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THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÎÎCE. 3l3
Envisageons maintenant l'expression
â /QA/\ à /P.\/
Elle ne devient pas infinie le long de la courbe C,-, puisque, d'après l'identité précédente, elle est égale à une expression n'ajant pas G/ comme ligne d'infini. Elle ne devient infinie à distance finie (en dehors de courbes y = const.) que ponr les points de la courbe de contour apparent désignée par G (n*^ 9).
Ecrivons l'expression sous la forme
<^^\S'i.fz/ ' '\v\gifz
]M et N étant des ])olynomes en ^ et ^, à coefficienls rationnels enj)', et s'annulant sur la courbe double ainsi que sur la seconde courbe de rencontre du cylindre gi[x, y) = o avec la surface.
La forme de Fexpression (i i), quand on ne développe pas les opérations, est immédiate; c'est
S étant un ])olynome en ^ et ^, à coefficients rationnels en y. (^ette expression n'a pas la forme, habituelle pour nous, où /J figure au premier degré au dénominateur. Nous allons voir que l'on peut déterminer deux poljnomes U et V en x el z tels que la somme
soit de la forme voulue
T étant nn poljnome en ^ et ^, à coefficients rationnels en y^ s'annulant sur la courbe double. Inij^osons d'abord à U et V de s'annuler sur la courbe double; ensuite l'expression (12) peut s'écrire
r /dg^ M ^ ^ N \ • (agi U^- dgj^ \gi\ g}\àJ^ :n ■ ày f'J gj\ôx f','^~'dy f, J
3l4 CHAPITRE X.
Nous réaliserons la condilion cherchée, si
M4-U^>-/ et N + V,i?v
s'annulent sur la courbe G de conlour apparent, et celte condition est évidemment réalisable. De là nous lirons la conclusion qu'à une courbe G/ on [)eut faire correspondre une expression
égale à
les polynômes M, et N| en x et :3 s'annulant sur la courbe double, et les quotients — et -— élant infinis seulement le Ions: de la courbe G/ (en dehors de courbes ^v = const.).
On peut aUer un peu plus loin. Le polynôme T^ en x et z contient^ seulement rationnellement; soit
P étant un polynôme en x^y et :;, et "(jk) un polynôme en y. On a donc le quotient
Gomme l'inlé^rrale double
est manifestement de seconde espèce, on peut (i;o//' Ghapilre VU) soustraire de (i3) une expression
ùx \
fMT,y,z)\ ^ ù /\Mx,y,z)\
A et B étant des polynômes en x^y et c-, et r:, un polynôme en y, de lelle sorte que la différence ait la forme
qi{x,y,z) Qi étant un polynôme en x^y^ z s nnnulànl sur la courbe double.
THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLKS DE SECONDE ESPÈCE. 3l
Finalement, nous avons une idenlUé de la j orme
k)'^àj{g-/fl)
J'z àx \S-ifz
Mi el Nf ajaiiL les mêmes propriétés que les polynômes désignés [)lus haut par M, et N,. Le poljnome Q/ n'est d'ailleurs certainement pas nul identiquement sur la surface, car l'intégrale
serait une intégrale de différentielle totale, n'ajant (en dehors de courbes jK = const.) d'autres courbes logarithmiques que la courbe C^ et la courbe à l'infini, ce qui est impossible. [La courbe C, sera bien une courbe logarithmique effective, car elle l'est pour l'intégrale auxiliaire (2'.).]
De plus, et pour une raison analogue, aucune combinaison linéaire à coellicients constants
CmQi-t-...-^-Cp-,Qp,
fi
ne peut se mettre sous la forme
(les G n'étant pas tous nuls),
les U et V étant des polynômes en x et :;, à coefficients rationnels eny.
16. Aux courbes C,, C^, .-•, Cp) correspondent ainsi des expressions
O, Q.. Qo-i
71' jT ••" -yT'
réductibles à la somme de deux dérivées partielles. Toule auiie expression
(Q polynôme en x, y el z s'annulant sur la courbe double) réduc^ tible à une telle somme sera de la forme
A,Q^-^...-^Ao-1Qp-l Li^\^:H'L
fz ox\f:) ôy\f:
3l6 CHAPiTUK X.
les A étant des constantes, \] et \ étant des polynômes en x et z {à coefficients i-ationnels en y) s^ annulant sur la courbe double.
On s'en rend complc aisément, en se reportant à la forme de ^7 donnée au n^ 9. Il suffira de décomposer le (juotieuL
en éléments simples (en le regardant comme une fonction rationnelle de x') pour avoir la forme ci-dessus.
17. Toutes les considérations que nous venons de développer sont utilisables quand on a pu déterminer un svstème de courbes
Cl, C„ ..., Gp,
jouissant des propriétés fondamentales relativement aux intégrales de diflerentielles totales de troisième espèce. Elles sontnuméri- (fuemeut applicables sur un exemple donné, mais elles ne permettent guère d'énoncer, sur le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce, des propositions générales. C'est en les combinant avec l'étude des périodes des intégrales doubles, que nous obtiendrons dans le Chapitre suivant quebiues lois importantes. Pour le moment, nous allons faire quelques applications à des cas particuliers très simples, qui nous donneront l'occasion de faire une remarque générale sur le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce.
