TU-=V

Il n'y a qu'un nombre limité de substitutions non, équivalentes d'ordre /r, et ce nombre est égal à 2 ( A:^-l- k + i), quand k est premier et de la forme 3m -h t. Il joue un rôle important dans l'évaluation du degré des surfaces hyperfuchsiennes qu'on peut faire correspondre au groupe G.

k. J'ai appelé groupe hyperabélien (^ ) relatif aux. deux variables x et y un groupe discontinu dont les substitutions sont de l'une et

l'autre forme

ax-\-b a'y^b'^

cx-^ d a' y -h d'

ay -\- p 'j! X H- ^'

les variables x ^l y restant respectivement dans un demi-plan (ou dans un cercle).

L'étude arithmétique des formes quaternaires réelles réductibles au type

m'a donné des exemples de groupes hyperabéliens.

Antérieurement, certaines fonctions abéliennes du genre deux m'avaient permis de définir facilement des groupes hyperabéliens. Désignons, suivant l'usage, par

le Tableau des périodes des intégrales normales d'une courbe de genre deux, et supposons qu'on ait la relation

(i) H2-GG'=D,

D étant un entier positif. Dans l'ensemble des transformations du

(^) E. Picard, Journal de Mathématiques, i885. — H. Bourget, Aimâtes de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1898.

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