Les conclusions sont différentes si nous sommes dans un
cas de multiplication complexe. Bornons-nous comme plus haut
(page 205) à
Il J a alors deux couples de courbes logarithmiques, pour une intégrale de troisième espèce, jouant le rôle fondamental dans la
réduction. Il n'j avait tout à l'heure que le couple correspondant à
Nous avons ici en plus le couple correspondant à
X =yt (e racine cubique de l'unité),
à ce couple correspond une seconde intégrale du type (i5) qui est réductible. Sans qu'il soit nécessaire d'insister, on a ici
pour la surface
Le résultat précédent est général quand le poljnomey(.r) correspond à la multiplication complexe.
23. Ces exemples nous suffiront pour le moment. Ils appellent l'attention sur une circonstance extrêmement remarquable, je veux parler du caractère arithmétique de V invariant po- Ce nombre ne dépend pas seulement de questions de configurations et de singularités relatives à la surface algébrique. La nature arithmétique des coefficients de l'équation influe sur sa valeur.
Ainsi, pour la surface
le nombre po est égal à trois en général. Ce nombre s'abaisse à deux, quand les coefficients de f{x) satisfont aux conditions arithmétiques relatives à la multiplication complexe. L'invariant po est donc, à ce point de vue, bien différent du genre riemannien p relatif aux courbes planes, ou des genres géométrique et arithmétique pg et pn que nous avons précédemment étudiés. On comprend combien cette circonstance rend difficile la recherche de lois générales. Nous ferons dans le Chapitre suivant l'étude des périodes des intégrales doubles, qui a de nombreux points de contact avec les questions qui nous ont occupés dans ce Chapitre. Terminons, pour le moment, par quelques remarques sur la réduction des intégrales doubles, en revenant à la surface à singularités ordinaires.
V. — Quelques remarques générales sur la réduction des intégrales doubles.
24-. Reprenant la surface à sing-iilarités ordinaires, nous reviendrons un moment sur la question de la réduction des intégrales doubles de seconde espèce. Rappelons les résultats obtenus. 1! a été démontré au Chapitre Vil que toutes les intég^rales doubles de seconde espèce pouvaient être ramenées, par la soustraction d'une intégrale
(A et B rationnelles en x^ y et s), à la forme
OÙ P est un polynôme s^ annulant sur la courbe double.
On a ensuite procédé (même Chapitre) à la réduction de ces intégrales; elles ont, par la soustraction d'une intégrale
//[àœ^-jOi)]-*
(U et V étant des polynômes en x^ y et ^), été ramenées à la forme
(.7) JJ9àJ^a.ar,
OÙ le polynôme Q en x^ y ei z ne s'annulait pas nécessairement sur la courbe double, mais était de degré limité. Il a été ensuite indiqué (Chap. VIll, p. 208) que ces dernières intégrales pouvaient elles-mêmes se ramener, par la soustraction d'une intégrale (16), à la même forme, avec degré limité, mais le polynôme Q s'annulant alors sur la courbe double. La démonstration de ce résultat est très simple, en passant par l'intermédiaire d'une transformation birationnclle qui dissout la courbe double, transformant la surface donnée S en une surface S. On a alors pour la surface S
une intégrale double qui ne devient plus infinie sur la courbe double. On peut faire la réduction en faisant disparaître la ligne d'infini, qui est la transformée de la courbe double, et, en revenant à S, on a une intégrale qui reste finie sur la courbe double. Les transformations du Chapitre VII nous amènent à une intégrale de la forme (17), mais où Q s'annule sur la courbe double.
25. Nous venons de rappeler le résultat précédemment obtenu, à savoir que toutes les intégrales doubles de seconde espèce se ramènent par la soustraction d'une intégrale (i6) à la forme (17), oîi le degré dit polynôme Q est limité, ce polynôme s' annulant sur la courbe double.
Allons plus loin, en nous servant des résultats du Chapitre actuel. Nous avons un nombre fini d'intégrales
R/i dx dy
(le polynôme R^ s'annulant sur la courbe double) auquel se ramènent toutes les autres. Une intégrale quelconque de seconde
espèce
r rV^x,y,z)dxdy
(le polynôme P s'annulant sur la courbe double) sera alors de la forme
les \ étant des constantes. La forme de A et B nous est connue, car
appartient au type étudié dans les sections précédentes. On aura donc (n" 16)
P-SX/.R/, AiQ,-^-...+ Ap iQp i d (\}\ df\
A ~ fz àx\fU^ dy\fL
U et V étant des polynômes en x el z {k coefficients rationnels en y) s'annulant sur la courbe double.
Nous avons donc la conclusion suivante : Toute intégrale double de seconde espèce
If
P( X, y^ z) dx dy
(P étant un poljnome s'annulant sur la courbe double) se ramène à un nombre limité d' intégrales de seconde espèce
(i8) r rni(x,y^z)dxdy
(le polynôme M/ s'annulant sur la courl)e double) par la soustraction d'intégrales de la forme
\]et\ étant des polynômes en x et z à coefficients rationnels en y et s' annulant sur la courbe double.
On peut évidemment supposer qu'aucune combinaison linéaire des intégrales (18) n'est de la forme (19).
26. Supposons maintenant que l'intégrale double (.0) ^JV(x,y,z)d.dy
(P polynôme s'annulant sur la courbe double) ne soit pas de seconde espèce. Cette intégrale aura ij) résidus relatifs à la ligne à l'infini de la surface. Admettons qu'on puisse trouver ip intégrales doubles
Ji, J2, . . . , J2/;
de la forme précédente, telles que le déterminant d'ordre ip formé avec l'ensemble des résidus de ces intégrales soit différent de zéro. On pourra alors de l'intégrale (20) retrancher une intégrale convenable
AiJi+A2J2-i-..+ A2/;J2/>
les A étant des constantes), de telle sorte que la différence soit
une intégrale de seconde espèce. On a donc la conclusion sui-
vante :
On peut trouver un certain nombre s d^ intégrales de la forme (20), soient
fr-i^^.r
les polynômes P/ en (^, y, z) s^ annulant sur la courbe double, de telle sorte que toute intégrale (20) soit susceptible de se mettre sous la forme
.,,.^...+.,,,^yy|^^(|) + i(V)]rf,
dy,
les OL étant des constantes, U e^ Y étant des polynômes en x et z à coefficients rationnels en y, s' annulant sur la courbe double.
On peut d'ailleurs supposer que 5 est le nombre minimum, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire des I n'est susceptible de la forme (19).
27. Nous avons admis qu'on peut trouver une intégrale de la forme (20), dont les 2/? résidus relatifs à la ligne à l'infini de la surface ont des valeurs arbitrairement données. Pour l'établir, considérons une intégrale abélienne arbitraire de seconde espèce de la courbe entre x et z^
qui soit de la forme
P étant un polynôme en x. y et ^, s'annulant sur la courbe double. Envisageons l'équation différentielle linéaire E d'ordre 2.p, relative aux 2/? périodes de cette intégrale regardées comme fonctions de y, nous avons déjà bien des fois considéré cette équation E, qui a joué un rôle essentiel dans nos théories. Plaçons-nous dans le cas, qui est le cas général, où cette équation n'admet pas comme intégrale un polynôme en y.
En désignant par w(^) une période arbitraire de l'intégrale abé-
lienne (21), nous avons vu (Chap. VJII) que
^{y)dy,
prise autour du point à l'infini, était un résidu de l'intéj^rale
double
P(^, jK, -S) dx dy
SI
Considérons ip périodes distinctes
Wi, CO2, ..., Wsp
de (21). On a les développements autour de y = 00
>■ IJ l -y y yi yk
Les ip fonctions (0/ sont linéairement indépendantes. De plus, il n'y a pas de combinaisons linéaires des w/ qui se réduisent à un poljnome en y.
Il en résulte que, pour A" pris suffisamment grand, les ip expressions linéaires
aux indéterminées
sont linéairement indépendantes, car si, pour toute valeur de A", ces expressions linéaires n'étaient pas indépendantes, tous les déterminants d'ordre 2/> formés avec les a7^ seraient unis, et l'on pourrait former une combinaison linéaire des to/ se réduisant à un polynôme. Le nombre k étant pris suffisamment grand, envisageons l'intégrale double
JJflllll^lZllldrdy,
OÙ Ton pose
cp(^) = a^yi'^-^ -\- aoj^^^ -i- . . . -r- a^-i r -f- a/.:,
les a étant des indéterminées. Les ip résidus de cette intégrale double sont, au facteur iizi près, les expressions (22). D'après
ce qui précède, on peut choisir les indéterminées a de manière que ces expressions aient telles valeurs que l'on veut, puisqu'elles sont linéairement indépendantes. Il est doue établi qu'on peut trouver une intégrale double (20) ayant ip résidus arbitrairement choisis.
Cette remarque jouera dans la suite un rôle important (*).
(') Nous nous sommes servis dans ce Chapitre du théorème fondamental de la page 2^1 où figure le nombre p. On peut faire, au sujet de l'analyse développée sur cette question au Chapitre IX, la remarque suivante, qui simplifie la démonstration de ce théorème. Il a été formé (page 289) une intégrale de diiïérentielle totale
( a ) Rdx-hSdy
Nous avons dit que l'intégrale (a) ne pouvait avoir d'autres courbes logarithmiques que les courbes
Cl, C2, ..., Cl
et la courbe à l'infini sur la surface. En fait, la courbe à l'infini n'est pas une courbe logarithmique de l'intégrale. En effet, l'intégrale abélieiine
da;
{y ayant une valeur fixe arbitraire f ), relative à la courbe entre x et z, f{x,y, z) — o ne peut avoir, comme point singulier logarithmique à l'infini, que le point M {voir page 282); les m — 1 autres points de la courbe à l'infini ne sont pas des points singuliers logarithmiques pour l'intégrale. Or les m périodes logarithmiques de ( p ) doivent être les mêmes pour les m points à l'infini de la courbe, puisque (a) est une intégrale différentielle totale, et que par suite pour les m points de rencontre de la ligne de l'inlini de la surface avec le plan y=y la période logarithmique doit être la même. Il résulte de là que cette ligne à l'infini n'est pas une courbe logarithmique de l'intégrale. Ceci exige que l'on ait
Cjâ?! -t- C2<io -h. . .+ c,^d-^ — o,
en désignant par d^, d.,, . . ., d-^ les degrés des courbes Cp C.^, C-,, et cette relation sera nécessairement une conséquence des relations de la page 286 entre les K et les c.
SUR LES PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES ET LEURS RAPPORTS AVEC LA THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE (M.
I. — Sur les périodes des intégrales doubles de première espèce.
1. Nous avons déjà dit un mot au Tome ï de cet Ouvrage sur les périodes des intégrales doubles, et notre point de départ a été le suivant. Prenons l'intégrale double de première espèce
Qfa?, jK, -z) dx dy
et envisageons la courbe entremet z de genre/;, pour y arbitraire (i) /(^,7, -)=o.
Les 2/? périodes de l'intégrale (ici de première espèce)
^'^ J fi
sont des fonctions de y, satisfaisant à l'équation différentielle linéaire que nous appelons E, et dont les points critiques b correspondent aux points sim[)les de la surface où le plan tangent est parallèle au plan des zx. Considérons un cycle Y de la courbe (i),
(' ) b:. Picard, Sur les périodes des intégrales doubles dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Comptes rendus, i8 novembre et 23 décembre 1901, et Annales de l'École Normale supérieure, 1902).— Sur les périodes des intégrales doubles et leurs rapports avec la théorie des intégrales doubles de seconde espèce {Comptes rendus, t. CXXXVII, 1900, et Annales de l'École Normale supérieure, 1908 ).
se déformant avec y et revenant à sa position initiale quand j-, ayant décrit un certain chemin fermé G, revient lui-même à son point de départ. On obtient évidemment de cette manière un cycle à deux dimensions, qui donnera naissance à une |)ériode de l'intégrale double. Le cycle Y sera caractérisé par ce fait que la période correspondante
de l'intégrale (2) revient à sa valeur initiale, quand y décrit la courbe G. Ges considérations généralisent celles que nous avons employées pour obtenir les résidus des intégrales doubles; dans ce cas,^le cycle F se réduisait à un contour infiniment petit autour d'un pôle.
