Nous avons défini algébriquement plus haut les courbes

(1) Dans son Mémoire déjà cité {Math. Annalen^ t. VI), M. Nœther étend aux surfaces le tliéorème relatif aux courbes, mais sa démonstration est entièrement différente de celle que nous venons de donner.

THÉORÈME DE NOETHER. jg

adjointes. Pour les surfaces, il j a lieu de considérer des adjointes et des sous-adjointes (^ ).

Nous nous borneroQS pour le moment à la définition des surfaces sous- adjointes à une surface donnée y(:r, y, z) = o.

Nous dirons qu'une surface o(^*, y^ z) ^=^ o est sous-adjointe à la surface / si une section plane arbitraire de /= o a pour adjointe la section plane correspondante de la surface cp (section par le même plan). Il résulte de cette définition qu'une surface sous-adjointe passe par les lignes multiples de la surface et, en particulier, si ces lignes multiples sont telles qu'en un point arbitraire les plans tangents sont différents, une surface sous-acljointe aura une ligne multiple d'ordre p de la surface comme ligne multiple d'ordre p — i. Relativement aux points multiples isolés, les surfaces sous-adjointes ne sont soumises à aucune condition.

17. Le théorème du reste relatif aux courbes s' applique aussi aux surfaces. Soit/*(^jK, z)^=-o une surface d'ordre m, et soit o(^, jK, ^) = o une sous-adjointe d'ordre n. Supposons que cette sous-adjointe coupe la surface /, en dehors des lignes multiples, suivant deux groupes de courbes P et Q. Envisageons deux autres sous-adjointes arbitraires d'ordre /z, soient 'J; = o et -^ = o, la première passant par P et la seconde par Q : elles détacheront respectivement sur la surface / deux nouveaux groupes de courbes Q' et P^; il s'agit de montrer que les courbes P^ et Q' sont sur une même sous-adjointe d^ ordre n.

La démonstration est immédiate. Considérons les trois surfaces (iv = o, /"= o, cp = o ; un plan Cjuelconque, soit ^ = ^0, coupe ces trois surfaces suivant trois courbes, pour lesquelles on peut appliquer le théorème de Nœther^ on a alors

^{x, y, ^0) X(^, J, ^0) == a(^,7, ^o)/(^; 7, ^0) -H ^{oc,y, z^) o{x,y, Zq),

a et p étant a priori des polynômes entiers en x et y qui peuvent contenir rationnellement Zq. On montre, comme précédemment, que a et [3 sont bien des polynômes en Zq, et l'on en conclut que la surface j3(.2:, jk, 5) = o est une surface, en général d'ordre 72,

(^) Cette distinction paraît avoir été faite pour la première fois d'une manière systématique par M. Enriques.

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20 CHAPITRE I. — THEOREME DE NOETHER.

passant par P^ et Q^, et telle que sa section parles plans z = const. est l'adjointe de la section plane correspondante de la surface/; nous verrons plus tard que s'il en est ainsi, un plan arbitraire coupe encore la surface [3 suivant une adjointe de la section plane correspondante de/, et le théorème est démontré.

Le théorème du reste s'étend aux surfaces dites adjointes : nous le montrerons quand nous aurons défini ces surfaces.

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1. -— Série linéaire de groupes de points sur une courbe plane. Série complète. Somme de deux séries.

i. Sohf{œ^y) = o une courbe plane algébrique irréductible.

Un système linéaire de courbes de dimension r est défini par une relation de la forme

(i) Ao^o-^ hi^i-^. . .-I- hr^j-=^ o,

OÙ les Jj sont des fonctions entières de x^ y et les h des constantes arbitraires. Nous supposons que les fonctions ^ sont linéairement indépendantes relativement à y, c'est-à-dire qu'il n'existe pas entre elles de relation linéaire identique de la forme

6 étant un poljnome, et les a des constantes.

Les courbes ^ peuvent d'ailleurs passer par des points fixes de la courbe /, et l'on peut supposer que ces points sont simples.

Gela poséj l'équation (i) définit, sur la courbe /, une série linéaire de groupes de points g^^. Le nombre n des points est le degré de la série; r est sa dimension.

Le plus souvent, n désigne le nombre des points variables d'intersection. Mais on peut leur adjoindre un certain nombre de points fixes.

Dans tous les cas, on a évidemment la relation

Il est évident que par r -\-- \ points arbitraires de la courbe /",

(^) La théorie géométrique des séries linéaires de groupes de points est due à MM, Brill et Nœther {Math. Annalen, t. VII). Nous avons utilisé aussi dans notre rédaction un Mémoire de M. Segre {Annali di Matematica^ t. XXII; 1894) et un Mémoire de M. Bertini (même Volume).

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on ne peut faire passer une courbe (i), car il existerait alors entre les fonctions J> une relation identique (2).

2. Avant d'exposer les propriétés principales des séries linéaires de groupes de points, montrons qu'une série linéaire quelconque ^"J^^, définie par le système (i), peut toujours être obtenue par un système linéaire de courbes adjointes cp, à /, dUin ordre convenable ne dépendant cjue cVun groupe de poiiits de la série, assujetties, s'il est nécessaire, à passer par un certain nombre de points fixes de la courbe /.

Soit G^ un certain groupe de ^Jj, déterminé par une courbe ^^ du système (i). Par GV faisons passer une adjointe cp^, ce qui sera toujours possible, si son ordre est suffisamment élevé.

Fig. k.

Cette courbe '-t* coupera encore/', en dehors des points multiples, en un certain nombre de points, dont l'ensemble F^ forme ce qu'on appelle un résidu. Soit G un second groupe déterminé par une courbe A. Envisageons le produit

qui s'annule pour G, G^ et Y' et qui passe par suite par Tintersection de / et A^ On aura donc, en appliquant le théorème de Nœther,

(J;cp' = cpt];'-}- 6y";

d'où l'on conclut que cp est une adjointe de même ordre que o^ et qui passe par G et F^ On aura donc, sur la courbe /",

d'où

et, par suite, le système gj^^, déterminé par (i), est aussi déterminé

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LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBl^ ALGÉBRIQUE. 2a

par le sjslème linéaire d'adjointes

( 3 ) /lo 9o -T- Al cpi -V- . . . -+- hr^r ~ o,

dans lequel toutes les courbes o passent par ^^

3. On dit qu'une série g'^ est contenue totalement dans une autre gj^ lorsque, aj'ant le même degré /2, tout groupe G^ de la première est un groupe de la seconde.

Une série linéaire est normale ou com,plète lorsqu'elle n'est pas contenue totalement dans une série de même degré, mais de dimension sapérieure.

Lorsqu'une série n'est pas complète, on désigne sous le nom. de défaut àe cette série, la différence entre les dimensions de la série complète et de cette série.

Le théorème fondamental relatif aux séries linéaires est le suivant :

Si une série linéaire n^ est pas complète, il existe une série linéaire complète et une seule, de même degré, qui la contient totalement.

En effet, soit G un groupe d^ine série ^>)), toute série linéaire contenant totalement G est déterminée par un système linéaire d'adjointes, assujetties à couper/, en dehors des points multiples, en un certain nombre de points fixes, le résidu V considéré plus haut.

Considérons toutes les adjointes indépendantes passant par F, elles formeront un certain système linéaire de dimension r'

et de degré n. Ce système détermine une série linéaire g'^l qui contient nécessairement ^J] et toutes les séries qui ont a<^ec ^/^ un groupe commun, d'où l'on conclut immédiatement le théorème énoncé.

De ce qui précède résulte encore qu'un groupe arbitraire de n points détermine complètement une série complète, et que le système linéaire de toutes les adjointes d'un ordre donné, assujetties ou non à passer par des points fixes de la courbe /, déterminent sur cette courbe une série complète.

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La démonstration précédente nous indique en même temps le procédé qu'il faudra employer pour reconnaître si une série ^'/^' déterminée par un système linéaire donné est complète ou non. Il suffira de la comparer à la série déterminée par le système linéaire des adjointes d'un ordre convenable qui passent par le groupe résiduel T de points fixes défini pins haut.

Faisons encore la remarque cjue le système linéaire de toutes les courbes d'un ordre donné ne découpe pas nécessairement sur une courbe donnée une série complète. On s'en rend compte en considérant par exemple la série déterminée sur une courbe par toutes les droites du plan, et appliquant les considérations précédentes.

4. Si une série complète a des points fixes, la série que V on obtient en retranchant ces points fixes en partie ou en totalité est encore complète, car si cette série était contenue totalement dans une autre, en ajoutant à cette deuxième les points retranchés, on obtiendrait une série contenant totalement la série proposée.

La réciproque de cette proposition n'est pas vraie : Si, à une série complète, on ajoute des points fixes, la série nouvelle peut n^ être pas complète. Ainsi, soit une courbe d'ordre m sans singularités; toutes les adjointes d'ordre n << m — - i (qui sont des courbes arbitraires d'ordre n) déterminent une série linéaire com-

pi è te g' "^ . Si, à cette série, on ajoute m points fixes en ligne

droite, on obtiendra une série 9' ^ Q^i ne sera pas complète, puisqu'elle est évidemment comprise dans la série £»- 2 déter-

minée par toutes les adjointes d'ordre n -\- \ ^Cni,

5. Somme de deux séries complètes. — Soient deux séries complètes ^j;;, g'^^-^ que nous supposerons d'abord telles que deux groupes généraux n'ont pas de points communs (fixes, par consécjuent). Pour définir la somme de ces deux séries, on prend un groupe G„j de la première, un groupe G„., de la seconde : ces 71 ^ 4- 722 points forment un groupe G„^^„, qui individualise une série complète, gn,-^n. 4^^i ^^t appelée la somme des deux séries. Elle contient évidemment tous les groupes que l'on peut former

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LA. GÉOMÉTRIE SUR UNE COURRE ALGÉRRIQUE. i5

en associant un groupe arbitraire de la première à un groupe arbitraire de la seconde. Nous exprimerons souvent qu'une série complète est la somme de deux autres par l'égalité symbolique

Le cas où il y a des points communs est un cas limite facile à traiter.

Soit, par exemple, à additionner (g'^i-h gn'), tous les groupes des séries ^'^^ et g^^, ayant un point commun P nécessairement fixe, il faudra, pour définir cette somme, employer des adjointes tangentes en P à y*.

Dans le même ordre d'idées, une série normale définie par le point P compté ?^ fois et par un groupe de points G, sera déterminée par des adjointes passant par G et rencontrant la courbe en r points confondus en P.

6. Série contenue partiellement dans une autre, — Soit g,^ une série linéaire, et G^ un groupe de points (5<C /^)- Ce groupe sera un groupe partiel de la série, si G^ est contenu dans un groupe G/2 de points appartenant à g^]^. Il y aura donc au moins un groupe Qfn-s appartenant à g^^^ et tel que

II pourra exister une infinité de groupes (jns • ils formeront une série linéaire résiduelle de G^ par rapport à gj). On l'obtiendra en prenant toutes les courbes du système

définissant ^^^^, qui passent par G;y. Cette série sera complète si la première est complète ; son degré sera égal à /z •— ^ et sa dimension sera r — p, en désignant par p le nombre de conditions auxquelles doit satisfaire une courbe du système (a) pour passer par les s points du groupe G^.

7. Etant données deux séries complètes g^]^ et g'][, [n' <i n)-, si le groupe général (j,i' de la deuxième est un groupe partiel de la première, on dira que la série g'^^. est contenue partiellement dans la série g^^^.

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Soit G/^' un groupe de ^j;.'; considérons la série résiduelle de G,i' par rapport à g^^. Nous allons montrer que cette série résiduelle gn-n' ("st indépendante de G/^', d est-à-dire qu^ elle est la même, quel que soit le groupe G/^' de g'^^, dont on est parti. Cette proposition est une conséquence du théorème du reste. Considérons un groupe de g^]^

formé de G/^' et d'un groupe de gn-n'-

Par G/2, faisons passer une adjointe qui coupera encore/ en un groupe résiduel r. La série g,^ sera définie par toutes les adjointes passant par F^ la série ^;;' sera définie par toutes les adjointes passant par r et par Gn^iv] la série gn-n' sera définie par toutes les adjointes passant par F et G,i'. Désignons par H/^' un autre groupe de g-^! et par G'„^- un groupe arbitraire de gn-n'- H suffira de démontrer que les groupes F, G/',„- et H,^' sont sur une même adjointe. Or, F, Gn^n' ^^G,i' sont sur une même adjointe; il en est de même de F, G^-n' et H^^', et de F, G^,-„- et G,i'] donc F, G\,,^' et H/2' sont aussi sur une même adjointe,

II. — Degré et dimension d'une série complète; séries spéciales et non spéciales.

8. Nous nous occuperons en premier lieu du degré et de la dimension des séries complètes déterminées par toutes les adjointes d'un ordre donné et qui, par ailleurs, ne sont assujetties à aucune autre condition.

Soit une courbe / d'ordre m (avec d points doubles) : nous remarquerons d'abord que la dimension du système linéaire des adjointes d'ordre v est égale ou supérieure à

suivant que les conditions auxquelles la courbe générale du système doit satisfaire pour passer par les points doubles, sont ou ne sont pas indépendantes.

Dans le cas de l'égalité, le système est dit régulier.