Tout d'abord, on aura évidemment
(20) Wi 0)2 — W2Wj -+-... .H- W/,i w',, — • 0)/. a)'/.i = o,
puisque la somme des premiers membres des égalités (19) et (20) est nulle.
Il s'agit de savoir combien nous pourrons prendre de constantes P arbitraires dans les écpations (i3) du n'' 9, pour que ces 2/> écjuations aux p inconnues a,, a^, . » , ^ ap soient compatibles.
Considérons les écjuations (i5) du n** 10, en donnant à
Pi, P3, .... Pr-l
(1) M. Picard pensait avoir obtenu une telle démonstration à l'aide de considérations délicates empruntées à VAnalysis situs dans l'espace à quatre dimensions, mais cette démonstration nous semble maintenant sujette à des objections, et nous nous contentons d'appeler l'attention sur la lacune qui reste à combler.
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ÎNTÉGUALES TOTALES DE PRE>in>llE ET DE SECONDE ESPÈCK. 4^'^
des valeurs arbitraires; nous déterminons ainsi a,, ao, ..., ctp. Nous allons voir que les valeurs des autres périodes, pour l'intégrale correspondant à ces valeurs des a, sont des constantes déterminées Po? •••? P/- pour les cycles D, et sont nulles pour les cycles D^, de telle sorte que l'on a des équations de la forme (i3).
Désignons par Po, . . ., Pr les périodes relatives aux C3^cles D de l'intégrale de première espèce formée avec les a. Soient aussi Pr+o, ^r-i^^^ ' ' ", ^2p les périodes de la même intégrale relative aux cycles D^ Il faut démontrer que Po? P/o • • -7 ^r sont des constantes et que P^+o, - - -i P2/? sont nuls.
C'est ce que vont nous donner les relations (19) et (20). Nous pouvons écrire les équations
ai co.} -r- a^oif cil b)l-+- a 2 0)1
.^apLû^i = Pi.
ai co},-f- a2C0 7,
On en déduit, d'après les relations (20),
(21) Pi W^— P.Cot'-H P;3WJ— P4(0?-h. -.-h Fr-i^^— Fp^^^r-i ^ O,
h étant un quelconque des nombres i, 2, ..., p; tous les to figurant dans ces relations sont d'ailleurs des constantes (c'est-à-dire indépendantes dey). Or tous les déterminants formés, en prenant - lignes dans le Tableau
(Of, Wj, ..,, W^i (^:= 1,2, ...,/?),
ne sont pas nuls, car alors le déterminant d'ordre p formé avec les périodes relatives aux cycles G et C^ serait nul, ce qui n'a pas lieu d'après un théorème classique. Les équations (21) déterminent
alors certainement
en fonction des arbitraires
Pij P3, • • . 5 Py— 1-,
et il ne s'introduit que des constantes dans ces expressions. Nous avons donc le résultat voulu.
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Considérons de même les équations
Cil L0}.u.2 H- «2 ^^^ + 2 -H . . . -^ <^p ^^r-^2 — P/'-4-2, a 1 03 i ^, 1 -h «2 W I ^; ^ -f- - . . -r- «y, Mllp 1=0,
où les seconds meml^res sont alternativement zéi^o et une lettre P à indice pair. Nous aurons, d'après les relations (19),
Or tous les déterminants formés en prenant p lignes dans le
Tableau
..ji
-^' , cui^,i (A= 1,2, ...,/>),
ne sont pas nuls, car alors le déterminant d'ordre/) formé avec les périodes relatives aux cycles C et G' serait nul. Des équations (22) on conclut donc que
Donc, dans les 2p équations (i3) du n" 9, on peut prendre arbitrairement
Pi, P3, ..., P;.-l,
et, en choisissant convenablement Po, P4, ..., P,^ au moyen des équations (21) nécessairement compatibles, il est possible de tirer des équations (i3) les a de manière à avoir une intégrale de première espèce. Il se trouve ainsi établi, sous le bénéfice des relations admises (19 ou 20), que le nombre des intégrales de diffé-
renlielles totales de première espèce est -•
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Sur une propriété des adjointes d'une surface algébrique.
16. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant une propriété intéressante des adjointes d'une surface algébrique (^ ).
Revenons à cet effet à la première section de ce Chapitre. Nous n'y avons fait aucune hypothèse sur les adjointes au point de vue de leur section par un plan quelconque. Nous avons, dans le Chapitre IV de ce volume, considéré, avec M. Enriques, les adjointes de différents ordres h(l%^m — 3). L'ensemble des adjointes d'ordre h forme un système linéaire de surfaces. Celui-ci découpe sur un plan pris arbitrairement un système linéaire de courbes planes qui font évidemment partie des adjointes d'ordre h de la section plane correspondante de la surface. Mais il se peut que ce système linéaire de courbes planes ne forme pas l'ensemble de ces adjointes, et qu'il y ait un défaut, qui a été désigné par co^. Nous avons vu que, à partir d'une certaine valeur de A, tous les to sont nuls. En supposant que de h^=.rn — 3 à A ==: / — i les co soient différents de zéro, nous avons établi la formule de M. Enriques (p. 88)
(23) Pg—P'i = Zj^^^-
Or nous avons démontré, dans la Section I de ce Chapitre, l'inégalité
Or, d'après (23),
puisque les ca sont positifs. Rapprochons les deux inégalités précédentes, en écrivant
r ^ 2 W,„3 ^ 2 (po^ —pn )
(^) E. Picard, Sur quelques questions se l'attachant à la connexion linéaire dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes {Journal de Crelle, Band 129, 1906 ).
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