ABC ^^D' ^=D' ^^D
Il y a certains points de l'espace (?/, v) qui sont des points fondamentaux dans la représentation. Tels sont, à distance finie,
ii — £^ P — £,
A chacun de ces points de l'espace (w, v) correspond une courbe de l'espace (^, y, s); on conçoit que, si une de ces courbes rencontre le cycle à deux dimensions P, le continuum Q dans (w, v) passera par le point correspondant que nous appellerons A. Or un tel point A appartient au continuum
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pour lequel l'intégrale est en général infinie, ce qui fait que le continuum Q est d'une tout autre nature que ceux que nous avons envisagés dans la théorie des résidus des intégrales doubles. Il n'y a donc aucune contradiction. On peut encore remarquer que, quand le cjcle P se déforme dans l'espace (^, y, z)^ son correspondant Q, qui se déforme aussi, passe néanmoins constamment par le point A. Il y a aussi des points fondamentaux à l'infini, auxquels s'appliquent des considérations analogues.
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SUR L4 FORMULE GÉNÉRALE DONNANT LE NOMRRE DES INTÉGRALES DOURLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE (^).
Sur une propriété des surfaces dont la connexion linéaire est supérieure à un.
\. Dans le Chapitre précédent il a été supposé que l'on avail affaire à une surface, pour laquelle ne se présentaient pas certaines circonstances exceptionnelles. On supposait que la connexion linéaire de la surface était égale à V unité (t. II, p. S^^), et, en outre (p. 32^), que l'équation E n'admettait pas comme solution un polynôme en y. Examinons de plus près ces deux conditions; cette étude va nous conduire d'abord à une propriété intéressante caractéristique des surfaces dont la connexion linéaire dépasse l'unité.
2. Reprenons l'équation différentielle linéaire E, déjà tant de fois considérée, à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne arbitraire de seconde espèce
Q(a7, y, z) dx relative à la courbe entre x et z
(M K- Picard, Sur un théorème général concernant les surfaces algébriques de connexion linéaire supérieure à l'unité ( Comptes rendus, 21 novembre 1904). — Sur la formule générale donnant le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce {Comptes rendus, 5 déc. 1904, et Annales de l'École Normale supérieure, igoS).
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Q(^, y, z) étant un polynôme en x, y^ z s'annulant sur la courbe double. Désignons toujours par 0/ la période correspondant au point bi. L'analyse développée (t. II, p. 877) nous permet, avec un léger complément, de formuler une conclusion générale.
Supposons que, parmi les 0/, il y en ait h[h^ip) linéairement indépendants ; je dis que la surface aura alors exactement ip — h intégrales de différentielles totales de seconde espèce distinctes.
Le raisonnement du n° 26 (t. IT, p. S^^) montre d'abord immédiatement que la surface possède certainement ip — h intégrales de différentielles totales de seconde espèce distinctes, les constantes arbitraires étant C,, Go, ..., ^^p-h- Inversement, supposons que la surface possède ip — A' intégrales distinctes de seconde espèce, 11! étant inférieur ou égal à h. Reprenant les intégrales
ij \\dx (A =: I, 2, ..., 'ip)
de la page 3^8, on peut, évidemment, trouver un cycle pour lequel la période correspondante s'augmente de
quand y tourne autour du point singulier h^^. Si donc le coefficient de dx dans une intégrale de différentielle totale est égal à
les a étant des fonctions rationnelles de j', on aura nécessairement, puisque les périodes de
( ai II -1- ... 4- a^p I2;,) dx
ne dépendent pas de y^ les relations
cix 12jj, -1- ^2 Op, -f- . . . H- a^p Op/^ = 0 ( |Ji = 1 , 2, . . . , /z ).
Nous avons là h équations entre les a, et il y aura à adjoindre à ces équations (comme à la page 3^8) ip — h autres équations, où ne pourront figurer plus de ip — h constantes arbitraires. Nous aurons donc simplement ip — h intégrales distinctes de seconde espèce, et l'on a, par suite, /i^= h.
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Il y a donc un lien très étroit entre le nombre des Qi linéairement indépendants relatifs à l'équation E et le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce de la surface : Si h est le nombre des premiers, le nombre des secondes sera ip — A.
3. Nous pouvons aller plus loin et donner la forme la plus simple à la condition pour que la surface ait un nombre déterminé d'intégrales de différentielles totales de seconde espèce. Le théorème que nous avons en vue est le suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour cju^une surface ait r intégrcdes distinctes de différentielles totcdes de seconde espèce est cjue V écjuation E soit vérifiée par r polynômes en y linéairemen t indépendan ts .
La démonstration de ce théorème va nécessiter quelques remarques préliminaires .
4. Reportons-nous à la page 99 du Tome I, où nous avons déjà considéré l'équation différentielle linéaire E, correspondant à une intégrale (i) arbitraire. Désignons maintenant par
( (7 ) u}'i = m\ (x>i -H m 2 CO2 -I- . . . -4- m\p Lû2p ( z: — I, 2, . . . , 2p )
une substitution quelconque du groupe de l'équation E; les m sont des entiers réels. En désignant par
Pi, P2, ..., P2/;
les périodes correspondant aux mêmes cycles que les o) d'une intégrale de différentielle totale de seconde espèce (transcendante), nous avons vu (loc. cit.) qu'elles satisfaisaient aux relations
( 2 ) Pi = jn{ Pi -I- nii ¥-2-^. . .-^ m\p P^p ( f — i , 2, . . . , 2/? ),
et il y a autant de ces relations qu'il y a de substitutions fondamentales dans le groupe de E. Il a été démontré que, si l'on peut satisfaire à toutes ces relations, /' élantle nombre des lettres Prèstant arbitraires, il y a pour la surface r intégrales distinctes de seconde espèce (transcendantes).
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3gO CHAPITRE XII.
Ceci rappelé, cherchons à quelles conditions l'équation E admettra comme solution un polynôme. Celui-ci serait de la forme
Xi Wi -h X2 ^2 -r-. . . -4- X
les X étant des constantes. Il faut et il suffît que l'expression précédente ne change pas quand on effectue sur les co toutes les substitutions du groupe de E; car^, dans ces conditions, elle est uniforme et, par suite, rationnelle, puisqu'il n'y a pas de points singuliers essentiels. D'ailleurs, cette fonction rationnelle se réduira à un polynôme, puisque chaque point singulier est seulement de nature logarithmique. On aura donc
Xi Wi -f- X2a)2 -H. . .-H )^2p^2p = '^li^^'^i ^1 + '^^2 ^-'^2 -+-. . .-r- ^^'^^Ip'^ip)
-h X2 ( 77il cOi H- ml CO2 4- . . . -H JJilp i02p) + . . . , ce qui entraîne les équations
( 3 ) X/ = Xi mj H- X2 mf h- . . . + X2/; fnj^^ ( i = i , 2, . . . , 2p).
Si le théorème énoncé au paragraphe précédent est exact, la possibilité de satisfaire à l'ensemble des équations (2) entraîne la même possibilité pour l'ensemble des équations (3), et le nombre des arbitraires, pour les P et les A, sera le même. Telle est la question algébrique à laquelle nous sommes ramené.
5. Il est manifeste que, si le groupe de E était quelconque, il n'y aurait, au. point de vue qui nous occupe, aucune connexion entre les systèmes (2) et (3), mais ce groupe n'est pas quelconque. 11 résulte, en effet, de propositions classiques sur les relations entre les périodes de deux intégrales abéliennes, que les co peuvent être choisis de manière que le groupe des substitutions (o-) satisfasse à la condition suivante : Soient
Lu] , CO2, OJ;}, . • • , W2y;j
'Jl, U2, 'J3, . . . , ^2p
deux séries de variables; toutes les substitutions (cr) transformeront en elles-mêmes la forme bilinéaire
F = a>i 'Jo — CO2U1 -h (.031)4 f.04 O3 -I-. . .-h (.O2P-I ^2p ^2p^2p-~l
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INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. SqI
cjiiand on effectue simultanément sur les to et sur les u la même substitution du groupe. Ce point important peut se démontrer avec précision de la manière suivante. Considérons pour une valeur particulière jKo de y, sur la surface de Riemann R correspondant à la relation entre ^ et ^
(R) /(^,jKo, ^)-o,
le contour de Riemann formé de p rétrosections (C, D) réunies deux à deux à la manière d'une chaîne. C'est le contour désigné par K dans le Traité cV Analyse de M. Picard (t. II, p. l\il\^ i"^ édit.). Quand y partant de y^ revient en ce point après avoir décrit un contour cjuelconcjuej le contour Iv s'est déformé et est devenu un autre contour K' du même type formé des rétrosections iOI ^ D^) réunies deux à deux en chaîne.
Considérons, sur la surface R, deux intégrales arbitraires de seconde espèce U et V aux périodes respectives co^, ..., Wo/? et u,, Do, ..., Uo^; l'intégrale classique
U^ZV prise le long du contour K. donne, comme on sait, la combinaison
(a) 0)1 'J2 a)2'Ji H-. . .H- W2;;-l ^2;^ W2//^2/;-l \
elle est, d'autre part, égale à la somme des résidus des pôles de U-T-- Avec le contour K^ ^^^ obtiendra la combinaison
qui sera égale à la somme des mêmes résidus. H y a donc égalité entre les deux expressions (a) et (a'); d'ailleurs, les w' sont des fonctions linéaires des w, et les u^ sont égales aux mêmes expressions linéaires des u. En écrivant l'égalité de (a) et (a'), on a une identité par rapport aux o) et aux u, car on a pu choisir U et V de manière cjue ces périodes soient arbitraires ; l'égalité est donc une identité, ce qui revient à dire que la forme (a) est transformée en elle-même. C'est à cette propriété de toute substitution du groupe de E qu'est due, comme nous allons le voir, la dépendance entre les systèmes (2) et (3).
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