CHAPITRK XIII. — INTÉGRALES TOTALES, ETC

Mais, d'après le théorème de M. Castelnaovo,

11 faut donc que les deux inégalités soient des égalités, et l'on a, par suite,

Donc on a^ pour toutes les adjointes cV ordre h(h^ni — 2),

C'est là le théorème que nous voulions établir.

Ainsi, dans le calcul du genre d'une surface algébrique, il n'y a que le défaut (j^m-^ à envisager. Nous pouvons encore énoncer le théorème sous la forme :

Les adjointes d^une surface d"^ ordre m, cjui sont d^ ordre supérieur ou égcd à m — 2, donnent sur un plan arbitraire le système complet des adjointes du même ordre de la section plane.

Ce résultat complète les belles recherches de M. Enriques sur les adjointes d'une surface algébrique. Nous l'avons obtenu par une v^oie détournée ; on pourra sans doute le démontrer directement en restant à un point de vue purement géométrique.

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