Nous avons vu plus haut que le genre géométrique pg de la

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surface est égal à un. En s'appuyant sur le théorème de M. Castelniiovo (t. Il, p. 4^2 ) nous avons ici

Pff—Pn = ->^,

puiscjLi'il y a deux intégrales de première espèce. On en clédnit

Ce résultat a été antérieurement établi par M. Humbert au moyen d'un calcul direct [Journal de Matli.^ 1890, p. 429).

Ajoutons encore que la surface possède quatre intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce, puisque le nombre des cycles linéaires est évidemment égal à quatre et que par suite r est égal à ce nombre.

On peut enfin se demander quel est le moindre degré d'une surface hyperelliptique du type cjui vient de nous occuper. M. Picard a démontré qu'une surface de genre géométrique égal à un ne peut avoir deux intégrales de différentielles totales de première espèce qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre, si son degré n'atteint pas six [Journalde Math., i885; voir aussi t. I, p. 141)7 mais il s'est borné aux singularités que nous avons appelées ordinaires dans tout cet Ouvrage. Le théorème complet a été établi par M. A. Berry, et l'on trouvera dans les additions placées au commencement de ce Volume les renseignements bibliographiques à ce sujet. Ce résultat admis, il est clair qu'// ne peut exister de surface hyperelliptique de degré égal ou inférieur à cinq telle qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu\in seul système de valeurs des paramètres aux périodes près.

On peut indiquer une surface du sixième degré rentrant au contraire dans ce type. Prenons en effet la surface

f et o étant des polynômes arbitraires du troisième degré. En dé signant par V[u)elO{i>) les fonctions elliptiques correspondant

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SURFACES HYPERELLIPÏIQLES. .|4'^

on aura évidemment

et la surface rentre bien dans le type voulu.

Ici les fonctions abéliennes sont très spéciales, puisqu'elles se ramènent aux fonctions doublement périodicjues pour chacun des paramètres. Relativement aux fonctions abéliennes générales, M. Humbert a indiqué une surface lijperelliptique du huitième degré {Journal de Math,, 1898, p. 436). On ne sait s'il en existe pour les sixième et septième degrés.

Sur les valeurs des nombres p et po pour une surface hyperelliptique non singulière.

8. Nous allons calculer les valeurs des nombres p et p(> pour une surface hyperelliptique non singulière, en désignant par p le nombre correspondant au théorème fondamental dans la théorie des intégrales de difTérentielles totales de troisième espèce (p. 241), et par po le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce (p. 28g)..

Soit, comme plus haut, la surface /donnée en coordonnées homogènes par les équations

Xi = Qi(u, ç) ii=^ I, 2, 3, 4),

les 6 étant des fonctions thêta normales du même ordre et de caractéristique nulle. Nous nous plaçons dans l'hypothèse où les quatre 0 ne s'annulent pas simultanément pour un même système de valeurs de u et (^, c'est-à-dire que la surface est représentable point par point, sans exception, sur le champ hyperelliptique; il n'y a pas alors dans cette correspondance de courbe exceptionnelle sur la surface.

Envisageons sur la surface une courbe algébrique irréductible. D'après ce que nous avons rappelé, elle sera représentée par une équation de la forme

0(?^ — À, p — jjl) — O,

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446 CHAPITRE \\y,

À et [j. étant deux constantes, et 6 une fonction thêta normale de caractéristique nulle, dont nous désignerons l'ordre par /??.

Ceci posé, soit 9(^/, ç) la fonction thêta normale, de caractéristique nulle, et d'ordre un; la fonction

sera d'ordre m, et, par suite, le quotient

&(U— X, ç — IX)

sera une fonction quadruplement périodique de a et (^, et, par suite, une fonction rationnelle des coordonnées non homogènes^', j^ et z d'un point arbitraire de la surface. Si donc nous considérons l'expression

&(U ■ — A, Ç — fJ.)

^^ '(f^'iT^l, v — iJ,) '

ce sera une intégrale de différentielle totale de troisième espèce (réductible manifestement à un logarithme), qui aura sur la surface les deux courbes logarithmiques

6(u — A, V — jjt.) r= o et 6(?^ — X, ç — l^) = ^^•

Ceci nous permet de nous borner, pour l'étude des lignes de la surface donnée /, en tant que courbes logarithmiques d^ intégrales de troisième espèce, aux lignes données par une équation

G(zi — X, ^^ — (ji) = o,

où \ et y. sont deux constantes arbitraires.

Nous allons montrer que, si l'on prend deux quelconques de ces lignes correspondant aux équations

0 ( w — A 1 , p — jjLi ) == o et 0 ( w — Xo, (^ — [^2 ) = o,

que nous désignerons par G, et Go, il J aura une intégrale de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement ces deux lignes comme courbes logarithmiques. Supposons, en effet, que A2 et [J.2 soient respectivement très voisins de \x et [;., ; les deux courbes G, et Go de même degré sont alors très voisines l'une de l'autre sur la surface. Par conséquent, les substitutions du type S

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SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 44?

envisagées au n" 2 (Ghap. IX, p. 233) et se rapportant respectivement à la courbe G, et à la courbe Go sont identiques, c'est-à-dire que l'on aura i^voir vî^ 3, même Chapitre)

^{i\ ,//) (^^- __ j^ r,^^ . . ., ip).

Par suite, les 2/>/i relations considérées dans le n° 3 (Chapitre cité) entre les K et les c pourront être satisfaites en prenant tous les K nuls, et

Cl 4- C2 = o.

Nous aurons alors une intégrale de troisième espèce, conformément à la théorie générale des intégrales de celte espèce, ayant les deux seules courbes logarithmiques C, et Go; la ligne à l'infini de la surface / ne peut être une courbe logarithmique pour cette intégrale, puisque G, et G^ sont du même degré, et que c, = — Co. En faisant varier A et [jl par degrés assez petits, on voit que deux courbes quelconques du type

^{u — X, p* — [jl) ='o

sont courbes logarithmiques d'une intégrale convenable de troisième espèce. On a par suite pour la surface hy perellipticiue considérée f sans courbes exceptionnelles (')

9. Ayant ainsi obtenu le nombre p correspondant à là surface/, nous allons chercher le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce relatif à cette surface. Il est donné par la formule fondamentale de la page 408

(6) Po =: N — 4/? — (/?i— 0 + 2 7'— (p — l).

La surface est défmie par les équations

les quatre 6 étant des fonctions ihêta normales, de caractéristique nulle, dont nous désignons maintenant par /z le degré; de plus,

(') E. Picard, Annales de VEcole Normale, t. XVIII, 1901, p. [\\\.

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ces fonctions n'ont pas de racines communes. Il faut calculer les

nombres

Nous savons que p = i et /^ = 4-

Or il résulte des formules du Mémoire cité de M. Humbert (Journal de Math., iSgS, p. 43o) que l'on a

Il reste à évaluer la classe N de la surface. On voit de suite que IN est égal au nombre des solutions distinctes des deux équations

âç

en désignant par 0 et 6 deux fonctions thêta normales d'ordre A, de caractéristique nulle, sans zéro commun, et d'ailleurs arbitraires. En s'appujant sur un théorème de M. Poincaré relatif aux racines communes à deux fonctions thêta, on trouve sans difficultés

Nous pouvons maintenant appliquer la formule (6); comme il devait être, la valeur de h disparaît, et l'on trouve immédiatement

po = 5.

Tel est le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce pour les surfaces hjperelliptiques non singulières. Si la surface hyperelliptique était singulière, c'est-à-dire si les périodes satisfaisaient à une ou plusieurs relations singulières (au sens de M. Humbert), il y aurait lieu de rechercher ce que devient le nombre Oq, qui peut être différent, car cet invariant, ainsi que nous l'avons déjà remarqué plusieurs fois dans ce Volume, n'est pas seulement géométrique et algébrique, mais a aussi un caractère arithmétique.

10. Les surfaces hjperelliptiques peuvent être rattachées aux courbes de genre deux. Soit une courbe de genre deux

SURFACES HYPERELLIPTIQUKS. 4^9

OÙ fi^x) est un polynôme da cinquième degré; nous considérons les équations classiques de la théorie des fonctions abéliennes

'^""■^'^■^^^i^^z-i , C^'"''-'^''^ x.^dx^

[ri-v//(^i), r2 = \//(^.)].

On sait que toute fonction rationnelle

R(^i, jKi; ^2, JK2)

symétrique en(^,, y s) et (.^^o, JK2) est une fonction quadruplera ent périodique de a et (^.

Les équations

OÙ x^ et ^2 sont deux paramètres arbitraires, définissent une surface hyperellip tique /*, et il est manifeste qu'à un point arbitraire (x^ y^ z) de cette surface ne correspond qiiiin couple de points

(^,, )'4), (^0,^2) de la courbe j^- :=:/(^) et, par suite, un seul système de valeurs de ^^ et v (aux périodes près).

11 . Cherchons à former les intégrales doubles de seconde espèce de cette surface. Envisageons à cet effet les quatre intégrales abéliennes distinctes de seconde espèce de la courbe hyperelliptique

rdx C X dx r x''- dx r x^ dx r o /./ sT

et formons l'intégrale double

P f* rr^P rpH ry,'lry.P

(8) / / — ^ — ' — - dxidx^ (/>, ^ = o, I, 2, 3).

J J yiyt

D'après sa formation même, cette intégrale double a les caractères d'une intégrale double de seconde espèce. Exprimons-la à l'aide des variables u el ^^. On a

, , da dv da dv

dx^dx^^ = =-yiy2

D{a, ç ) ^ "^ -' X2~ xi

D{Xi^X2)

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L'intégrale devient alors

Le coefficient de durh est une fonction rationnelle symétrique de x^ et ^o et, par suite, une fonction quadriiplement périodique de u et (^. Il en résulte que l'intégrale (8) est de la forme

/ / K{x,y,z)dxdy,

R étant rationnelle en x^y et ^, et il serait d'ailleurs facile de la calculer; c'est donc une intégrale double de seconde espèce de la surface /définie par les écjuations (7).

Il y a 6^.2; combinaisons de la forme (8); nous obtenons donc ainsi 5/.r intégrales doubles (9) de seconde espèce de notre surface, mais nous allons montrer qu'elles ne sont pas distinctes.

Reportons-nous en effet à la formule fondamentale dans la théorie des fonctions abéliennes de Weierstrass, que nous avons utilisée précédemment pour un autre objet (page 198 de ce Volume), et que nous écrirons

à dxi

U(.yi, .2-2 )

IJ étant un polynôme en x^ et ^05 défini par cette identité même, qui est du troisième degré par rapport à x^ et par rapport à Xo.

Elle montre qu'on peut former une combinaison linéaire à coefficients constants (non tous nuls) des expressions

cjui se réduit à une somme de dérivées partielles. On en déduit cju'il y a une combinaison linéaire des intégrales (9) qui est de la forme

ày

dx dy.

U et V étant rationnelles en ^, y et ^, c'est-à-dire cjue les intégrales formées se réduisent à cinq. On vérifiera facilement que l'on

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SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 4^1

obtient ainsi cinq intégrales doubles distinctes de seconde espèce de la surface /, si le polynôme f{x) est arbitraire, et le théorème établi précédemment, à savoir que

Po== 5

pour une surface hyperelliptique, se trouve établi par une tout autre voie.

Sur la surface de Kummer et les nombres p et po qui lui correspondent.

12. Dans les deux Sections précédentes, il a été question de surfaces hyperelliptiques telles qu'à un point arbitraire de la surface ne correspond qu'un système (?^, (^), abstraction faite de multiples des périodes.

Il existe des surfaces dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres, et pour lesquelles correspondent à un point arbitraire de la surface deux systèmes distincts de valeurs w et (^.

Il est facile d'en donner un exemple en reprenant les équations abéliennes du n^ 10. Envisageons, avec les mêmes notations, la surface définie par

A un point arbitraire (^, y^ z) de cette surface correspondront un système de valeurs (^^, X2) et le produit y4jK2' On aura pour y^ ely2 deux systèmes de valeurs

yu r2 et — jKi, —yi]

donc, à un point arbitraire de la surface correspondent deux systèmes de valeurs àe u et ^.

13. Parmi les surfaces jouissant de la propriété précédente, la plus célèbre est la surface de Kummer, surface du quatrième degré

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452 CHApnRii; XIV.

ayant seize points doubles. Il ne serait pas dans notre sujet d'en faire une étude, même superficielle; nous allons seulement calculer les nombres p et po qi^ii lui correspondent.

Le nombre p est facile à calculer, si nous nous reportons à une proposition extrêmement intéressante de M. Humbert relative aux courbes algébriques tracées sur une surface de Kummer (non singulière). D'après ce théorème, toutes les courbes algébriques tracées sur une surface de Kummer sont de degré pair, et, si 2 /^ désigne le degré d'une telle courbe, on peut le long de cette courbe circonscrire à la surface une surface de degré n ne la coupant pas en dehors de la courbe considérée. On déduit de là immédiatement que p= I. Car, si une courbe C^ de degré 2Ai, est l'intersection de la surface de Kummer avec la surface

et, si une courbe C2 de degré 2 11-2 est donnée par la surface

on a une intégrale de difTérentielle totale de troisième espèce représentée par le logarithme

log ^^, J 1

ayant comme uniques lignes logarithmiques G| et C2. On déduit de là que p est égal à un pour la surface de Kummer.

14. Cherchons le nombre po relatif à cette surface. Il nous faut appliquer ici la formule générale de la page 409

Po = N H- <i — f\p ~ {m — i) -h 2r— (p — i)

applicable au cas où, outre la ligne double, la surface a d points isolés.

L'application en est facile à la surface de Kummer.

On sait que

r = 0, p == i; de plus on a

La formule donne alors

Po = 5.

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SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 4^3

Nous trouvons le même nombre que pour la surface hyperelliptique générale.

15. En suivant une marche analogue à celle du n"" 11, nous pouvons former facilement cinq intégrales doubles de seconde espèce relatives à la surface du n^ 12 définie par les équations

Ces intégrales doubles ont toujours la même forme

^^ " ' — - dxidx^ (/?, ^ — o, I, 2, 3).

Cette intégrale peut s'écrire dans le cas actuel r rx^[xl — x\x^!, dx dy

JJ Xi — X-i z

11 est clair que

/y*' nn ' ^ rp l /y^i

Xi X2

est un polynôme P(x, y)^ et l'on a donc une intégrale

'V{x^y)dx dy

ff-

l'équation de la surface étant

F(x^y) étant un polynôme en x et y.

Pour les mêmes raisons que plus haut, ces six intégrales doubles de seconde espèce se réduisent k cinq ; elles sont distinctes si le polynôme f{x) du cinquième degré ne satisfait pas à certaines conditions particulières.

Sur les conditions pour qu'une surface soit kyperelliptique.

16. Nous avons indiqué plus haut (Section I de ce Chapitre) certaines propriétés d'une surface hyperelliptique, pour laquelle il

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y a correspondance uniforme avec le prismatoïde des périodes. On peut se poser la question inverse, et se demander comment on reconnaîtra si une surface donnée de degré m

est susceptible d'avoir les coordonnées [x^ y^ z) d'un quelconque de ses points exprimées par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres, de telle sorte qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs de ces paramètres (aux périodes près).

On devra tout d'abord avoir pour la surface /^ = 4 ; il 7 aura alors pour la surface deux intégrales de différentielles totales de première espèce; soient

rBdx — kdy r Bi dx — Ai dy

Ces deux intégrales devront n'être pas fonctions l'une de l'autre. En outre, la surface doit être du genre géométrique un] enfin, nous avons montré que l'adjointe d'ordre m — 4 coupe, en dehors de la ligne double, la surface ./ suivant des courbes simples F de/ qui sont iinicursales (ces courbes peuvent manquer).

17. On peut montrer que ces conditions nécessaires sont suffisantes (^ ); nous allons indiquer sommairement la démonstration. Soient

Wj (x)2 W3 0)4

Ui 1)2 03 U4

les quatre couples de périodes des deux intégrales précédentes. En se servant des théorèmes classiques dans la théorie des intégrales abéliennes, on obtient la relation entre ces périodes

S CiV,.tO/l)/,. = O (d/c = — C/a) (V, >t = I, 2, 3, 4),

(1) Comparez : E. Picard, Journal de Math., i885, p. 334; ^t 1889, p. 224. Dans le second Mémoire, M. Picard, s'appuyant sur une proposition de M. Nôtlier, dit que la condition relative à l'unicursalité des courbes V est remplie d'elle-même; mais la proposition de M. Nôtlier est sujette à des restrictions, et la condition doit être maintenue. C'est ce qui résulte d'un exemple de M. Castelnuovo, que nous avons cité (t. I, p. 223), relatif à une surface du cinquième ordre avec trois tCjiciiodes.

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SURFACES HYPERELLIPTIQUKS. 4^'^

les c étant des entiers, et le déterminant symétrique gauche

\ciu\

n'étant pas nul, comme on le déduit de l'inégalité de Puemann fondamentale dans ce genre de question.

18. En efFectuant simultanément sur les co et les 'J une substitution à coefficients entiers, dont le déterminant différent de zéro peut être a priori supérieur à un, on obtient de nouvelles périodes

( Ql 0-2 ^3 ^\

^^ ^ / r, n Ta n

avec la relation

Il est alors possible de former avec un polynôme du cincjuième degré convenable y (^) deux intégrales distinctes de première espèce

^ OLX -I- [3

"^ + ^ .te,

\/fia^)

dont le tableau des périodes corresponde à (9'), Considérons alors les équations

I r^'^'^y'^^ B,dx~A,dr __ ^ et les équations

En égalant entre eux leurs premiers membres, on voit que tonte fonction rationnelle

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symétrique par rapport à {x^^y^) et (^2?JV'2)5 estracine d'une équation algébrique dont les coefficients sont fonctions rationnelles de

(^, jK? ^)- Il en résulte que

x^ y el z

sont des racines d'équations algébriques dont les coefficients sont des fonctions uniformes cjuadruplement périodiques de u et v,

Kinûx^ y el z définies parles équations (lo) n'ont, pour chaque valeur de u et v^ c[u'un nombre limité de valeurs, et ont pour toute valeur finie de u et v le caractère d'une fonction rationnelle ou d'une fonction algébrique.

Nous ne nous sommes pas servis jusqu'ici de la condition relative aux courbes F. On se rappelle que l'on a

ABi-BA,=/i.Q(^,j,^),

(^{x^y^z) étant l'adjointe d'ordre m — ^. Toixl d'abord, les courbes F étant unicursales, elles satisferont nécessairement aux équations différentielles

\^ dx — A cly = o, B 1 dx — Aj dy = o,

puisque les deux intégrales de difFérentielles totales de j)i'emière espèce, se réduisant pour une courbe F à des intégrales de fonctions rationnelles d'un paramètre, doivent être des constantes. Or,

d'après les équations

B dx — A dy

— du^

B| dx — A] dy ,

X, y, z ne pourront cesser d'être des fonctions uniformes de uel r que quand le point {x^y^ z) viendra sur une courbe F. Mais, pour tous les points d'une courbe F, u et v se réduisent à deux constantes à des 23ériodes près ; nos fonctions algébroïdes de u et v ne pourront donc avoir de ligne critique pour lacjuelle deux ou plusieurs branches se permutent. Elles seront donc des fonctions^ uniformes, et, par suite, des fonctions cjuadruplement périodiques de u et (', comme nous voulions l'établir.

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SURFACES HYPERELLIPTIQUES. l\5j

Sur une classe d'équations aux dérivées partielles se rattachant à la théorie des fonctions abéliennes {^).

19. Arrêtons-nous un moment sur les équations différentielles de la forme

, , ./du du

/étant un poljnome, et u désignant une fonction de deux variables indépendantes a: et y.

Si u est une fonction quadruplement périodique de deux variables, qui ne se réduise pas à une fonction d'une combinaison linéaire de x et y^ il y aura une relation algébrique de la forme

(12) entre

du du u, —-f — ?

dx dy

et, si l'on pose

à un point arbitraire de la surface

ne correspondront évidemment qu'un nombre limité de valeurs de {00^ y) dans un parallélépipède des périodes.

Nous allons établir d'abord que ce nombre limité de valeurs se réduit à un seul système de valeurs.

20. Admettons qu'il y ait m valeurs de {x^ y) correspondant à un point arbitraire (z^, ç^ {v) de/*, soient

{^\^ yi), (^2,^2)5 •••? {^m,ym)'

Les sommes

a:^! -H ^2 -^ ... -H x,n, JKi -+-72 ~'r- • • . + 7^

seront nécessairement des intégrales de différentielles totales rela-

(^) E. Picard, Journal de Mathématiques, i885, p. 338.

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tives à la surface /

Fdu-{-Qdw, / F^du-^Qidiv,

les P et Q étant rationnelles en (u, ç^ iv).

Différents cas peuvent se présenter relativement à ces deux intégrales.

21. Supposons en premier lieu que ces deux intégrales se réduisent à des constantes. Faisons un peu varier et arbitrairement (w, (^, ^v) de manière à passer à ((/, ç^^ iv')^ on aura les nouvelles valeurs de ^ et j* voisines des précédentes

Nous aurons ici

i û^i -T~ OC^i — r— . . . ~x~ OC jji =: OC ^ -\- OC if^ H~" . « . ~t~ OC j^^ ^ i n -+- 72 -4- . . '-^Ym == 7 1 H- J2 + • • • -^ Ym-

Les quantités x^ — xi sont de l'ordre de i^ii! — 11) et ((^^ — (^). On a

^(•^^ijji) — w(^i7i)== ^ ^'^i~~'^i^'^'5^ (ri — ri) -+-••-

les termes non écrits étant d'ordre supérieur au premier, et des égalités analogues en remplaçant l'indice un par les indices deux, trois y .... Comme on a

dxi

àXni

«t les égalités analogues avec les accents, il viendra, en additionnant et tenant compte des égalités (i4);

jn[u(x\^ y[) — u{xi^ j^i)] = quaatité du deuxième ordre.

Or ceci est impossible, puisque {x\ — x^) et [y\ — y^) sont du premier ordre; il faudrait que l'on eût, pour toute valeur de x^

ce qui n'a pas lieu.

du du

dxi dyi

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SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 4%

22. Les deux intégrales (i3) ne se réduisent pas toutes deux à des constantes. Or, nous allons montrer d'abord que ces deux intégrales ne peuvent être distinctes. En effet, en remplaçant u^ ç^ w par leurs valeurs en x et y, elles deviennent respectivement

ax '\- |3jK + Y? ^ X -\- ^' y H- y',

les a, j3, y étant des constantes. Si les intégrales sont distinctes, OL^' — ^ol' n'est pas nul; il en résulte que olx -\- ^y et cfJ x -\~ ^'y et, par suite, x et y n'ont qu'une valeur pour u^ <^, w donnés, aux périodes près.

L'une des intégrales est donc égale à une fonction linéaire de l'autre ; on peut supposer que

A étant une constante. Gardons x comme variable, et prenons y — Kx comme seconde variable, que nous continuerons à désigner parjK. La somme

est alors variable avec {u^ (^, w) et elle est une intégrale de première espèce, tandis que

Ji + 72 -!- • . • +7m = const.

L'intégrale de première espèce qui représente x ^-{-x <>-[-... -^x m sera susceptible de la forme

a ^ ~t- [3 jK -1- Y .

La constante a n'est pas nulle, car alors j^ n'aurait qu'une valeur (étant une intégrale de première espèce) et, par suite, on aurait

71=72 =="'=^ym^ const.,

ce qui est absurde.

Prenons enfin, au lieu de la variable x^ la combinaison ax-{-^y-\-^ comme variable ; nous la désignerons encore par x^ pour ne pas multiplier les notations. Alors, avec les deux variables x ely définitivement choisies, nous aurons

X \ '■ Xi) ... Xn},

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et, par suite, à un point arbitraire (w, (^, w) de / correspondent

X étant le même partout.

Reprenons le raisonnement du numéro précédent en considérant an point arbitraire {u\ ^\ w') de /, voisin de {u^ v^ w). On aura alors

in\u{x'^^y\) — 2^(^i,JKi)] = Jn{x']^ — X\) - — • -\- termes de degrés supérieurs.

UX i

Mais ceci entraîne

pour un système arbitraire de valeurs de x^ et y^^ ce qui est impossible, car u serait une fonction d'une seule lettre combinaison linéaire des variables primitives x et j^.

Nous avons épuisé toutes les suppositions, et il nous faut donc

conclure que

comme nous l'avons énoncé.

23. Posons-nous maintenant la question suivante : Etant donnée l'équation aux dérivées partielles

,/ du du\

peut-on y satisfaire en prenant pour u une fonction uniforme quadruplement périodique de x et y?

Toat d'abord la surface

devra satisfaire aux conditions de la Section précédente. On aura donc tout d'abord à rechercher si l'on peut exprimer u^ ^, w par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres x et y. La surface précédente devra admettre deux intégrales de première espèce

B du — A <f/p r Bi du — Al dv

r B du — A dv r Bi du —

J 7:. ' J Zî

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SURFACES HYPKRELLIPTIQUES. ^6l

On doit pouvoir trouver deux combinaisons linéaires indépendantes de ces intégrales, telles que les deux équations aux différentielles totales

( / B H- 7?i Bi) du — (lA-h mAi) ch __

{nB-+-pBi)du — {nk-^pki)dv ,

donnent, pour u^ ç^ ^v^ des fonctions quadruplement périodiques de X etjK? et telles que

du du

dx ôy

Cherchons à quelles conditions on pourra déterminer les quatre constantes /, 7?2, /i, p de façon qu'il en soit ainsi; nous n'aurons

qu'à calculer — et yj à l'aide des équations précédentes. On trouve

de suite, en posant comme plus haut BA, — ABi ==/(^V Q(^^7 ^? ^^)?

nk -f- /? Al

Ik. + m kl

àx

~ ( //? — m. Il ) Q

( Ip — m n ) Q

Nous devrons avoir

Jlk -\- p kl = (Ip 7?Z 7i ) Q . (^ ,

Ik -4- mki — ( Ip 77171) Q . w.,

et ces relations, devant avoir lieu, pour tout point de la surface, seront des identités en u, ^, w, puisque les degrés des polynômes qui y figurent sont moindres que le degré de la surface. Nous pouvons donc enfin écrire

A = 0^.(771 Ç -{- pw),

Al — Q.( Iv -1- nw).

Ainsi les polynômes A et A^ doivent être divisibles par Q(^/, (^, tv^), et les quotients doivent être homogènes et linéaires en ç et w. Lorsque ces conditions seront remplies, on aura par les divisions mêmes de A et de A^ par Q les quatre constantes /, /t?, 72, /?, et les équations aux différentielles totales qui doivent donner u en fonctions de ^ et J/ seront complètement déterminées; on est donc ramené à la question traitée dans la Section précédente.

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Sur une surface algébrique admettant une infinité discontinue de transformations birationnelles.

24. Les surfaces lijperellip tiques générales dont nous nous sommes occupés dans ce Chapitre donnent un exemple de surfaces admettant de?> transformations birationnelles en elles-mêmes dépendant de deux paramètres. Nous ne voulons pas nous occuper ici de l'intéressante question relative à la transformation birationnelle des surfaces en elles-mêmes. Nous terminerons seulement ce Chapitre en montrant que, pour une surface, contrairement à ce qui arrive pour une courbe (^), il peut y avoir une infinité dùcontinue de transformations birationnelles de la surface en ellemême, sans qu'il y existe une transformation continue , c'est-à-dire dépendant de un ou plusieurs paramètres arbitraires.

Ce fait a été signalé pour la première fois par M. Humbert, qui a indiqué un exemple emprunté à la théorie de la surface de Kummer {Comptes rendus, 3o janvier 1897). ^^^ après, M. Painlevé a donné un exemple plus simple (^) : nous allons indiquer l'exemple de M. Painlevé, où nous retrouverons quelques-unes des notions relatives aux surfaces algébriques étudiées dans cet Ouvrage.

En désignant par J3(^) ]a fonction elliptique, telle que la considère Weierstrass, envisageons la surface déterminée par les équations

A un point arbitraire de la surface correspondent deux valeurs distinctes des paramètres, à savoir :

( w, v') et ( — u^ — p),

(^) Pour ce point, on peut consulter le Traité d'Analyse de M. Picard (t. II, 2" édit., p. 483).

(2) P. Painlevé, Sur une surface admettant une infinité discontinue de transformations birationnelles {Comptes rendus, i4 février 1897).

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SURFACES HYPEHELLIPTIQUES. 4^3

à des multiples près des périodes. Posons

( \] = mu -h nç, ( y — pu -^ qv,

m, Ji^ p et cj étant des entiers satisfaisant à la relation

7n q — np — ziz i .

A un point (^'^JK, z) de la surface correspondent les valeurs (f/, v)^ ( — u^ — v) et, par suite, les valeurs (U, V), ( — U, — V). Si donc on pose

X, Y, Z seront des fonctions rationnelles de x^ y^ z et inversement. Nous avons donc ainsi une infinité discontinue de transformations birationnelles de la surface en elle-même.

On voit de suite que la surface possède une infinité de courbes unie Lir sale s. Tout d'abord, pour u =: p, on a une droite de la surface. La transformation S donne la courbe correspondant à

\] = {m ~{- n)u = \LUy V — (/? -+- q)u = vu.

Or [JL et V peus^ent être pris arbitrairement (entiers), pourvu qu'ils soient premiers entre eux. La courbe

étant de degré aussi élevé qu'on le veut, nous sommes assurés d'avoir sur la surface des courbes unicursales dont le degré est aussi grand que l'on veut.

Ceci posé, nous allons montrer que la surface ne peut posséder une transformation birationnelle en elle-même dépendant d'au moins un paramètre arbitraire.

2o. Ptemarquons d'abord qu'on aura pour la surface

Pff = I ;

car, si l'on envisage l'intégrale doubxC

( 1 5 ) I j du dç,

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4Ô4 CHAPITRE Xiy. — SURFACES HYPERELLIPÏIQUES.

on voit immédiatementj en l'écrivant de la manière suivante :

dx dy

qu'elle est de la forme

/ / R(^, JK, z)dxdy,

R étant rationnelle en x, y et ^; de plus, elle est de première espèce, d'après la forme (ï5).

Nous avons vu (t. I, p. 194) qu'une surface sur laquelle il existe une famille (dépendant d'un paramètre arbitraire) de courbes unicursales a nécessairement son genre géométrique nul. Il ne peut donc exister sur notre surface une telle famille de courbes unicursales.

Or supposons que la surface admette la transformation birationnelle

<S) x' ^ pi(^, X, y, z), y = p2(iÇ; x, y,z), z ^ ^^{t\ x,y, z),

où l'on peut admettre que le paramètre t entre algébriquement dans les fonctions rationnelles p de ^, y et z. Il faudra que cette transformation (S) transforme en elle-même chaque courbe unicursale de la surface, sans quoi la surface admettrait une famille •de courbes unicursales, dépendant d'un paramètre arbitraire t. Donc, pour un point (xq, Jq^ Zo) d'une telle courbe, la transformation (S) donne, en faisant varier ^, la courbe elle-même; son degré est donc limité. Mais il y a là une contradiction, puisque la surface contient des courbes unicursales dont le degré est aussi grand que l'on veut. Nous avons donc bien un exemple d'une surface possédant la propriété indiquée.

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SUR CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES ET SUR UNE CLASSE DE SURFACES ALGÉRRIQUES,

Par M. Emile Picard (^).

1. Dans un article sur une classe de surfaces algébriques dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres {Bulletin de la Société mathématique, t. XXVIII, 1900), j'ai appelé l'attention sur certaines surfaces algébriques. Ayant traité récemment cette question dans mon cours, je me suis aperçu que les considérations employées pouvaient être présentées sous une forme plus générale. C'est ce que je vais indiquer, en reprenant la question dès le début.

Envisageons d'abord une substitution rationnelle sur les m lettres

■ a?' r= Rj (^, J/, ..., t),

On suppose que x:=i y zzz, . .zzzt:=io est un point double de cette substitution et que, dans le voisinage de ces valeurs, on peut écrire

a;'= ax^ Qi {x, y, .. ., t),

t' ^ It -i-Q/;i(57, JK, ..., t).

les Q étant des séries entières, commençant par des termes au moins du second degré; il est admis de plus que

\a\>\, \h\>A, ..., \l\ >i, (^) Comptes rendus, l\\\nW^X. \(^ol\.

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et enfin, on n'a pas entre deux quelconques des coefficients a^h^ ...,/, soit par exemple a et h^ de relations de la forme

a^i =. b ou b^\=^ a (/?. et /c entiers positifs). 2. Ceci posé, on peut trouver des fonctions de m lettres w, (^, . . ., sv^

holomorphes dans le voisinage de a =:z ^ i=: . . . — . ^ = o, méromorphes dans les plans de ces variables complexes, et satisfaisant aux équations fonctionnelles

if{ait,bv, ...,lw) = Ri (/, cp, ..., 4^), cp(rtî^, bv, ..., Z(^) ^ R2 (/, cp, ..., i];), :

^{au, bv, ..., Iw) = Rm(/, cp, ..., ^).

La démonstration de ce résultat peut se faire de différentes manières, soit par le calcul direct des coefficients des développements autour de l'origine, soit en procédant par approximations successives, comme je l'ai fait dans le cas beaucoup plus difficile où se présentent à l'origine des singularités essentielles {Acta inathematica y t. XVIIÏ et XXIII, Sur une classe de transcendantes nouvelles).

On part de la remarque que l'équation fonctionnelle

/(aw, b^>, ..., Iw) = af{u, p, . . ., t^) -4- P( w, p, . . ., t^),

où P(d/, (^, . .., w) est une fonction holomorphe donnée autour de l'origine, commençant par des termes du second degré, détermine complètement y, si l'on suppose que le coefficient de la première puissance de w a une valeur donnée (soit l'unité). II est alors facile de montrer que les approximations successives

fn{au,bç, ,,.,Uv) = afn {U, t^, .••, «^)^- Ql [fn-l, ^n-i-> ..-, ^/i-l], On{(^U, bç, ..., Iw) = b^n{u, V, ..., w) + Q2 [fn-U "^ii-U "-, '\>n-l], •..». ,

^n(au, bv, ,,,^lw) = l^ri{u, V, . .., Wj-H Q,„[y,i-i, cp,i-i, ..., ^rt-1 I,

où l'on part de

f^=^u, cpo = (^, ..., «j^O = «^î

et où, dans/;i, cp^^, . . ., t];,^, les termes du premier degré sont respectivement w, ^, . . . , wp, convergent uniformément vers une limite. On obtient ainsi la solution des équations (2), holomorphe autour de

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ÉQUATIONS fongtionni:lles et surfaces algébriques. 4^7

l'origine; on fait enfin aisément, au moyen de ces équations fonctionnelles elles-mêmes, le prolongement analytique des fonctions pour toutes valeurs de w, (^, . . ., «^, de manière à avoir des fonctions j)artout méromorphes.

3. Le résultat précédent s'étend au cas où Ton aurait, au lieu des m lettres indépendantes ^, y, • • . ? ^j ces in lettres liées par une relation algébrique admettant une transformation rationnelle en ellemême. Il suffira de prendre le cas d'une courbe et celui d'une surface algébrique.

Soit une courbe algébrique

admettant la transformation rationnelle

x' ^ PM(^,jr),

Nous supposons que l'origine soit un point simple de la surface et un point double de la transformation précédente. Alors, autour de l'origine, les équations (3) se ramènent à l'unique équation

x^ = ax -H Qi(^),

Qi ne renfermant pas de terme du premier degré, et nous faisons l'hypothèse que \a\ est supérieur à un. Dans ces conditions l'analyse du paragraphe précédent est applicable, et l'on a finalement, pour la courbe F,

/ et cp étant des fonctions méromorphes de u dans tout le plan, satisfaisant aux équations fonctionnelles

f{au) = \\,[f{u), o{u)], o{au) = R2[/( wX ?(^0]-

Mais ce résultat ne donne rien de nouveau. En effet, de ce que [ a \ est différent de un, il résulte que la courbe F admettra une infinité de transformations rationnelles en elles-mêmes et, par suite, elle sera du genre zéro ou un. Si la courbe est du genre un, la constante a sera nécessairement un entier (sauf le cas de multiplication complexe).

4. Que donnent les considérations précédentes pour une surface algébrique? Nous supposons que, pour une surface algébrique

P. ET S., II. 3l

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468 NOTK 1.

il V ait une transformation rationnelle en elle-même

susceptible, dans le voisinage de l'origine (point simple de la surface)^ de se mettre sous la forme

y = by~hq-2(x, y),

Qi et Q2 commençant par des termes au moins du second degré, en admettant de plus que

On pourra alors exprimer les coordonnées x^ y, z d'un point quelconque de la surface par les formules

/, CD, tL étant des fonctions méromorphes de u et r, satisfaisant aux équations fonctionnelles

Quelle est V étendue de la classe des surfaces que nous venoiis de rencontre?'? C'est une question à laquelle je ne puis malheureusement répondre.

La surface admettra manifestement une infinité de transformations en elles-mêmes, que l'on obtient en prenant les puissances successives de la transformation initiale. Quand il s'agissait d'une courbe, nous pouvions conclure qu'elle était de genre zéro ou U7i, mais on ne connaît rien de général sur une surface admettant une inïimlé. discoîit in ue de transformations rationnelles. On sait seulement, comme l'a montré le premier M. Humbert, qu'il existe des surfaces admettant une infinité discontinue de transformations rationnelles sans admettre une infinité continue, et M. Painlevé en a donné un second exemple extrêmement simple (^).

(^) Voir sur ce point le dernier Chapitre de ce Volume (dernière Section).

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IMPOSSIBILITÉ DE GROUPES DE POINTS SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. l[6g

Les surfaces hyper elliptiques rentrent évidemment dans le type précédent, sans parler bien entendu des surfaces unicursales. Pour les surfaces hyperelliptiques générales, la multiplication par un entier/; des arguments conduira au cas de

11 serait, je crois, intéressant de rechercher s'il y a d'autres surfaces que les j)récédentes (avec leurs dégénérescences) rentrant dans la classe sur laquelle certaines équations fonctionnelles appellent ainsi l'attention.

SUR l/ IMPOSSIBILITÉ DE CERTAINES SÉRIES DE GROUPES DE POINTS SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE,

Par M. Emile Picard (i).

1. On sait que l'on peut trouver sur une courbe algébrique une série de groupes de n points dépendant de az paramètres et correspondant uniformément à des fonctions abéliennes (non dégénérescentes) de n variables w^, U2, - - -* Um c'est-à-dire de telle manière qu'à un système de valeurs des u ne corresponde en général qu'un groupe de points et que, inversement, à un groupe arbitraire de la série ne corresponde qu'un seul système de valeurs des 11^ abstraction faite des périodes. Le nombre /i, comme il est classique, est égal au genre/? de la courbe.

Une question analogue peut être posée pour les surfaces algébriques :

Est-il possible de trouver sur certaines surfaces algébriques des séries de groupes de n points, dépendant de in paramètres, et cor-

(^) Journal de Mathématiques, h" série, t. IX.

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470 ISOTE II.

respondant uniformément à des fonctions abéliennes {non dégénérescentes) de in variables Wj, u^^ ..., u^n-, c'est-à-dire de telle m^anière qu'à un système de valeurs des u ne corresponde, en général, qu'un seul groupe de points, et que, inversement, à un groupe arbitraire de la série ne corresponde qu'un seul système des u, aux périodes près?

Cette circonstance peut se présenter pour ai = i, et l'on a alors les surfaces hyperellij)tiques. Tl paraissait vraisemblable que, pour d'autres valeurs de n^ on aurait des classes de surfaces algébriques jouissant de la propriété indiquée. En réalité, il n'en existe pas; c'est ce que je me propose de montrer ici.