SUR LES FONCTIONS RATIONNELLES DE TROIS VARIABLES COMPLEXES
Par M. Emile Picard.
1. Quand on passe du domaine de deux variables complexes à celui de trois variables, on peut de deux manières différentes étendre les notions relatives aux intégrales multiples. Bornons-nous ici au cas des fonctions rationnelles.
Nous pouvons, en premier lieu, considérer l'intégrale double
( I ) j j A dv dz -\- B dz dcc -^ C dx dy
(où A, B, G sont des fonctions rationnelles de x^ y et ^), étendue à un certain continuum à deux dimensions dans Fespace à six dimensions relatif aux trois variables complexes; le sens de cette intégrale se détermine en employant toujours les mêmes considérations. La condition pour que le théorème de Gauchy s'étende à une telle intégrale, c'est-à-dire pour que cette intégrale étendue à une surface fermée soit nulle quand on peut, par une déformation continue, réduire cette surface à une courbe ou à un point sans rencontrer de valeurs de œ^ y, z pour lesquelles A, B, G cessent d'être continues, est ici, comme dans le cas des quantités réelles,
dk dB dC.
ox ôy ôz
En supposant vérifiée cette condition ^intégrahiiiié, nous allons chercher quels seront les résidus à^c^Wç^ intégrale double, c'est-à-dire les diverses valeurs de cette intégrale prise sur une surface fermée à deux dimensions. Nous allons d'ailleurs nous borner au cas où l'on aurait
(^) Journal de Mathématiques, 1889, p. 61.
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P, Q, R, S étant des polynômes en œ^ y, z^ le dernier étant supposé irréductible. La condition d'intégrabilité s'écrira alors
ôx~^ dy dz \ dx à y dz )
Supposons d'abord que nous laissions à x une valeur constante,
tégrale double se
P(a7, y,z)dy dz
d'ailleurs arbitraire; notre intégrale double se réduit alors à
Prenons alors, dans le domaine des deux variables complexes j^- et z, les résidus de cette intégrale double. Ceux-ci seront les périodes de l'intégrale abélienne ordinaire
relative à la relation algébrique entre y et z^
Dans tout ceci, x figure comme un paramètre d'ailleurs arbitraire. Mais les résidus de l'intégrale double (i), si la condition d'intégrabilité est remplie, doivent être des constantes; il faut donc que les périodes de l'intégrale (3) ne dépendent pas de x. Il est essentiel de le vérifier, et cette vérification va précisément nous ramener à certain ordre d'idées qui a joué un rôle important dans plusieurs parties de cet Ouvrage.
La relation (2), en effet, n'est pas nouvelle pour nous; elle joue un rôle fondamental dans l'étude des intégrales de différentielles totales relatives aux surfaces algébriques. Je dis que l'intégrale
V dy—(ldx
Si
est une intégrale de différentielle totale relative à la surface algébrique ^{x,y,z) — o.
Il faut donc montrer, comme conséquence de l'identité (2), que
dy dx
X, y et z étant liés par la relation S(^, y, z) izz o.
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