PREMIERE PARTIE

1. 11 convient d'abord de rappeler brièvement les concepts et les résultats fondamentaux, auxquels se rapportent les développements des Chapitres IV, Y, YI du Tome II de ce Traité, en y ajoutant quelques remarques plus récentes.

On sait d'abord ce que c'est qu'un système linéaire de courbes (algébriques) tracées sur une surface (algébrique) (^); on sait de même qu'on appelle complet un système linéaire | G | de courbes, qui n'est pas renfermé dans un système linéaire plus ample de courbes du même ordre douées des mêmes points-base (2).

(') Tome II, Chapitre V, page gS et suivantes. (2) Page loi.

Hosted by

486 NOïlî Y.

Une courbe G étant donnée sur la surface F, un système linéaire complet |C| (de dimension >o)auquelC appartient, est déterminé, pourvu que Von donne sur G les points-hase qu'on veut imposer à I G I ( ^ ) ; il convient d'ajouter que | G | pourra bien posséder de nouveaux points-base accidentaux (qu'on peut regarder comme virtuellement inexistants), en dehors de ceux qui lui ont été imposés.

Rappelons encore qu'on opère sur les systèmes complets, tracés sur une surface, par addition (2) et par soustraction (^), et qu'on est toujours amené à de nouveaux systèmes complets, pourvu toutefois (dans le second cas) que l'opération soit possible.

Il convient d'ajouter que pour chaque système linéaire on peut définir, en relation avec ses points-base imposés, deux nombres entiers, invariants vis-à-vis des transformations birationnelles de la surface : le genre (virtuel) -rt de la courbe générale du système; le degré (virtuel) du système, c'est-à-dire le nombre des intersections de deux courbes générales du système, en dehors de ses points-base imposés (il est sous-entendu que chaque intersection doit être évaluée en ayant égard à sa multiplicité pour les courbes en question).

Si l'on somme deux systèmes | Gi |, | G2 1, dont les genres et les degrés soient respectivement tt^, tu2, n^, n^, le genre et le degré de I Gj-l- G2 1 s'expriment par les formules

-71 = TCi M- TÏ2 -H t I,

n = /ii-f- ^2 -f- 2t,

où i désigne le nombre des intersections d'une courbe G^ et d'une courbe G2 (*).

Au moyen de ces formules on peut définir le genre et le degré d'un système quelconque, réductible ou même composé d'une seule courbe (dimension /'=zo), ce qui permet d'éliminer tout cas d'exception dans les calculs (^).

2. La notion des courbes adjointes à un système linéaire | G|, sur une surface F, se trouve établie dans le Ghapitre YI (p. 117 et suiv. ).

V) ^f-} P^ge 102. L'énoncé ci-dessus est un peu plus général que celui donné dans le texte. On peut l'établir par la même voie, ou bien par le raisonnement -très simple (et presque immédiat) donné par M. Enriques dans sa Note : Intorno ui fonclamenti délia geonietria sopra le superficie algebriche {Atti délia R. Accadeinia délie Scieiize di Torino, 1901).

(2) Page 104.

(3) Page III.

(^) Cf'7 pour la première formule, page 107.

(^) Enriques, 7/1^0/710 ai fondajnenti. . , loc. cit., n° 12.

Hosted by

On a donné récemment une définition très simple de ces courbes ( i).

Supposons d'abord que le système | C\ renferme (totalement) les sections planes de F. On sait alors que les courbes adjointes G' sont découpées sur F par les surfaces adjointes cr>,,3 de l'ordre n — S {n désignant l'ordre de F). Or on peut obtenir les C en construisant d'abord le système complet | K | découpé sur F par les surfaces polaires cp;,i (en faisant abstraction des points-base qui tombent dans les points-pince de la courbe double de F, points qu'on doit envisager comme accidentaux), et puis en considérant le système résiduel de deux courbes G par rapport à K

Mais les courbes K (particulières) qui sont découpées par les surfaces polaires de F jouissent de cette propriété remarquable : chacune d'elles est le lieu des points doubles des courbes d'un réseau de sections planes de F ; c'est, comme on dit, la courbe jacobienne du réseau.

Maintenant, si l'on donne sur F un système quelconque de courbes |G|, qui ne renferme plus les sections planes de la surface, on peut considérer d'une manière analogue les jacobiennes K des réseaux contenus dans [G] (pourvu que la dimension de |G| soit ^ 2) ; on démontre que ces courbes K appartiennent à un même système linéaire complet, qui possède un point-base de l'ordre 3 i — i en chaque pointbase d'ordre i pour |G(. Par la soustraction de deux courbes G, on obtient ainsi les courbes G' adjointes à | G [

|G'|=|K-.Ci.

D'après cette définition, il est très facile de reconnaître directement la propriété fondamentale du système adjoint^ qui, dans le cas de deux systèmes | G | et [ L | n'ayant aucun point-base sur F, est exprimée par la relation symbolique

|G'-f-L|=: |G-hL'[.

On sait que cette propriété renferme le caractère invariant des courbes canoniques, découpées sur la surface F par ses adjointes ^n-k d'ordre n — 4^ en dehors des courbes exceptionnelles ; car (lorsque les ^n-k existent, à savoir lorsque le genre géométrique Pg >- o) le système qu'elles découpent sur F est représenté par

(1) Enriques, loc. cit., no* 13 et suiv.

(2) Tome II, page 142.

Hosted by

Mais la propriété du système adjoint, que nous venons de rappeler^ nous apprend davantage ; en effet, elle nous amène à définir toute une série de systènaes invariants, qui peuvent exister sur des surfaces de genre pg r=:o, et qui peuvent mênae être utiles dans l'étude des surfaces de genre p^^o (surtout en ce qui touche aux premières valeurs du genre), quoique dans ce cas ils se réduisent aux systèmes multiples du système canonique (^). Les systèmes invariants, auxquels nous venons de faire allusion, sont les systèmes

ils jouissent tous également de la propriété d'invariance vis-à-vis des transformations birationnelles de la surface, pourvu qu'on en retranche (comme on le fait d'ordinaire) les courbes exceptionnelles qui en font partie. On leur donne les noms de système bicanonique, système trois fois canonique, etc. Le nombre des courbes bicanoniques indépendantes s'appelle bigenre; pareillement on peut envisager le trigenre, ....

Si l'on veut obtenir, par exemple, les courbes bicanoniques sur une surface F;^ (d'ordre n), dans le cas le plus simple où elle est douée d'une courbe double et de points triples (^), il suffît de retrancher deux sections planes, du système qui est découpé sur F^^ par les surfaces biadjointes *2«"6 d'ordre in — 6, passant doublement par la courbe double (puisque ce système est justement le double de celui qui est découpé par les surfaces adjointes '^n-z)\ on obtient ainsi des surfaces ^2«-8 biadjointes à F;^, qui découpent sur F>j les courbes bicanoniques.

Les sections des surfaces biadjointes d'ordre in — 8 (en dehors de leurs parties exceptionnelles) jouissent donc de la propriété d'invariance vis-à-vis des transformations birationnelles de F^^.

On trouve l'exposition de ces résultats à la page i46 et suivantes du texte (t. II), et Ton peut voir à la page i49 les premiers exemples qu'on a donnés de surfaces de genre />^=ro, et de bigenre P2>> o.

D'autres exemples nombreux se présentent en étudiant certaines classes de surfaces z^ ■=zf{x, y) (^).

(^) C'est ainsi, par exemple, qu'on a pu donner une classification complète des surfaces de genre />„ > o, et de genre linéaire 7?(^) — 2,3. — [Cf. EnriqueS;, Rendiconti delta R. Ace. d. Lincei, 1897).

(2) Tome I, pages 71 et suiv.

(2) EiNRiQUES, Sui piani doppi di génère lineare p^^^ — i {Rendic. délia R . Acçad. d. Lincei, 1898).

Hosted by

L'importance des plurigenres ressortira de la seconde partie de cette Note, lorsqu'il s'agira d'établir si une surface donnée est rationnelle, ou si elle peut être transformée en un cylindre, etc. {voir p. 52l).

Il résultera en particulier que, pour les surfaces qui ne se ramènent pas à Ja famille des cylindres, il y a toujours des plurigenres P^- qui ne s'annulent pas pour des valeurs assez grandes de i {i =: /4 ou i =: 6).

3. De la propriété fondamentale du système adjoint découlent encore les résultats concernant le genre numérique p,^ ou p^ d'une surface, qui se trouvent largement développés dans le texte (t. II, p. 82-92, 125-129). Il nous suffira de rappeler que, lorsque /?^ </?^-, la série (canonique) découpée sur la courbe générale d'un système irréductible I G I de F par le système adjoint, n'est pas complète; cette série g^''}j^^ a donc un défaut S; mais ce défaut, pour les différents systèmes de courbes tracés sur la suif ace, a un maximum qui est précisément pg — p^ ( ^ ),

11 y a une autre manière, en quelque sorte analogue, de définir le caractère invariant y:>^,. — p^,.

Considérons, à cet effet, la série linéaire {caractéristique) qui est découpée sur la courbe générale de | G | par les autres courbes du même système; c'est une série ^'!i~*, si l'on désigne par /i, /', respectivement, le degré et la dimension de | G |. Eh bien î la série caractéristique d' un système complet tracé sur une surface n'est pas complète {en général, au moins), lorsque pa-<.pg] mais, pour les différents systèmes existant sur F, le défaut de la série atteint un maximum qui est précisément p^ — pa (^).

De ce théorème découle une relation importante entre les caractères d'un système linéaire | G | donné sur une surface, dont les deux genres (géométrique et numérique) sont représentés par pa-^ pa- En désignant par /^, TT, r respectivement le degré, le genre et la dimension du système, et en supposant que celui-ci ne soit pas renfermé dans le système canonique, on a toujours

TT — I — n-\- r^^pa-

(M Page 128. D'après im théorème démontré tout dernièrement par M. Picard (t. II, p, 438), on a l'égalité 6 ~ p„ — p^ pour tout système | G | existant sur la surface. On n'est pas encore parvenu à retrouver ce théorème par les méthodes géométriques.

(^) Gastelnuovo, Alcuiie proprietà fondainentali, . , {Annali cli Matematica, 1^ série, t. XXV, 1897). Une démonstration très simple a été donnée par M. Severi {Rejidicoiiti délia R. Ace. d. Liiicei, octobre igoS).

Hosted by

4 go NOTE V.

Lorsque le système | G | est renfermé clans le système canonique, en désignant par i le nombre des surfaces adjointes ^n-u- indépendantes qui passent par une courbe G, on a, au lieu de la relation qui précède, la suivante

n-^ r^Pa —

La relation, que nous venons d'écrire, constitue Y extension aux surfaces de la propriété relative aux courbes qu'on appelle le théorème de Riemann-Roch.

G'est M. Nother qui a énoncé cette extension dans une Note publiée en 1886 (^). Mais, dans le court essai de démonstration qu'il en a donné, il suppose que la série caractéristique d'un système complet soit toujours complète, ce qui est vrai seulement lorsque y:>^z=:p^. M. Enriques s'est occupé d'abord de justifier la formule en question dans le cas f^^ =p^; ensuite M. Gastelnuovo est parvenu au résultat général pour tous les systèmes linéaires irréductibles de dimension 1 2, tracés sur une surface quelconque.

On a cherché ensuite à étendre ce théorème aux systèmes de courbes réductibles (^), et l'on est parvenu au résultat suivant, qui a été démontré d'une façon précise par M. Severi (^) : si les caractères tt, /i, i dhine courbe, irréductible ou réductible, tracée sur une surface de genres p g, pa-, satisfont à V inégalité

Pa-^ n — 7ï -H I — i^ o,

la courbe appartient à un système linéaire de dimension

r^Pa-^n — TT -H I — i.

4. Nous avons eu l'occasion de parler des surfaces {J.r régulier es), c'est-à-dire des surfaces pour lesquelles pa<iPg'

Le premier exemple de telles surfaces est fourni par les surfaces réglées dont les sections planes ont le genre ti >- o ; en ce cas on a

La classe des surfaces réglées (7r>»o) est renfermée dans la classe plus générale des surfaces possédant un faisceau irrationnel de

(^) Comptes rendus de l'Acad. des Se., t. Clil.

(^) Gastelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondajyientali. . . ^ n'* 4 {Annali di Matematica^ 3^ série, t. VI^ 1901).

(3) Sut teorema di Riemann-Roch {Atti delV Accad. délie Scienze di Torino^ mai igoo).

(^) Tome I, p. 241 ; tome II, page ]55.

Hosted by

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. ^gi

courbes de genre quelconque ; toutes ces surfaces sont irrégulières, parce que les séries caractéristiques des systèmes linéaires tracés sur elles ne sont pas complètes (^).

On a généralisé cet exemple, en démontrant que : toute surface possédant un système de courbes qui n'est pas contenu (totalement) dans un système linéaire est une surface irrégulière (^).

A cette famille de surfaces appartiennent tous les exemples de surfaces irrégulières auxquels on est parvenu par des procédés différents. Citons, par exemple, les surfaces qui représentent (point par couple) le système des couples de points appartenant à deux courbes algébriques distinctes ou à une même courbe, surfaces dont les caractères invariants ont été déterminés d'une façon complète (^).

Cette remarque a conduit à penser que toute surface irrégulière rentrerait dans Ja famille citée. C'est ce qu'on a démontré dernièrement (^). Ainsi donc, sur toute surface irrégulière, on trouve des systèmes algébriques de courbes cjui ne sont pas contenus dans des systèmes linéaires.

Ce théorème peut être précisé davantage. Rappelons à cet effet que la notion de la série caractéristique d'un système linéaire de courbes sur une surface peut être étendue à un système continu non linéaire, de la façon suivante (^) : les courbes infiniment voisines d'une courbe générale du système découpent sur celle-ci une série, qu'on appellera série caractéristique du système donné. On a maintenant le théorème (^) : tout système continu de courbes algébriques existant sur une surface est renfermé en un système {linéaire ou non linéaire) dont la série caractéristique est complète.

Le dernier système sera linéaire, d'après un théorème de M. Castelnuovo (n° 3), si la surface est régulière {p^r-^^pa)- Au contraire, si pg.';>Pa, il existe sur la surface des systèmes linéaires complets, de

(^) Gastelnuovo, ALcuni risultati . . . , n° 10 {Mein. delta Socletà italiana délie Scienze, 1896).

(2) Enriques, Una proprletà, . . {Reiidic. del Circolo Matematico dl Palerino, t. XIII, 1899).

(^) Maroni, ^^^i delV Accad. d. Scienze di Torino, 1908. — Seyeri, Ibide?n, et Memorie del l' Accad. d. Scienze di Torino, 1908. — De Franchis, Bendic. del Circolo Matem. di Palermo, 1908.

C*) Enriques, Sullà proprietà caratteristica délie superficie algebriche irregolari {Bendic. délia R. Accad. d. Scienze di Bologna, 1904); Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 16 janvier 1905.

(^) Severi, Osserçazioni sui sistemi continui ... {Atti délia B. Ace. d. Scienze di Torino, 1904).

(^) Enriques, loc. cit.

Hosted by

genre tc, degré n et dimension r z=zp^-^ n — tï + i, dont la série caractéristique a le défaut maximum p^. — pa\ ces systèmes sont donc renfermés en des systèmes continus de dimension

composés par oo^s--^« systèmes linéaires complets de dimension

Si Ton assujettit Jes courbes d'un tel système continu à satisfaire à r conditions linéaires, on obtient une série œi^s~^^^ de courbes non équivalentes^ série dont la courbe générale n'appartient à aucun système linéaire contenu dans la série. Mais on ne saurait pas construire sur la surface une série de dimension p^^ — Pa~^ i douée de la même propriété.

Comment pourra-jl-on reconnaître si une courbe ayant des caractères assignés, sur une surface de genres /j>^., pat appartient à une desdites séries ooPs~i^al Voici la réponse : il sufjit que les caractères tt, 7i, i de la courbe (nommés au n^ 3) satisfassent à Vinégalité

Ce résultat, auquel M. Enriques est arrivé en s'appuyant sur l'extension du théorème de Riemann-Roch, a reçu une démonstration directe assez simple de M. Severi (^).

5. Considérons sur une surface irrégulière un système continu S de courbes, composé par ooPs~~^a systèmes linéaires complets | G |, |Ci|, I G2I, . . 0. Si l'on construit le système linéaire

|G'|=.|G-i-Gi-G,i,

on reconnaît de suite que \C\ appartient aussi au système S, et possède les mêmes caractères que | G |, ....

On voit donc que V opération | C^ — C2I transforme tout système linéaire complet | G | de S en un autre système linéaire complet | G'|, qui est aussi renfermé dans S. Or, on peut former qoPs~^^^ opérations analogues, et l'on reconnaît aisément qu'elles forment un grouj^e continu de transformations deux à deux permutables. Il convient d'énon-

(^) Sut teoreina dl Rieniann- Roch {toc. cit.).

Hosted by

cer ce résultat de la manière suivante (^) : les œPs~i'a systèmes linéaires complets renfermés dans un système continu peuvent être représentés par les points d'une variété algébrique à pg — pa dimensions, qui admet un groupe permutable ooPs^i^a de transformations birationnelles en elle-même.

C'est la variété de Picard attachée à la surface. D'après un théorème établi par ce savant (^), les coordonnées d'un point général de la variété peuvent être exprimées à l'aide de fonctions abéliennes [2(/?^ — p^) fois périodiques] de />^ — />^ variables. En transportant celte propriété aux systèmes de courbes sur la surface considérée, on arrive à la conclusion (^) que les pg — pa paramètres non linéaires, dont dépend une courbe d' une série complète donnée sur la surface, peuK^ent être introduits de telle façon que les coefficients des équations de la courbe soient des fonctions abéliennes de ces paramètres.

On a ainsi une extension aux surfaces de la propriété des groupes de points d'une courbe, qui est exprimée par le théorème d'inversion de Jacobi. On pourrait rechercher une autre extension de cette même propriété dans un sens plus direct; c'est ce qu'a fait M. Picard en parvenant à une réponse négative {voir la Note II de ce Traité).

6. En résumant les résultats rappelés dans les n"^ 3, /i-, 5, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si V on envisage sur la surface une courbe, dont les caractères tt, /i, i satisfont à l'inégalité

p a -\- n —■ iz ^ \ — i '^o'^

cette courbe sera renfermée dans une série complète dépendant de

'' ^ Pg H- 1^ — 71 -f- 1 — i

paramètres ; et ces paramètres seront de deux sortes : les uns, au nombre de r — {pg — /j^), entrent linéairement, de sorte que la courbe est un système linéaire par rapport à ces paramètres ; les autres paramètres, au nombre de pg — yj»^, entrent d'une façon irrationnelle, et précisément les coefficients des équations de la courbe sont des fonctions i{pa — Pg) fois périodiques de ces derniers paramètres,

(^) Gastelnuovo, Sugli integrali sernplicl ... { Rendiconti delta R. Ace. d. Lincei, mai-juin 1906, ou bien Comptes rendus de V Académie des Sciences, 23 janvier 1905 ).

(2) Picard, Rendiconti del Circolo matem. di Palermo, t. IX.

(^) Gastelnuovo, /oc. ciï.

Hosted by

7. Il convient maintenant de rapprocher ces résultats, relatifs aux surfaces irrégulières, à d'autres résultats qui se rapportent aux surfaces douées d'intégrales de diflérentielles totales de première espèce.

M. Humbert, en appelant le premier l'attention des géomètres sur les systèmes non linéaires de courbes, a remarqué (^) que toute su?'face, sur laquelle existe un système de courbes qui n'est pas contenu dans un système linéaire^ possède quelques intégrales de différentielles totales de première espèce.

On a cherché à invertir ce résultat. M. Enriques j est parvenu d'abord (^) en ajoutant l'hypothèse que les ^ ;> o intégrales appartenant à la surface aient iq périodes, hypothèse qui, à cette époque, devait être regardée comme restrictive. Ensuite M. Enriques, en s'appuyant sur un théorème important de M. Severi, que nous allons citer tout à l'heure (n° 8), et profilant du résultat qu'il a établi dernièrement sur les surfaces irrégulières (n° 4), a pu démontrer, sans introduire aucune restriction (^), que toute surface possédant q '>- o intégrales de différentielles totales de première espèce possède des systèmes algébriques de courbes^ qui ne sont pas contenus dans des systèmes linéaires.

8. On n'a maintenant qu'à comparer les résultats des n°^ 4 et 7 pour faire ressortir la vérité de la proposition suivante :

Les surfaces irrégulières et les surfaces douées d'intégrales simples de première espèce forment une seule famille.

Ce théorème renferme deux propositions réciproques dues respectivement à MM. Severi et Enriques. En vue de l'importance du résultat, il est bon peut-être de rappeler ici l'ordre dans lequel ces propositions ont été découvertes, et les étapes successives qui ont amené au résultat quantitatif, qui a permis de compléter le théorème énoncé.

En septembre 1904 M. Severi, en s'appuyant sur les résultats généraux de M. Picard, a examiné la courbe polaire d'une intégrale simple de seconde espèce (transcendante), et a remarqué que la série caractéristique, découpée sur cette courbe parles courbes qui appartiennent au même système linéaire, n'est pas complète; il en déduit que (*)

(*) Journal de Mathématiques, 4° série, l. X, 1898, p. 190.

(-) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2^ série, t. III.

(3) Enriques, Rendic. delta R. Accad. dl Rologna, décembre 1904.

(^) Rendiconti délia R. Accad. d. Lincel, septembre 1904; Mathem. Anna-

Hosted by

toute surface douée d'intégrales simples de seconde {ou de première) espèce est ir régulière.

En décembre 1904 M. Enriques, en s'appujant sur la construction de systèmes non linéaires sur une surface irrégulière (n°/i-), parvenait à la conclusion réciproque que (') les surfaces irrégulières possèdent des intégrales simples de première espèce.

Ensuite M. Severi (^), en profitant du théorème de M. Enriques sur les systèmes non linéaires (n*^ 4), a pu démontrer l'égalité

où r ç^i q sont les nombres des intégrales simples de seconde et première espèce de la surface.

Enfin, une étude plus approfondie des systèmes non linéaires nommés, étude où le rôle essentiel est joué soit par la considération de la variété de Picard (^) ( n^ 5), soit par l'extension du théorème d'Abel {^) (dont nous allons parler au n° 10), a permis à MM. Castelnuovo et Severi de préciser de la manière suivante le lien qui existe entre l'irrégularité d'une surface et le nombre des intégrales simples qui lui appartiennent :

Une surface ayant les genres /?^., pa possède exactement pg. — p^ intégrales simples distinctes de première espèce et 2{pg. — p^) intégrales simples distinctes de seconde espèce; le nombre des périodes des unes et des autres intégrales, et le nombre des cycles linéaires distincts de la variété de Riemann à quatre dimensions attachée à la surface est i{pg — pa)*

Ce résultat est donc le fruit d'une longue série de recherches, auxquelles ont également contribué les méthodes transcendantes de M. Picard et les méthodes géométriques employées en Italie.

9. Le théorème d'après lequel une surface irrégulière possède des systèmes non linéaires de courbes (n<^ 4) peut être précisé davantage dans quelques cas particuliers remarquables.

len, t. LXI. Une autre démonstration a été donnée par M. Picard {Comptes rendus^ 16 janvier igoS; voir aussi ce Traité, t. II, p. 419)-

( ^ ) Rendicontl délia Accad. d. Scienze di Bologna, loc. cit.

{'^) Atti délia R. Accad. d. Scienze di Torino, janvier 1905 ; voir aussi PiGxiRD, loc. cit.

(3) Castelnuovo, Comptes rendus, 28 janvier 1900; Rendic. délia R. Accad. dei Lincei, mai-juin igoô.

C*) Severi, Comptes rendus, 3 avril 1906 ; Annali di Mateniatica, 3^ série, t. XII.

Hosted by

En 1900, M. Gastelnuovo coinmuûiquait à M. Enriques (^) une construction d'après laquelle, étant donné sur une surface de genre /?^.= o un système de courbes non équivalentes, on est amené à un faisceau irrationnel. En 1904 (au moyen du résultat du n« 4) M. Enriques en a déduit (^) que :

Toute surface de genres

Pff = 0, Pa<o

renferme un faisceau irrationnel de courbes.

Ce résultat peut être généralisé, en remarquant que le point essentiel de la construction précédente, c'est le fait que les intégrales, simples de la surface sont fonctions Tune de l'autre.

Or on reconnaît, en général (^), que, si, parmi les intégrales simples attachées à une surface , il y en a plusieurs qui sont fonctions de Vune d^ entre elles, alors la surface renferme un faisceau irrationnel de courbes. Il s'ensuit que toute surface ayant Pg^ 2{pa-\- 2) possède un faisceau irrationnel de courbes {^). Cette propriété appartient donc à toute surface dont le genre arithmétique Pa<. — I (^); (on verra ensuite que les courbes du faisceau sur une telle surface sont rationnelles).

Le même ordre de considérations a permis à M. de Franchis d'établir un théorème remarquable (^) :

Si la surface z'^zzzf {x, y) possède q intégrales simples distinctes^ de première espèce, la courbe plane f[x,y)^=.o est formée par 2^ H- 2 ou iq -\-\ courbes appartenant à un même faisceau; toute courbe du faisceau est la projection dé deux courbes de la surface qui varient en un faisceau hyper elliptique de genre q.

Le théorème réciproque subsiste aussi.

10. La démonstration très simple, par laquelle M. Severi a établi le théorème du n« 8, s'appuie sur une proposition qui doit être regardée

(^) Aimâtes de Toulouse, 1" série, t. III.

(-) Rendic. Accademia di Bologna, loc. cit.

(3) De Franchis, Rendic. délia R. Accad. dei Lincei, juin 1904; Rendic. del Circolo matent, di Palermo, t. XX, igoS, p. 49-

("*) Gastelnuovo, Rendic. del Circolo matent, di Palermo, t. XX, p. 55.

(^) De Franchis, Rendic. del Circolo matem. di Palermo; loc. cit.

(6) De Franchis, Rendic. délia R. Accad. dei Lincei, loc. cit.; voir aussi une extension de ce théorème dans les Rendic. del Circolo matem. di Palermo,, t. XX, p. 33 1.

Hosted by

comme l'extension aux séries de courbes tracées sur une surface du théorème d'Abel relatif aux séries de groupes de points d'une courbe. 11 s'agit de décider, en recourant aux intégrales simples de première espèce de la surface, si une série continue de courbes tracées sur elle est contenue dans un système linéaire. On peut énoncer la condition cherchée de différentes façons, mais on doit toujours envisager la somme des valeurs que chaque intégrale acquiert aux points d'un certain groupe variable. Bornons-nous à rappeler la première forme sous laquelle M. Severi énonce son théorème (^) :

Pour qu'une série algébrique de courbes sur une surface appartienne à un système Linéaire, il est nécessaire et suffisant que la somme des valeurs que chaque intégrale simple de première espèce prend aux points d'intersection de deux courbes de la série, garde une valeur constante lorsque les deux courbes varient dans la série.

Une autre extension du théorème d'Abel a été donnée aussi par M. Severi dans le Mémoire cité. La voici. Supposons que deux surfaces F, F^ soient liées par une correspondance algébrique (i, /^); on aura alors sur F' une immolation d'ordre /?, formée par œ^ groupes de n points correspondant aux points de F. \l\\ bien, la condition pour que V involution sur F^ {c'est-à-dire la surface F) soit régulière, est que la somme des valeurs de chaque intégrale simple de première espèce de ¥' aux points d'un même groupe reste constante quand ce groupe varie,

11. Aux systèmes algébriques de courbes tracées sur une surface s'étendent immédiatement les notions de système complet, d'addition et de soustraction de systèmes, que nous avons exposées lorsqu'il s'agissait de systèmes linéaires. Si l'on désigne par (G), (GJ, ... des systèmes algébriques complets, on pourra donc attribuer une signification précise à une relation telle que celle-ci :

(i) A(G)r-Ai(Gi)M-A2(G2)-i-...+ Ap(Gp),

où les A, Al, As, Ap sont des nombres entiers, dont le premier et

quelqu'un des autres sont certainement positifs; on suppose naturellement que les soustractions relatives aux coefficients négatifs sont possibles. Si la rehition (i) a lieu, on dira que les systèmes (G), (Gi), ..., (Gp) sont algébriquement dépendants. Or M. Severi est

(1) Comptes rendus, 3 avril 1906, A?i?iali cli Matemalica, .^.'^ sér., t. XII. On trouvera un résultat plus expressif clans une Note de M. Severi parue tout dernièrement dans les Rendic. del Circolo jnatem. di Palermo, t. XXI, 1906.

Hosted by

parvenu à démontrer un théorème extrêmenaent remarquable, qui se rapporte aux notions rappelées tout à l'heure (^) :

Sur une surface olgéhrique on peut toujours fixer un nombre fini p de systèmes algébriques complets (G^), algébriquement indépendants, tels que tout autre système algébrique (G), tracé sur la surface^ dépende algébriquement des systèmes nommés.

Tous lés systèmes (G) existant sur la surface sont donc fournis par la relation (i), en attribuant aux coefficients h des valeurs entières. On dit que les systèmes (Gj), ...,(Gp) forment une base de la totalité des systèmes tracés sur la surface. Si celle-ci est régulière, la base est formée par des systèmes linéaires.

Le nombre p, qui entre dans le dernier théorème, ne diffère pas du nombre que M. Picard a désigné par la même lettre à la page 241 du Tome II de ce Traité, et qui joue un rôle important dans sa théorie des intégrales simples de troisième espèce. En effet, si Ton prend une courbe Gi, G2, . . . , Gp de chacun des systèmes formant la base, il n'existe aucune intégrale simple de troisième espèce ayant ces seules courbes pour courbes logarithmiques; mais on peut former une intégrale qui a pour courbes logarithmiques les p courbes nommées et une courbe ultérieure G arbitrairement fixée.

La connexion existant entre la théorie de la base et celle des intégrales simples de troisième espèce j)erniet à M. Severi de répondre à une question importante posée par M. Picard (^). Il démontre en efTet que la condition nécessaire et suffisante pour que toutes les intégrales simples attachées à une surface algébrique se réduisent à des combinaisons algébrico-logarithmiques, c'est que la surface soit régulière.

12. Revenons maintenant à la recherche des caractères invariants d'une surface. A. côté des invariants (absolus) que nous avons considérés jusqu'ici, il convient de prendre en considération de nouveaux caractères, qui ne jouissent pas d'une invariance rigoureuse vis-à-vis de toutes les transformations birationnelles de la surface; ce sont les invariants relatifs.

On parvient à cette conception très féconde, en partageant les transformations qu'on peut faire subir à une surface en deux classes :

i'^ Attribuons à la première classe les transformations qui font cor-

(^) Comptes rendus de l'Acad. des Se, 6 février 1905 ; un Mémoire plus détaillé sur ce sujet paraîtra prochainement dans les Mathein. Annalen. (2) Ce Traité, t. II, p. 144.

Hosted by

respondre sans ea^ceptton un point à chaque point simple de la surface donné, et une courbe à chaque courbe de celle-ci (^);

2*^ Attribuons, au contraire, à la seconde classe les transformations qui font correspondre à un ou à plusieurs points (en nombre fini) des courbes (exceptionnelles), ou vice versa.

Nous appelons alors iiwariant relatif de la surface tout caractère de celle-ci, qui est invariant vis-à-vis des transformations birationnelles de la première classe. Une transformation de la seconde classe modifie en général ce caractère, à moins que la transformation ne change autant de points de F en courbes exceptionnelles, que de courbes exceptionnelles de F sont transformées en points.

Voici maintenant quelques invariants relatifs fondamentaux qui appartiennent à une surface algébrique quelconque.

Parlons d'abord d'une surface F/^ d'ordre /i, de genre ^^>- o. Une surface ^;;4, d'ordre n — 4? adjointe à F„, coupe celle-ci (en dehors de sa courbe double) suivant une courbe composée par une courbe canonique et les courbes exceptionnelles qui peuvent exister surF,j(^). Or, la première partie jouit de la propriété d'invariance (en une acception absolue); son genre yj>^^^ constitue donc un invariant absolu de la surface, qu'on appelle, d'après M. Nother, le genre linéaire (^).

Mais si, en ne faisant pas abstraction des courbes exceptionnelles, on évalue le genre de la courbe composée qui constitue (en dehors de la courbe double) l'entière intersection de F^^ avec cp,j 4, on obtient un nombre w qui est un invariant relatif de la suif ace.

Or le nombre w peut être évalué en fonction des caractères d'un système linéaire quelconque tracé sur la surface F;^, et de ceux de son adjoint, soit, par exemple, en fonction du genre iz des sections planes de F/^, de l'ordre /i, et du genre iz' des intersections de F^^ avec les surfaces adjointes {^n-'d) cle l'ordre n — 3 ; on a, en effet,

a) = 7i' — 3('JT — \)-\- n.

L'importance de cette formule découle de la remarque suivante :

U expression ir' — 3('7t — i) -\- n a un sens, même dans le cas oà la surface donnée a le genre Pg^=^ o; elle conserve d'ailleurs toujours son invariance relative j vis-à-vis des transformations de la

(^) Nous passons sur la difiiculté inhérente aux points singuliers, dont il est permis d'aiJleurs de faire abstraction.

( 2) Tome II, page ii8.

(•') Tome I, page 2o5.

Hosted by

première classe. Ce fait est une conséquence presque immédiate de la propriété fondamentale du système adjoint {^).

Ou pourrait de même former avec le degré n^ du système découpé sur F,i par les surfaces <fn-3 une expression qui jouit aussi d'une invariance relative, à savoir

n' — /\(tz — i) -h n:

cette expression, lorsque />^ ]> o et que la surface F„ ne possède pas de courbes exceptionnelles, exprime le degré du système canonique. Mais on a toujours

n' 4('^ l)-l-^r= Cl) I,

ce qui donne une généralisation d'une formule bien connue de

M. Notber(2).

13. Un autre invariant relatif, qui va jouer un rôle important dans Fétude des surfaces appartenant à la classe des surfaces réglées, peut être obtenu, d'après MM. Zeuthen et Segré, de la manière suivante : prenons sur la surface F un faisceau linéaire de courbes G, de genre tc, doué de ai points-base (simples ou multiples); il y aura, en général,

un certain nombre 8 de courbes G douées d'un point double, en dehors des points-base; or l'expression

ne dépend pas du faisceau considéré^ mais seulement de la surface F, dont elle constitue un invariant relatif (^).

14. Comparons maintenant les deux invariants relatifs o) et I, d'une surface F.

Lorsqu'on transforme F par une transformation birationnelle, qui fait correspondre une courbe exceptionnelle à un point de F, le nombre to diminue d'une unité; au contraire I augmente d'une unité par la même transformation.

Il s'ensuit que l'expression to + I ne change pas, c'est-à-dire qu'elle constitue un invariant absolu de F; on a d'ailleurs (d'après une formule de M. Nother)

(*) Et^rïqves, Iiitroduzioiie alla geometria sopra una superficie algebrica, n® 41 {Memorie délia Società italiana délie Scienze, S** série, t. X, 1896).

(2) Loc, cit.

(3) Cf. Castelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni foiidameiitali.. ,, toc. cit., n« 6.

(*) Gastelnuovo et Enriques, loc. cit.

Hosted by

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5oi

On trouvera dans le texte (page l\.i2) un invariant relatif lié aux précédents et qui se rattache au nombre des cycles à deua: dimensions d'une surface.

15. L'étude des invariants relatifs appartenant à une surface nous amène à considérer de plus près les courbes exceptionnelles.

Tous les géomètres qui se sont occupés des surfaces algébriques savent bien que la présence de ces courbes, qui peuvent se transformer en points, introduit dans la théorie une difficulté systématique. C'est, d'ailleurs, une difficulté propre aux surfaces, qui n'a rien d'analogue dans la théorie des courbes. Aussi plusieurs efforts ont été faits pour éliminer cette difficulté, autant que possible. Depuis son premier Mémoire (de iSgS) l'un de nous (Enriques) avait prévu que toute surface F (quelques cas particuliers exceptés) aurait pu se transformer en une nouvelle surface F' dénuée de courbes exceptionnelles; il est revenu ensuite sur le même sujet, en 1896.

Mais ces résultats partiels n'ont plus d'intérêt aujourd'hui, puisque la question vient d'être résolue heureusement d'une façon précise et complète.

On démontre, en effet, qu'étant donnée une surface F, on peut faire disparaître l'une après Tautre ses courbes exceptionnelles, par un procédé qui s'arrête nécessairement (en faisant disparaître toutes ces courbes), si la surface F ne possède aucun système linéaire de genre tt quelconque et de degré /^ > 211 — 2. Mais si, au contraire, un tel système existe (ainsi que nous le dirons plus loin), la surface F peut être transformée en un j)lan ou en un cylindre, c'est-à-dire qu'elle appartient à la classe générale des surfaces réglées (rationnelles ou irrationnelles). On a donc le théorème (^) :

Toute surface F, gui n'appartient pas à la classe des surfaces réglées, peut être transformée en une nouvelle surface F^ qui n'aaniet aucune courbe exceptionnelle , de sorte qu'à chaque point et à chaque courbe exceptionnelle de F corresponde sans exception un point sur F^

Par suite, en dehors de la classe des surfaces réglées, il ne peut y avoir sur une surface quelconque qu'un nombre fini de courbes exceptionnelles ; au contraire, il y en a un nombre infini sur les surfaces rationnelles et su?- les réglées et leurs transformées,

IG. Si Ton transforme une surface F par deux transformations différentes, de façon à éliminer ses courbes exceptionnelles, on obtient

(^) Castelnuovo et Enriques, toc. cit,, 11° 18.

Hosted by

deux surfaces F', F'^, qui se corvespoudent point pa?^ point, sans exception. En d'autres termes, toutes les correspondances birationnelJes entre des surfaces qui n'ont pas de courbes exceptionnelles appartiennent à Ja première classe des transformations, au moyen desquelles nous avons introduit les invariants relatifs.

On voit maintenant comment on peut déduire un invariant absolu de chacun des invariants relatifs w, I, que nous avons définis.

Soit F une surface douée d'un nombre fini e de courbes exceptionnelles, et soit F' une surface transformée de F ne possédant aucune courbe exceptionnelle. Calculons, par exemple, l'invariant relatif co par rapport à F, et formons l'expression

Elle a la même valeur que l'invariant w calculé par rapport à F'. Elle est donc un invariant absolu de F, qu'on appelle genre linéaire p^^^i (^), parce qu'elle se réduit au genre des courbes canoniques, lorsque le genre /?^ de F est plus grand que zéro. On a d'ailleurs p^^^'^i.

Il est aisé de comprendre l'importance de la définition plus étendue du genre linéaire d'une surface que nous venons de donner. Il suffit de remarquer qu'en désignant par P^ le ^-genre de la surface, on établit la formule

et pour les surfaces régulières {pg ^=^Pa = p)

p,=^ + i^i-ii) (/,(!) ,) + ,,

pourvu qur l'on ait^^^^>»i (^).

17. Dans la définition qui précède nous avons dû laisser de côté les surfaces rationnelles et les réglées ou leurs transformées. Car en ce cas on ne peut plus se reporter à une image convenable de la surface, dénuée de courbes exceptionnelles.

Mais on élend aisément à ces cas la définition du genre linéaire /)(^^, en appelant p^^^ le maximum que peut atteindre le caractère co pour une transformée quelconque de la surface (^).

(^) Castelnuovo et Enriques, loc. cit., n° 20.

(2) Pour />(i) — I on peut construire des surfaces pour lesquelles P, >/> H- i. — C/. Enriques, Rendic. délia R. Accad. d. Lincei, 1898. (^) Castelnuovo et Enriques, /oc. cit., n° 21.

Hosted by

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5o3

On trouve alors que dans la classe des surfaces rationnelles le maximum p^^^ de w est atteint par le plan (p^^^ = lo), et, dans la classe de surfaces représentables sur une réglée de genre p^ le maximum est atteint par cette dernière surface \p^^^ = — 8 (/? — i) 4- i]. On a ainsi une définition tout à fait générale du genre linéaire. L'évaluation de ce nombre dans les cas concrets se rattache à la question de reconnaître si une surface donnée peut être transformée en une réglée. Cette question sera résolue dans la seconde partie de cette Note.