SUR LES SURFACES HYPERELLIPTIQUES
Quelques propriétés des surfaces hyperellip tiques générales.
1. Nous ne nous proposons pas de faire dans ce Cliapitre une étude approfondie des surfaces hyperelliptiques; notre but est seulement d'appliquer à ces surfaces quelques-uns des résultats généraux donnés dans cet Ouvrage.
On appelle surfaces hyperelliptiques les surfaces pour lesquelles les coordonnées d'un point quelconque s'expriment par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres. L'étude de ces surfaces a été commencée par M. Picard (^), qui a établi leurs propriétés les plus simples. Une étude très approfondie en a été faite par M. Humbert dans son beau Mémoire Sur la théorie générale des surfaces hyperelliptiques (-).
5. On sait qu'entre trois fonctions uniformes quadruplement périodiques de deux variables u et i^, ayant partout à distance finie le caractère d'une fonction rationnelle, il existe une relation algébrique. Deux cas peuvent se présenter; il peut arriver qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu'un seul système
I.' ( ^ ) E. Picard, Sur les intégrales de différentielles totales algébriques de
première espèce {Journal de Mathématiques, t. I, 4*" sér., i8S5); Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, t. V, 4° sér., 1889).
(2) G. Humbert, Théorie générale des surfaces hyperelliptiques {Journal de Mathématiques, t. IK, 4" sér., 1890 ).
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44o CHAPITRK XIY.
de valeurs de u et ç', abstraction faite de multiples des périodes, ou bien il j aurdi plusieurs systèmes de valeurs de u et {> dans un prismatoïde de périodes.
Plaçons-nous dans la première hypothèse. Soit
une surface hyperellip tique jouissant de la propriété indiquée ; on établit alors que toute fonction quadruplement périodique de u et ç et ayant partout à distance finie le caractère d'une fonction rationnelle est une fonction rationnelle de ^, JK et z.
3. 11 est facile de montrer que la surface possède deux intégrales de différentielles totales de première espèce. Soient
les trois équations donnant la représentation paramétrique de la surface.
JNous avons
dx = -^ du -\ r- dv,
au oç
dy = -T— du H — r — dç.
-^ du âç
Or les coefficients de du et dç sont des fonctions quadruplement périodiques de u et ç; elles peuvent donc s'exprimer par des fonctions rationnelles de x^ y et z. En résolvant les deux équations précédentes par rapport à du et dç^ on aura donc
du = P dx -H Q dy^ dv — Pi dx -f- Qi<^jK,
les P et Q étant des fonctions rationnelles de x^ y et z. Les deux intégrales
F dx -{- Q^dy et / Pi dx -i- Qi dy
sont évidemment des intégrales de différentielles totales relatives à la surface /", et elles sont de première espèce^ puisque à tout point (x^y^ z) doivent nécessairement correspondre des valeurs finies de u et ç. Ces deux intégrales sont distinctes et linéairement indépendantes.
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SURFACES HYPERELLfPTIQUES. 44 I
En second lieu, toute intégrale de première espèce de la surface est nécessairement une combinaison linéaire à coefficients constants des deux précédentes.
En effet, soit une intégTale de première espèce
P2 <^^ H- Q.2 dy ;
en remplaçant ^, y, z par leurs valeurs en it et i', cette intégrale devient
'û du H- 'j* dç^
cp et 4 étant des fonctions quadruplement périodiques de u et v. Puisque l'intégrale reste toujours finie, il faut que les fonctions uniformes o et d; restent toujours finies; elles doivent donc se réduire à des constantes, et notre intégrale se réduit
a du -\r S dv.
a et |3 étant des constantes. Elle est donc une combinaison linéaire des deux premières.
4. On montre aisément que le genre géométrique de la surface est égal à lui, c'est-à-dire c[\\il y a une seule intégrale double de première espèce. Soit une telle intégrale double
(2) / / K{x,y,z)dx dy.
En remplaçant x, y el z par leurs valeurs en u et r, l'intégrale devient
y^ ( a, r) du dv^
y étant une fonction uniforme quadruplement périodique de u et v. Si y^ ne se réduit pas à une constante, il est manifeste que, dans un prismatoïde de périodes, on pourra choisir un continuum d'intégration pour l'intégrale double, tel que celle-ci soit infinie. 11 faut donc et il suffit d'ailleurs que y se réduise à une constante. L'intéi^rale double
du dç^
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qui est bien de la forme (2), quand on revient à x^ y et z^ est l'intégrale double de première espèce de la surface /. Elle est;, comme nous savons, de la forme
0^{x^ y^ z^ dx dy
() étant une adjointe d'ordre m — -4, nécessairement unique, de la surface f supposée d'ordre m,
o. Nous avons considéré (t. I, p. i36) une surface ajant plusieurs intégrales de première espèce qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre. Soient deux telles intégrales
r^'"^'^''-'^ B dx — A dy r^^-r^yr-) p^^ ^i^ __ ^^..^ dy
r''^'~'''^dx~kdy r
Il = / j^ et r = /
fL
11 a été établi (/oc. cit.') que l'on avait sur la surface l'identité
ABi-AiB = /i.Q(^,jr,^),
(^(^, y, z) étant un polynôme adjoint d'ordre m — 4- I^i 1^ polynôme Q correspondra à l'unique adjointe d'ordre m — 4 de la surface f. Cette adjointe coupera la surface suivant la ligne double et suivant une ou plusieurs courbes simples que nous appellerons les courbes F.
Pour la surface que nous étudions, les équations
= du,
/ 1^1 ax — Al ay
donnent nécessairement pour^et / (et^) des fonctions uniformes de u et V. On voit de suite que c'est seulement quand le point (:r, j)^, z) s'approche d'un point d'une courbe F, que ^, j)/ et 5 pourraient cesser d'être des fonctions uniformes de a et r. Soit M un point d'ailleurs quelconque (x,,, y^s-, z^) d'une telle courbe ; d'après ]es équations (4), on voit que le rapport -j- est indépendant de -— ? quand (x, j?', z) s'approche de M.
Donc les valeurs u^, i^o des intégrales u et v correspondant au point M ne donnent pas pour les fonctions x ^l y un point ordi-
V> dx
A dy
Bi dx
Al dy
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naire; ceci n'est pas douteux, piiique x et y ne pourront tendre vers Xo et yo que si la limite du rapport à une valeur déterminée.
Par suite, les équations précédentes étant satisfaites par des fonctions quadruplement périodiques de u et p', le point (uq^ ^o) sera pour ces fonctions un point d'indétermination. Mais, quand M se déplacera sur la courbe F, le système des valeurs {uq^ ç^o) ne pourra pas varier d'une manière continue; car une fonction uniforme de deux variables indépendantes, qui présente, pour tout système de valeurs finies des variables, le caractère d'une fonction rationnelle, ne peut pas avoir une suite de points d'indétermination se suivant d'une manière continue. Par conséquent, z^ et (^ gardent une valeur constante, quand (^o, Jo, ^o) se déplace sur une courbe F.
Il résulte de là que toute courbe F est une courbe unicursale. C'est une de ces lignes de la surface que, dansum Chapitre précédent, nous avons appelée une courbe exceptionnelle.
6. M. Humbert, dans le Mémoire cité plus haut, a fait une étude approfondie des courbes algébriques tracées sur les surfaces h^^perelliptiques. Il représente d'abord ces surfaces en coordonnées homogènes par des équations de la forme
Xi= &i{u, v) (1= i, 2, 3, 4),
les (èi étant des fonctions thêtct normales de même ordre, de caractéristique nulle.
En supposant que les fonctions abéliennes ne sont pas singulières (c'est-à-dire qu'il n'y a pas entre certaines combinaisons de leurs périodes une relation homogène et linéaire à coefficients entiers), il établit que toute courbe algébrique tracée sur la surface est représentée par une équation de la forme
A et pi étant des constantes, et 6 une fonction thêta normale de caractéristique nulle.
Nous renverrons à son Mémoire pour la démonstration de cet important théorème.
