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Donc les périodes de cette intégrale simple seront des résidus de V intégrale double (i). Réciproquement, d'ailleurs, tout résidu de (i) sera une période de l'intégrale précédente, car tout résidu peut toujours se ramener à l'intégrale prise le long d'une sorte de tore enveloppant un cycle linéaire de la surface algébrique S(.^, y, z) =: o.
On voit que l'étude des intégrales de la forme (i), quand A, B, G sont des fonctions rationnelles, se rattache étroitement à la théorie des surfaces algébriques.
2. Il va en être de même pour la seconde catégorie d'intégrales multiples que l'on peut encore considérer. Envisageons maintenant l'intégrale triple
P dx dy dz
P et Q étant des polynômes en x^ y^ .z\ la définition de cette intégrale, étendue à un continuum à trois dimensions, se fait toujours d'après les mêmes principes. Nous n'avons ici aucune condition d'intégrabilité; cette intégrale, étendue à un continuum /erme^ est nulle, quand ce continuum peut se réduire à un continuum de moins de trois dimensions sans rencontrer de systèmes de valeurs x^ y, ^, pour lesquelles Q s'annule.
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Cherchons quels sont les résidus de cette intégrale, c'est-à-dire les diverses valeurs qu'elle prend, quand on l'étend à un continuum fermé quelconque à trois dimensions.
Donnons d'abord à ^ et à y des valeurs fixes, et considérons une racine de l'équation en z
qix.y.z) = 0.
Le résidu ordinaire correspondant de l'intégrale simple
Pdz
sera manifestement
Nous avons donc maintenant à considérer Pintégrale double
' P dcp dy
Qi
Quel devra être le champ de l'intégration? Cette intégrale double devra être étendue à un continuum fermé de points anal^'tiques (^,/, z) ou, en d'autres termes, d'après nos définitions précédentes, à un cycle à deux dimensions, de la surface Q.
Nous en concluons que les résidus de l'intégrale triple (i) sont les périodes de l'intégrale double (2), cette intégrale double étant relative à la surface algébrique Q(^, y, z) =3 o. Ces périodes ont été étudiées dans plusieurs Chapitres de ce Volume.
3. Nous avons (page 218 de ce Volume) cherché à quelles conditions une fonction rationnelle donnée F(^, y) des deux variables x et y est susceptible de se mettre sous la forme
dx dy
P et Q étant rationnelles en œ et y; dans cette question sont intervenus les résidus de i'intéorale double
/ / ^Çoc, y)dxdy.
Une question analogue, mais moins simple, se pose pour une fonction rationnelle donnée
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SURFACES Eï FONCTIONS UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTRES. ^79
des trois variables œ^ y et z, à savoir de recherche?' les conditions sous lesquelles on a
dV ^Q àK
•^ dx dy àz
P, Q et R étant rationnelles en x^ y et z. Nous laissons au lecteur le soin.de l'étudier.
SUR CERTAINES SURFACES POUR LESQUELLES LES COORDONNEES d'un point s'expriment par des FONCTIONS UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTRES,
Par M. Emile Picard.
1. On sait, depuis les célèbres travaux de M. Poincaré sur les iowç,lion?> fuc h sienjies^ que les coordonnées d'un point d'une courbe algébrique peuvent s'exprimer par des fonctions d'un paramètre qui sont uniformes dans tout leur domaine d'existence. Comme je l'ai montré (*) autrefoi'^, il n'est pas possible que, dans une telle représentation paramétrique, les fonctions enjployées aient des points singuliers essentiels isolés, quand le genre de la courbe est supérieur à l'unité.
La représentation paramétrique des surfaces algébriques par des fonctions de deux paramètres qui soient uniformes dans tout leur domaine rPexistence est au contraire bien peu avancée. La seule classe bien étudiée des surfaces jouissant de cette propriété sont les surfaces hyperelliptiques et leurs dégénérescences. Existe-t-il d'autres surfaces pour lesquelles les coordonnées d'un point quelconque s'expriment par des fonctions analytiques de deux variables ayant partout à
(^) E. Picard, Bulletin des Sciences mathématiques, i883, et Acta Mathematica, t. XI.
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48o NOTE IV.
distance finie le caractère d'une fonction rationnelle ? C'est une question à laquelle on ne peut actuellement répondre. Dans la Note I de ce Volume, j'ai indiqué des surfaces algébriques possédant une représentation paramétriqne de cette nature, mais je ne suis pas certain qu'il en existe en dehors des surfaces hyperelliptiques et de leurs dégénérescences, quoique cela paraisse probable.
2. Les fonctions hyperf uchslennes et hyperabé lie fines, dont je me suis occupé dans différents Mémoires, conduisent à des classes certainement très étendues de surfaces algébriques jouissant de la propriété cherchée.
J'ai appelé groupe hyperf uchsien relatif aux deux variables x Qi y un groupe de substitutions linéaires de la forme
ax -\~ by -H c ax -^r by -^ c
qui conservent l'iiypersphère
^•^o-Hr^o — 1 = o
(^0 et /o désignant les quantités conjuguées de x et /), ce groupe étant discontinu à l'intérieur de cette hypersphère (^).
Certains exemples de groupes hyperfuchsiens m'ont été fournis par des considérations arithmétiques relatives aux formes ternaires d'Hermite à indéterminées conjuguées. Les fonctions hypergéométriques de deux variables m'ont aussi donné des exemples intéressants de groupes hyperfuchsiens (^). Ces fonctions sont données par l'inté-
grale
h uih~^ ( u — i)^.-i ( u — ^)!J'-i (yU—y )>^-i du,
où g et h désignent deux des quantités o, i, x, y et œ. On sait qu'elles satisfont à un système S de trois équations linéaires aux dérivées partielles, ayant trois solutions communes linéairement indépendantes. En désignant par wj, o^^i ^3 trois de ces solutions convenable-
{'■) E. PiGARD, Acta Mathematica, t. I, Il et V. — Voir aussi Wirtinger, Académie des Sciences de Vienne, 1899, et R. Alezais, Annales de l'École Normale, 1902.
(-) E. Picard, Sur les fonctions hyperf uchslennes provenant des séries hypergéométriques de deux variables {Annales de l'École Normale, i885).
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SURFACES ET FONCTIONS UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTRES. l[Sl
ment choisies, et posant
il correspondra au groupe de S un groupe de la forme (i), et ce groupe sera hyperfuchsien quand les conditions suivantes seront remplies; prenons deux quelconques des quatre quantités X, (j., b^ et b^, soit par exemple X et èj, la difFérence X H- b^ — i doit être l'inverse d'un nombre entier positif, et pareillement, si l'on prend trois quelconques de ces quantités, soit X, |jl et 6^, la différence 2 — X — |jl — bi est encore égale à l'inverse d'un entier positif. Je citerai l'exemple
X = ja = ^1 = ^2= -
pour lequel le polyèdre fondamental du groupe est tout entier à l'intérieur de l'hypersphère limite.
Tout récemment M. Hurwitz (^) a développé des considérations importantes sur la formation générale des groupes hyperfuchsiens, et l'on peut consulter aussi sur ce sujet des Mémoires intéressants de M. Fubini dans les Annall di matematica (avril iQoS) et {Rendiconti del circolo mateinaiico di Palermo, t. XXI, 1906).
3. A chaque groupe hyperfuchsien correspondent des fonctions hyperfuchsiennes restant invariables par les substitutions du groupe, et entre trois fonctions relatives à un même groupe il existe une relation algébrique. C'est ainsi que l'on est conduit, pour chaque groupe, à une classe de surfaces algébriques.
Il n'a été formé jusqu'ici aucun exemple effectif de surface hyperfuchsienne. Nous avons cherché, M. Alezais et moi (2), à préparer le terrain pour une telle recherche dans un cas très particulier, en faisant une étude arithmétique préliminaire.
Considérons la forme ternaire à indéterminées conjuguées
uuo -+- vwq -h t'o ^
et le groupe des substitutions à entier complexe du type a -1- ^p (où p est une racine cubique imaginaire de l'unité). Un groupe hyper-
(^) Hurwitz, Zuv Théorie der automorphen Funktionen von heliehig vielen Variaheln {Math. Annalen, t. LXI).
(2) E. Picard, Comptes rendus, 1882. — R. Alezais, Annales de V École Normale, igo/j.
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fuchsien G se trouve ainsi défini. Envisageons en outre les substitutions à coefficients de même espèce, qui reproduisent cette forme multipliée par l'entier réel k et qu'on peut appeler substilutions d'ordre k\ appelons U et Y deux, telles substitutions. On dira qu'elles sont équivalentes, quand il existe une substitution T d'ordre un telle que
Ton ait
