entiers.
Tout d'abord il y en aura au moins 2/j>, puisque, d'après ce qui précède, il en est ainsi quand l'intégrale abélienne (Sg) est de seconde espèce.
Supposons d'abord qu^il j en ait seulement ip ; nous allons être conduits rapidement à une contradiction. Reprenons à cet effet les intégrales des numéros précédents
/ Ij dx. . . . , I l^p dx. / J2 dx^ , . . , / J/.
dx
avec les ùf et T^- correspondants (/==: i, 2, . . ., 2/>). Écrivons les équations
( 40) ai Q \- -^. . .-{- a^p ^1 ^' -+- C2 V| -H ... -H c,ji Vf =: o ( j == i , 2, . . . , -ip
En y considérant les c comme des constautes arbitraires, ces équations déterminent
Ctii Ct^i • • • ? ^^2P7
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38o CHAPITRE XI.
le déterminant de ces équations du premier degré en a étant certainement différent de zéro. D'ailleurs, d'après un raisonnement analogue à celui du numéro précédent, les a ainsi déterminés seront rationnels en y, puisque le système d'équations ne change pas pour une circulation quelconque de y.
Les relations (40)5 ou ^^s c sont des constantes, expriment que les ip + m — 1 périodes de l'intégrale abélienne
(4i) J{av\,
l On 1 2 p ~^ €2^2 ~T~ . . . ~
sont indépendantes de j/'. Il y en a 2/? qui sont nulles, et les m — i périodes logarithmiques sont les constantes arbitraires C2, . . ., Cm* On pourra par suite former une intégrale de différentielle totale de la surface de nature transcendante et n'ayant aucune ligne logarithmique à dislance finie. Or ceci est impossible, et par suite l'hypothèse faite qu'il y ait seulement 2p fonctions Q distinctes est inadmissible.
28. Supposons alors qu'il y ait seulement, pour l'intégrale (^9),
ip -\- m — I — X , ( o < T < /?! — i )
fonctions désignées d'une manière générale par Q, qui ne soient pas liées par une relation linéaire et homogène à coefficients entiers (les égalités étant exclues des inégalités ci-dessus).
Considérons ip des 0 correspondant à ip cycles distincts de la surface de Riemann entre x et s, /(^, JK, 5) = o, puis ni — ^ i — t des autres 0 linéairement indépendants entre eux et avec les premiers. On aura donc, pour une intégrale (Sg) arbitraire,
'-'-I7 "-"S? • • • 5 —2pi
puis
Envisageons d'autre part les polynômes 7C2, . . ., ^m^ correspondant aux points logarithmiques à l'infini. Les
peuvent s'exprimer à Faide de Qf, . . ., Ù2p et des iz. Soit ainsi
(/t = '2jy-Hi, ..., ip -h m — 1— t:),
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les À et les a étant rationnels. D'ailleurs, tous les déterminants d^ordre m — i — t formés avec les \h ne sont pas nuls, car, s^il en était ainsi, on aurait une relation linéaire entre
Ûi, ..., l).^, et les 12;,,
ce qui est contre l'hypothèse. On pourra donc, par exemple, des m — i — T équations du premier degré en Co, • . . , Cju-,
|J.f C2 -t- . . . -^ \X^ni Cm = 0 ( /i = 2/> H- I , . . . , 2/» •+- m — l — T ),
tirer C2, . . . , Cm^x en fonction de Cm x+i, . • • , Cm- Ceci posé, reprenons les intégrales
/ I| dx^ .... / \^p dx^ / J2 dx^ . . . , /
J iji ctx
avec les
il'l et Vf {^i — \^ 'i^ . . . ^ .2/» -}- /?i — I — T ).
Ecrivons les 'ip -\- m — i équations du premier degré entre les a
et les c
G m — ■ r^lll-)
les k étant des constantes prises arbitrairement. Si les a et les c satisfont à ces équations, les ip + m — i périodes de l'intégrale abélienne
(42) / {a^l^-^,. .-{- a^pl^p-^ c^J-i-h. . .-\- Cj,J,n)dx
sont indépendantes des y, et il j en a t qui ne sont pas nulles. Le sj/stème des équations précédentes peut se remplacer par le système équivalent
a^Q^l -^ . . .-^ cHpil'}^ -\- c^T} -^ . ..-i-c,;irf = 0 (^ = i, 2, ..., ip),
[JLjc2-|-...-h [i^mCm = O {h=: ip-\- r, . .., 2/? H- /?Z — I— t),
^ ni — f^iii'
Sous cette dernière forme on voit immédiatement, à cause des remarques faites plus haut sur certains déterminants différents de zéro, que les équations peuvent être résolues. On a d'abord les c qui sont des constantes, puis les a. Or la première forme du système d'équations montre que ce système reste inaltéré pour une circulation quelconque de y. Les a seront par suite des fonctions rationnelles de y .
Donc, sous l'hypothèse que t n'est pas nul, on forme une intégrale abélienne (4^) dont les périodes ne dépendent pas de y, et t d'entre elles sont arbitraires. On pourra alors former une intégrale de différentielle totale de la surface (de nature transcendante) n'ayant aucune ligne logarithmique à distance finie, et nous avons la même contradiction qu'à la fin du n" 27. Le théorème énoncé au commencement de ce paragraphe est donc démontré.
Nous parlerons plus tard des cas particuliers où la surface aurait une connexion linéaire supérieure à l'unité, et où certaines hypothèses d'un caractère général faites dans les deux derniers Chapitres ne seraient pas vérifiées.
V. — Remarques sur les périodes d'une intégrale double de fonction rationnelle {}).
29. Nous terminerons ce Chapitre en revenant sur certaines intégrales doubles de seconde espèce relatives à la surface
dont nous avons déjà parlé aux n"^ 15 et 16. Il s'agissait de l'intégrale double de seconde espèce
-Ey±ly^^i:i^dxdy,
OÙ a, ,3, y sont trois constantes arbitraires. Nous avons trouvé les six périodes de cette intégrale correspondant à six cycles à deux dimensions tout entiers à distance finie. Or la surface S étant unicursale, on peut exprimer x^ y idl z en fonction rationnelle de deux
(') E. Picard, Sur les périodes cVune intégrale double de fonctions rationnelles {Annales de l'École Normale supérieure, 1908).
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paramètres u et ^, L'intégrale double devient alors une intégrale double de fonction rationnelle
R(m, p) du d\>,
R étant rationnelle en u^ ç. Cette intégrale double étant de seconde espèce, on a certainement
du ov
A et B étant rationnelles en u et ç. Tous les résidus de cette intégrale double sont donc nuls. D'autre part, on est porté naturellement à regarder comme étant des périodes de cette intégrale les six périodes de l'intégrale relative à la surface S, dont elle est la transformée. C'est une question de mots; mais il ne faut pas faire de confusions avec les dénominations employées plus haut; les siœ cycles à deux dimensions dans l'espace (^, y, ^), qui ont donné les six périodes en question, se transforment dans l'espace (a, ç) en six cycles; mais, ou bien ces cycles ont des points à l'infini, ou bien ils passent par des points pour lesquels R devient infinie ou indéterminée.
Indiquons le résultat du calcul dans le cas de Tintégrale
JJyd^ (oc^T^o),
pour laquelle les sia: cycles donnent seulement, comme nous l'avons vu plus haut, deux périodes.
On peut, pour la surface
^3 | jj/3 | ^3 I ^
expi^mer x^ y et z en fonctions rationnelles de deux paramètres u et v^ par les formules
