SURFACES ET FONGTIO^^S UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTRES

premier ordre correspondant à la fonction abélienne de genre deux, on peut détacher un groupe de transformations F laissant invariable la relation (i).

Ceci dit, on satisfait à (i) en posant

Or on démontre qu'au groupe F correspond pour ^ et y un groupe fiyperabélien. L'étude de ce groupe a été approfondie par M. H. Bourget. Dans ses profondes recherches sur les fonctions abéliennes singulières, M. Humbert (i) a étudié des relations entre G, H et G' plus générales que la relation (i).

M. Blumenthal (2) s'est occupé de la recherche des substitutions fondamentales de groupes hyperabéliens, d'un type étendu et relatif à un nombre quelconque de variables.

5. Achaque groupe hyperabélien correspondent des fonctions hyper abéliennes, et entre trois de ces fonctions il existe une relation algébrique conduisant à une surface hyperabélienne.

La théorie des fonctions abéliennes singulières correspondant à la relation (i) pour D =r: 2 a conduit M. Humbert à quelques exemples .effectifs ivès simples de surfaces hyperabéliennes {Comptes rendaSy ,1899; Sur les surfaces hyperabéllennes).

Ainsi la surface du quatrième degré

xy -V- z __ xz -\- y jy — z~^ x—yz

•est hyperabélienne, et l'on a pour elle la représentation paramétrique

•"^23 '"^Ol 2r23.J2 S' 01 -^2

les Sr désignant les fonctions thêta normales du premier ordre d'arguments nuls.

6. Quel est le degré de généralité des surfaces hyperfuchsiennes et hyperabéllennes? C'est une question à laquelle je ne puis répondre. Il est extrêmement peu probable que l'on obtienne ainsi toutes les surfaces algébriques, car les groupes hyperfuch siens et hyperabéliens

(^) G. Humbert, Les fonctions abéliennes singulières {Journal de Mathématiques^ de 1899 à 1904).

(-) O. Blumenthal, Mathematische Annalen, t. LVI.

Hosted by