ABC ^^D' ^^D' ^=D

où

A — PS- -H W£ -h i^^p2, B = — çz— us^ — u^ç^,

G = 1 -h WP ( P £ -i- W £2 ),

D — I -{- u^{vz^ -h us), e étant une i-acine cubique imaginaire de l'unité.

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En substituant dans l'intégrale, on trouve le résultat très simple

^44) .(i-e)Jf^

du clv^

et tous les résidus de cette intégrale sont nuls.

Les deux cycles donnant des périodes pour notre intégrale dans l'espace (^, y, z) peuvent être définis de la manière suivante. Posons

en faisant décrire à ^ et à ^ dans leurs plans respectifs des contours ne se réduisant pas à zéro et ramenant respectivement

y/i — x^ et y/i — t^

à leurs valeurs initiales, on engendrera un cycle à deux dimensions P de la surface S. A.u cycle P de l'espace (^,JK, z) correspond un continuum Q à deux dimensions de Fespace (w, v)\ l'intégrale double (44) pi^ise sur ce continuum est en un sens une période de (44)^ puisqu'elle est une période de l'intégrale (43), mais elle n^a rien de commun avec un résidu^ et avec les périodes envisagées plus haut.

La correspondance entre l'espace (^, y, z) et l'espace (w, v) est établie par les relations écrites plus haut