Considérons donc la surface
f{x, y, z) = o (de degré m),
el, en supposant n supérieur à un, soient (^j, y.^^ z^), ..., {x,i^ y^j,, z^) les coordonnées de n points arbitraires de la surface. Désignons par
in-{-i fonctions rationnelles symétriques des {x, y. s), prises d'ailleurs arbitrairement, on aura une hypersurface
dans l'espace à 2 7^ + i dimensions, et, de plus, puisque les fonctions symétriques ^ sont arbitrairement choisies, cette surface correspondra uniforme ?7ient au groupe des n points.
D'après les hypothèses faites, les coordonnées d'un point arbitraire de la surface F s'exprimeront uniformément par des fonctions abéliennes de 2/^ variables u^^ w.,, . . ., u^n- La notion de genre géométrique s'étend immédiatement des surfaces de l'espace à trois dimensions aux hypersurfaces dans l'espace à un nombre quelconque de dimensions. Notre surface F ne pourra posséder qu'une seule intégrale multiple de première espèce d'ordre 2/i, et cette intégrale correspondra à l'intégrale multijDle
/ / . . . / dui du2 . . . du2n ;
le genre géométrique de la surface F est donc égal à un. De plus, la surface F aura i/i intégrales de différentielles totales de première espèce, dont l'inversion donnera les ç en fonctions abéliennes des u.
Hosted by
IMPOSSIBILITÉ DE GROUPES DE POINTS SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. [\'J l
A chaque intégrale de diffère ntielie totale de première espèce de la surface F correspond une intégrale de différentielle totale de première espèce de la surface / et inversement. 11 en résulte que la surface/ possédera in intégrales de différentielles totales de première espèce linéairement indépendantes
/ V i dx -{- (li dy {i — i,i,..,,in)^
les P et Q étant rationnelles en x, y et ^; ces 2n intégrales auront [\n périodes. On voit de plus aisément, à cause de la symétrie des ^ par rapport à {œ^ Ji^^i), • • -, {^n. fn, ^n), que le groupe des /z points sera donné par les 2n équations
< 2 ^^ii^ài yii^ ^h) dxk -H QK^/n y/n ^li) clyii = dili
3. Ceci posé, montrons que la surface / ne peut être d'un genre géométrique supérieur à l'unité. Soit, en effet,
S ( :r , jK ? -S ) dx dy
une intégrale double de première espèce de/. Formons l'intégrale multiple d'ordre in
I I "J f f'" f ^^^ dy^...dxu dyn,
où Sj et fi. désignent respectivement S (^/, j,-, zt) et fz-X^t^ yt-, -0- On peut écrire
d\xd\^^.,.d\^n dx^ dyi . . . dxa dy „ = -fttt — > ^ — r '
T){xi,yi, ...,ya)
le dénominateur étant le déterminant fonctionnel de t^, ^2^ • • •? ^2« P^ï' rapport aux m variables indépendantes ^1, jj, . . ., a^ji,ya. Or il est aisé de vérifier que ce déterminant fonctionnel est une fonction rationnelle et symétrique de (^1, Ji,^i), ..., {^n^ Xm ^n)- C'est évidemment une fonction rationnelle et, pour voir qu'elle est symétiique, il
Hosted by
suffit de remarquer que le déterminant
bi
Clin
OÙ les lettres (a, b^ ...,/) sont en nombre n, ne change pas si l'on permute entre eux deux couples de lignes associées, par exemple si l'on permute les lignes (a, a') et les lignes (è, b'). On remarquera que pareille circonstance ne se présenterait pas dans le cas d'une courbe, et d'une manière plus générale dans le cas d'une fonction algébrique d'un nombre impair de variables indépendantes. Il résulte de là que l'intégrale (3 ) est de la forme
ff.,.fed^,d^.
.dU
où © est une fonction rationnelle symétrique de (^njKu-^i)? •••? (^;j, y,i, Zji) et, par suite, une fonction rationnelle de ^,, ^2? • - • -, ?2w+i- Elle est donc une intégrale multiple d'ordre in de première espèce pour F. Si / est de genre supérieur à un, il est clair alors que l'on pourra former pour l'hypersurface F plus d'une intégrale multiple d'ordre 2n de première espèce, ce qui est en opposition avec ce que nous avons dit plus haut.
4. Le genre géométrique de / est donc au plus égal à un; mais, d'autre part, il ne peut être égal à zéro. On démontre en effet {voir t. I, p. iSy) que si
/ P^- da; -h Qj- dy et / F/, dx -h Qa^ dy
-sont deux intégrales de différentielles totales de première espèce relatives à la surface/, on a l'identité
P/Qa:-PaQ.-
oùM(^, j, z) est un polynôme adjoint d'ordre m — 4? c'est-à-dire
IMPOSSIBILITÉ T)E GROUPES DE POINTS SUR UNE SURFACE ALGÉBRIQUE. 4v^
un polynôme tel que l'intégrale double
Jf'^y^'^d.dy
est de première espèce. Si le genre géométrique de / était nul, on aurait nécessairement
par suite, les 2 ;z intégrales (i) seraient fonctions les unes des autres, et les 2 71 équations (2) ne pourraient être distinctes.
En désignant donc, comme plus haut, par (a) l'intégrale double de première espèce relative à la surface / de genre un, nous aurons les identités
P^Qa:-P;^Q^ = A,^
les A/yr. étant des constantes qui ne sont pas toutes nulles. On peut supposer Ku^ différent de zéro pour ^ 1= i, k ■=: <2\ nous écrirons
Cl étant une constante différente de zéro, et soient
A et B étant deux constantes. De ces identités on conclut
APi-f-BP. + GPa = 0,
AQi+BQ^H-CQs^o,
et ces relations sont inadmissibles, puisque les trois intégrales
TPi dx -H Qi dy, fp^ dx -\- Q2 dy, fp^ dx -{- Q3 dy
sont linéairement indépendantes. Nous arrivons donc à une contradiction, et, pa/' suite ^ on doit répondre par ta négati\>e à la question posée au n^ 1,
5. La question que nous venons de traiter soulève d'autres problèmes qu'il serait intéressant d'examiner. Il a été expressément
Hosted by
mentionné que la série de groupes des n points devait correspondre uniformément à des fonctions abéliennes non dégénérescentes. On pourrait s'affranchir de cette dernière restriction. On aurait toujours la surface F et in intégrales de différentielles totales relatives à cette surface, mais qui ne seraient plus alors nécessairement de première espèce. De plus, tandis que tout à Pheure une intégrale de différentielle totale relative à F devait nécessairement, quand on remplaçait les ^ par leurs valeurs en (^i, yi, ^i), . . ., (^,j, y^^, Zj^)^ se ramener à la forme
conséquence nécessaire de ce que l'intégrale est de première espèce, maintenant l'intégrale transformée pourrait a priori être de la forme
Pi dxx -1- Q i dyi -f- P2 dx^^ -r Q2 dy=i 4- ...-}- F, ^ dxn -H Q/^ dy a ,
les P et Q dépendant rationnellement de l'ensemble des coordonnées (-^15 Ju ^i)i • • -5 (-^'/n ïn-» --n)'- OU aurait là une intégrale de différentielle totale mêlée relative à ?i points arbitraires de la surface et symétrique par rapport à ces n points. Quoi qu'il en soit, il y a là un point à discuter, et d'une manière plus générale ces intégrales mêlées peuvent présenter quelque intérêt.
6. On peut encore se poser une autre question. En restant dans le cas des fonctions abéliennes non dégénérescentes, on pourrait considérer une fonction algébrique de trois variables indépendantes donnée
par une équation
et se poser pour cette liypersurface le problème que nous avons traité pour les surfaces de l'espace à trois dimensions : existe-t-il sur certaines hypersurfaces algébriques des séries de groupes de n points, dépendant de 3/i paramètres et correspondant uniformément à des fonctions abéliennes (non dégénérescentes) de 3/z paramètres. La parité du nombre des variables indépendantes jouait un rôle important dans la démonstration qu'on a lue plus haut; ici, avec trois variables indépendantes au lieu de deux, la démonstration du théorème (à supposer qu'il soit exact) devra être assez notablement modifiée. La même question se pose pour les fonctions algébriques d'un nombre impair quelconque de variables indépendantes.
Hosted by
FONCTIONS RATIONNELLES DE TROIS VARIABLES COMPLEXES. f]"]^
