IV. — Étude de quelques cas particuliers
18. Nous avons déjà eu Toccasion d'utiliser la facilité avec laquelle s'applicpient les théories générales aux surfaces dont l'équation est de la forme
A la vérité, elles ne rentrent pas dans la catégorie des surfaces <{ue nous avons a[)pelées à siagulai'ltés ordinaires, jnais cependant avec peu de modifications les théorèmes généraux trouvent encore leur application [voir, en particulier, Cliap. IX, p. 2/î8). Ainsi, tt)ules les intégrales doubles de seconde espèce, relatives à
THÉORIE DES INTÉGUALES DOUBLES DE SECONDE ESi'ÈCE. SlJ
la surface précédente, sont réductibles à la forme
dx dy
P étant un polynôme en x et y.
De plus, le dei^ré du polynôme P est limité. On le montre par une analyse analogue à celle de la page 182 de ce Volume, en soustrayant des expressions de la forme
U et V étant des polynômes en x et jk^
11 sera, en général, simple d'écrire que l'intégrale double (i4) est de seconde espèce. Prenons, par exemple, le cas où f[x^y) serait un polynôme en x ci y de degré 2/?, en supposant rpie la courbe
réductible ou non, n'ait que des points doubles à tangentes dis- .linctes, et n'ait que des points simples à l'infini. L'intégrale reste finie pour X et jK finis (le cas des points doubles de la c()urbe/=z u se traite comme le cas des points doubles isolés d'une surface, page 121, du Tome I). Il reste à étudier les points à l'infini; on posera à cet effet
Si l'on a
f{^.y)= -\jj7- ■
l'intégrale se trouvera ramenée à
ff
Q(X,Y)d\dY
xhVi^(x7y]
Le seul cas à examiner est celui où l'entier tx est positif. En appliquant les indications de la théorie générale, on ramènera, par des soustractions convenables, ce cas à celui où [j. -^ 1, et l'on doit alors écrire que les résidus de l'intégrale
oj8 chapitre X.
relalifs à X = o, sant nuls, ce cjui se fera eii écrivant que l'inlé-
craie hypereUipllciue
Q(0,Y)rfV
se réduit à une fonction al<;ébrique.
On a supposé plus haut (juey (.r,r) était de degré 2 p] si /est de degré 2 /? -h i dans la surface
il suffira de poser
|)Our avoir une surface
où/, sera de degré pair et jouira des propriétés indiquées.
19. Nous nous bornerons, pour le moment, à examiner un cas très particulier, où nous pourrons utiliser quelques résultats du Chapitre précédent. Faisons seulement une remarque générale. Nous avons envisagé (p. :>.53) le nombre p relatif aux surfaces spéciales (' )
Si ce nombre 0 est égal à zi'ro, on aura le résultat suivant :
Toute expi ession
Pf.r, y')
susceptible de se mettre sous la forme
pourra s'écrire
JNI et N étant des polynômes en ^ à coefficients rationnels en y,
(') Pour ces surfaces spéciales, le nombre 0 présente une grande analogie avec le nombre désigné par la même lettre pour les surfaces à singularités ordinaires ; aussi avons-nous conservé la même notation, quoiqu'il n'y ait pas d'identité à établir entre les deux nombres. Ici le nombre 0 peut être égal à zéro, tandis que l)récédemment il était au moins égal à un.
THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. SlQ
20. Envisageons, en parliculier, les surfaces de la page 274,
oh f{x) el /(y) sont des polynômes arbitraires de degrés 2p + i et 2^ + I .
Par des réductions tout élémentaires, il est clair que toute intégrale double de seconde espèce est réductible à la forme
P{£C,y) da^ dy
où P(x, y) est un polynôme en x ely, de degré 2/? — i par rapport à ^, et de degré iq — \ par rapport à y. On va montrer que, si les polynômes /et F ne sont pas particuliers, aucune intégrale de ce type n'est réductible à la forme
— -r-^^\dxd âx dy ' "^ '
En effet, pour les surfaces précédentes, les seuls cylindres
cp(a7, r) = o
(où cp est un polynôme en x, de degré au plus égal à /?), qui coupent la surface suivant deux courbes, se réduisent k x ^ a^ a étant racine de/. Donc A et B peuvent être ramenés à la forme
f{xYsJf{x)¥{y)
U étant un polynôme en x à coefficients rationnels en jk- Mais le facteur f{xY du dénominateur peut lui-même disparaître, en retranchant, par exemple, de B une dérivée partielle convenable par rapport à x. Finalement, en appliquant à ce cas particulier les méthodes générales de la section précédente, on voit que B peut être supposé de la forme
v//(^)F(j) les a étant rationnels ^ny. Si donc
est susceptible de la forme
dA dB dx ~^ dy
on devra pouvoir déterminer les a rationnellement en j, de telle sorte que la difTérence
regardée comme fonction de x, soit la dérivée, par rapport à x, d'une fonction rationnelle de x et s!f{x). Mais ceci est impossible, car, P(^,y) étant par rapport à x de degré 2/? — i , cette différence est de la forme
èi£r2p-t-h.. .+ b
les (2 dépendant dey seul. Or, une telle expression ne peut êlre la dérivée d'une fonction algébrique que si tous les /; sont nuls. Donc, si l'on pose
les A. étant des polynômes en y de degré 2^ — 1, on devra avoir
Hy) ^y Lv/F(.r)J
mais ceci est impossible, car
où A, est un polynôme en y de degré 2^ — i, ne peut être la dérivée d'une fonction algébrique.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante : Pour la surface
:,^=.fioo)¥{y\
le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce est égal à
Ceci suppose que les polynomes/(^) et ¥ {y) sont des polynômes arbitraires de degrés 1 p -\- \ et 2^ -h i .
'21. Arrêtons-nous plus parliculièrement sur le cas où f{x) et Y {y) sont du troisième degré. Nous pouvons énoncer alors avec plus de précision que la surface
aura quatre intégrales doubles distinctes de seconde espèce,
ou que
po = 4,
si l'on ne peut satisfaire à l'équation
dx p dy
^f{oc) s/V{y)
G étant une constante convenable, par une fonction rationnelles dejK, ne se réduisant pas à une constante (vo«> p. 256).
Soient, en particulier, les polynômes F et /identiques. Nous ne serons pas alors dans le cas précédent. On a vu que, en laissant de côté les sections x = a {a étant racine de /), le nombre p est égal à l'unité. Nous aurons alors une intégrale de la forme
B a- + GjK -+- D 3".x
dx dy
(A, B, G, D étant des constantes), qui sera réductible à la forme
;^ 4- .— ) dx dy.
dx dy '
Gette intégrale, qui ne se rencontrait pas tout à l'heure, pourrait se déduire d'une analyse analogue à celle du n« lo de ce Ghapitre; cette analyse fait correspondre au couple de courbes correspondant à
une intégrale de la forme indiquée. On l'obtient encore en appliquant l'identité classique déjà rencontrée {voir notamment page 262)
s/f{x)f{y) ^^[{y-^)^Ay)\ ^^L(^-7)//(^)J Le polynôme U(s,y) en s et/ n'est pas du premier degré par
rap|)()rt à x el par rapport à y, mais par la soustraction d'une
expression
â dx
I \//(^)/(jK)J "^ ^y Lv//(^)/(r)J
où M et N sont des poljnomes en x et j^^ on peut ramener U à avoir la forme
A -4- B r -4- Cy -H D xy (A, B, G, D étant constantes), et l'on a alors une identité
OÙ R et S sont des polynômes en x el y. D'ailleurs R et S ne sont évidemment pas nuls identiquement, et il eu est, par suite, de même du premier membre, comme il résulte du n'' 21 du Chapitre IX (p. 203).
U j a donc une intégrale de la forme (i5) qui est réductible, et, par suite, le nombre Oq est diminué d'une unité. Il n'est pas diminué de plus d'une unité ; c'est ce qui résulte de ce que l'on peut former une intégrale de différentielle totale ajant comme courbes logarithmiques le couple de courbes correspondant à x =^y, et un couple quelconque de courbes correspondant à un cylindre (d(x, y) = o (page 261). Nous avons donc pour la surface
le nombre Oq égal à trois ( Oq^ 3). Ceci suppose toutefois, rappelons-le, que, pour le poljnome du troisième degré /(x), les fonctions elliptiques correspondantes n'admettent pas la multiplication complexe.
