iNous allons étudier la forme analytique de l'intégrale

prise le long du contour G. Gette étude nous fera connaître certaines expressions analytiques remarquables, qui nous conduiront d'elles-mêmes à généraliser le mode de génération des périodes de notre intégrale double.

Désignons par

les points critiques de l'équation différentielle E (N désigne ici la classe de la surface).

ISous joignons ces points à un point «du plan de la variable y, et nous considérons Jes différents lacets a6,, ab^-, .-., ab^ formés,

commed'habitude, d'un cercle infiniment petit autour d'un point b et d'un chemin allant de a à ce cercle {Jig- i5).

Pour chaque poiat crilique y = b^ l'équation fondamentale déterminante de E a une racine double. Cette racine double correspond (^voir T. I, p. qS) à une intégrale holomorphe Û(y), et une intégrale non holomorphe ^' {y) contenant un terme logarithmique log(y — 6), de telle sorte que l'on ait

^'(r ) =/(r ) -H -!-. o(jK) iog(7 - 6),

/{y) étant, comme ^(y), holomorphe autour dey =: b. Les ip — 2 autres intégrales, formant avec ù et Q' un système fondamental, sont holomorphes autour de y = b.

Ceci rappelé, tout chemin C partant de a et y revenant, se ramène à une somme de lacets parcourus dans un ordre quelconque. Désignons d'une manière générale par

la période de l'intégrale (2), holomorphe autour du pointy = 6/, et qui correspond à la racine double : elle est parfaitement définie de bi en a sur le lacet.

Une j)ériode quelconque w(y) de l'intégrale (2), quand y tourne autour du point />/, se reproduit à un terme additif près de la forme

miili(y) (m^ étant un entier),

comme il résulte immédiatement de la forme de la période appelée tout à l'heure d'une manière générale Q'(jk), toutes les autres périodes étant holomorphes autour de bi.

Donc, quand y décrivant un chemin fermé C revient au point de départ, l'intégrale considérée w(j)/-) de l'équation linéaire E s'augmente d'une expression de la forme

^^ni^î^il),

la sommation s'étendant à un certain nombre de points bi. Si l'intégrale w revient à sa valeur initiale, on devra avoir

Quant à la valeur de l'intégrale

(3) f^(r)dy,

PÉRIODES DES IiMÉGKALES DOUBLES. 333

le long du contour C, elle est facile à calculer; sur le lacet abi^ il reste, après suppression de termes se détruisant à l'aller et au retour,

rrii I ili{y)dy, et, par suite, la valear de V intégrale (3) est

Dans cette expression ùi(y) est définie sans aucune ambiguïté le long du chemin bia. D'ailleurs l'expression (4) ne dépend pas du point choisi a, comme il résulte immédiatement de l'identité

(5) 2]m/i2,(jK)=:0.

3. Les considérations précédentes appellent donc notre attention sur les expressions de la forme (4), correspondant à une identité de la forme (5). Une question se pose d'elle-même :

Une expression (4), l'identité (5) étant supposée satisfaite, peut-elle être envisagée comme une période de l'intégrale double

'Q(a?, jK, z) dx dy,^ fz

If

Nous entendons par période de l'intégrale double, de la manière la plus générale, l'intégrale prise le long d'un cycle à deux dimensions, c'est-à-dire d'un continuum fermé à deux dimensions à chaque point duquel ne correspond qu'une seule valeur

de(^,j/, s).

La réponse à la question posée est affirmative, comme nous allons l'établir. Soit donc l'identité

(6) miQi(jK) +. . .^ m,,l>,,(jK) = o (les m étant entiers),

entre un certain nombre de fonctions Û, on va montrer qu'il existe un certain cycle à deux dimensions, tel que la valeur de U inté orale double

Qfir, 7, z) dx dy

piise le long de ce cycle est égale à

(7) m, f il,{y)dy-^...+ ni, f il,(r) dy.

Cette valeur est d'ailleurs manifestement indépendante de la constante a.

Considérons rinté*;raie

m,il\{y)

de l'équation E, en désignant par ù\ l'intégrale relative au point ^, déjà envisagée au n" J. Quand y partant de a décrit le lacet 6,, l'intégrale m^ù\ s'augmente de

tn^iliiy).

Il faut interpréter ce fait analytique au point de vue de la géométrie de situation. Soient d'une manière générale sur la surface de Kiemann entre ^ et 5 donnée par l'équation

pour la valeur )', r< le contour correspondant à ^K^y) et Y\ le conlour correspondant à 0',. Partons du contour

pour y = a; le cliemlnement de y se produisant, ce contour se déplace en se déformant, et, (juandy revient en a, on a le contour

11 est clair que, pendant la déformation, on engendre ainsi une surface ouverte, mais avec le seul bord

et la valeur de l'intégrale double correspondant à cette surface ouverte est

f ^'-r{y)dy.

De la même façon, les différents autres termes de la somme (7) correspondront à des surfaces ouvertes avec les bords

r^ ajaiit la signification analogue à Y^[ quand bi remplace b^ .

PÉHIODES DES IMÉGKALKS DOUBLES. 335

iXoiis avons donc s surfaces ouvertes avec les s bords indiqués. D'autre part, pour jk arbitraire, les s contours

limitent, sur la surlace de Kiemann,

une certaine portion 1^ de la surface, comme il résulte de l'identité (6) (|ui exprime que les s intégrales

ne sont pas distinctes.

Considérons, en particulier, la portior) P^% sur la surface correspondant ky = a. Cette portion P«, avec les s surfaces ouvertes envisagées ci-dessus, forme une surface fermée, qui est un cycle à deux dimensions; la valeur de l'intéi^rale double sur cette surface est précisément l'expression (7) donnée par les s surfaces ouvertes, puisque sur la portion P«, correspondant k y ^= a^ l'intégrale est nulle. Le théorème énoncé est donc établi.

Il est important de remarquer que nous n'avons pas à nous préoccuper de savoir si la portion P« contient ou non des points à l'infini, puisque l'intégrale double dont nous sommes partis est de première espèce. 11 eu serait autrement pour une intég-rale double qui deviendrait infinie à l'infini puisque l'intéo^rale suivant P« pourrait n'avoir aucun sens. Nous parlerons de ce cas dans la section suivante.

i. On peut se demander si toutes les périodes de l'intégrale double peuvent être engendrées au moyen des cycles à deux dimensions que nous venons de considérer. Nous allons établir que tout cycle à dimensions, situé tout entier à distance finie, est susceptible de la génération précédente. Nous emploierons, à cet effet, quoique dans des circonstances plus compliquées le même genre de raisonnements qu'à la page 58 du Tome I de cet Ouvrage, quand nous avons étudié les périodes d'une intégrale double de l'onction rationnelle pour un continuum fermé à distance finie.

Concevons donc relativement à la fonction algébrique ^ de :r P. ET S., TI. „

336 CHAPITRK XI.

et y définie par

un cycle à deux dimensions situé à distance finie. Posons

toute surface à deux dimensions sera représentée par deux relations entre ^,, ^2, Xi et r^-

De même, le continuum critique G sera représenté dans l'espace à quatre dimensions réelles

par deux relations entre les quatre lettres ^,, ^2,r< ^^ X'^' ^^"'' une valeur donnée àjo, nous avons sur ce continuum un ensemble à une dimension de valeurs de .r,, œ. et y,, que l'on peut regarder comme représentant un certain nombre de courbes gauches a dans l'espace à trois dimensions

(a?!, Xi, ji);

il faut d'ailleurs à chaque valeur de .^i, x., y<, Jo associer la valeur correspondante de z, de sorte que nous entendons par courbe a le lieu de points (^^ ^2, jO P^"^ ""^ valeur de JK2 avec association des valeurs correspondantes de z.

Chaque plan

y^ = consl.

rencontre les courbes a en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir: le nombre des points de rencontre de G avec un plan arbitraire parallèle au plan des z:p.

Sauf pour certaines valeurs de y^ en nombre fini, l'ensemble des courbes a ne présente pas de points multiples; les valeurs de JK2, pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de / dans les valeurs de y pour lesquelles le plan correspondant parallèle au plan des zx est langent à la courbe G (et en même temps à la surface). Ges valeurs de y sont celles que nous avons constamment désignées par 6, et qui ont joué dans toutes nos recherches un rôle capital. Pour les valeurs de JK2 correspondant au coefficient de / dans un des by

deux courbes a auront an point commun, formant un ^ç>\tvI double pour l'ensemble des courbes a. Soit, ))Oiir la valeur h considérée

b =: bx-\- Ib-i;

pour JK2 voisin de b.^ et un peu inférieur, les courbes a dans l'espace [x^^ œ.y^ y\ ) n'ont pas de point double, mais deux branches passent très près l'une de l'autre. PourjKo^ ^2^ ces deux branches se rencontrent, etpourjK2 supérieure b^, elles ne se rencontrent pas, de sorte que, au moment du passage de y 2 par 6^, les deux branches se sont traversées; ce fait est à retenir pour ce qui va suivre.

Revenons à notre cycle S à deux dimensions. Cette surface étant tout entière à distance finie, il n'y aura de points de la surface que pour des valeurs de ^^2? comprises entre deux limites a^ et a^ (rt, <i a-2)' Qiiand y 2 en croissant devient égale à a, , une courbe fermée correspondante de S commence à paraître, et l'on peut la représenter dans l'espace [x^^ x^^yi).

Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette courbe se réduit à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui sont venues se confondre; dans toute autre hypothèse, la surface S ne serait pas fermée. On peut faire abstraction de la première hypothèse, car, si pour y 2= n\ la courbe se réduisait à un point, il arriverait que, pour y^ arbitraire, la courbe correspondante, extension de ce point, ne tournerait pas autour des courbes a, et l'on pourrait, par une déformation continue, réduire à zéro, sans rencontrer aucune singularité, une portion fermée de la surface qui pourrait être supprimée. Nous avons donc, pour y2= ai^ une certaine courbe enveloppant quelques-unes des lignes a; quand y2 croît, cette courbe se dédouble, et l'on a ainsi, pour y2 arbitraire, des couples de courbes qui, pendant la variation continue de JK2, ne peuvent disparaître que deux à deux en venant à coïncider. Nous désignerons par C une de ces courbes, correspondant à une valeur d'ailleurs quelconque de y2- Faisons croître j)/"2 depuis a, ; on aura ainsi une suite continue de courbes G, et la surface S pourra être ainsi décrite tout entière en faisant varier d'une manière continue y2 (non pas nécessairement toujours dans le même sens) et en revenant en a, avec la position initiale de C

(.HAFfTRE XI

o. Nous allons malmenant déformer S, en déformant cliacnne des courbes C. Figurons {fig. i6), pour une valeur de ]., la courbe C et les lignes a dans l'espace {x^ , ^2, Ji )•

Tant que y^ ne rencontre pas une valeur singulière désignée plus haut d'une manière générale par b.>, on peut faire glisser en (juelciue sorte la courbe C, sans rencontrer les lignes correspondantes a, de manière à lui faire prendre une position F dans le plan

j/j = K (K étant une constante fixe),

cette opération se faisant elle-même d'une manière continue (|uand y 2 varie. Mais pour j-2= ^2, o" a deux lignes a, se rencontrant, et il peut arriver que l'on ne puisse plus déformer C en l'amenant dans le planjKi = K, sans traverser a. C'est ce qui arri-

vera dans les figures 17 et 18, en supposant, dans la figure 17, que le plan y^ — ^ soit au-dessous du point double A de a. Les deux figures précédentes représentent d'ailleurs les deux circon-

PÉRIODES DES INTÉGRALES DOUBLES. SSq

Stances essentiellement différentes pouvant se présenter; les autres €as étant des combinaisons de ces deux cas.

Pour y2 voisin de h.>, on pourra bien faire glisser C de manière à ramener dans le plan y, — K., mais voici la circonstance qui va se présenter. L'opération qui amène C dans ce plan ne se fera pas «l'une manière continue à l'instant du passage dejK2 parla valeur 62- En d'autres termes, pour jk2= ^2 — ^ et pour JK2 = ^2 + s' (î et £' très petits), la courbe Co et la courbe infiniment voisine CJ, correspondant à ces deux valeurs de y.^, n'auront pas été ramenées dans le plan y, = K à deux courbes infiniment rapprochées.

La raison en est que deux branches de la ligne a se sont traversées quand JK2 est passée par 63. Il est facile de voir dans quelle dépendance sont les deux transformées Y^ et r'„ de Co et G'„ après les glissements les amenant dans le plan y^ = K.

Prenons d'abord la figure 17. Le dessin suivant est fait dans le plan j^, = K; on désigne par m^ et m^ les points de rencontre

avec ce plan des lignes a qui correspondent à JK2 = ^2 — £ et par m\ €t Tn[, les points de rencontre avec le même plan des lignes a correspondant à ^'2= ^2+ s'. L'un des dessins corres|)ondàjv'2= ^2 —£ €t l'autre à )'2 = ^2+ £•

On voit de suite que le cvcle F'^, est équivalent au cycle Y^^ plus

ie cvcle correspondant à nne courbe tournant autour de m^ elm^.

Fig. 20.

Fifif. .i\.

Les circonstances sont différentes avec la figure 18. On a alors les dessins ci dessus (/?.i?. 20 et 21) : les contours Fq et FJ, sont les mêmes, mais le sens de la flèche est changé.

34o ' CHAPITRE Xf.

6. Ceci posé, suivons la déformation de la surface S obtenue en ramenant chaque courbe C dans le plan j^, = K. Cette déformation se fait d'une manière continue, sauf quand j^o passe par une valeur désignée par b-i et que l'un ou l'autre des cas du paragraphe précédent se présente. Supposons que nous soyons dans le cas de la figure 17, et gardons les notations du paragraphe précédent. Dans la surface déformée les lignes Fq et Y'^ qui correspondent à deux valeurs très voisines de y.>^^ sont pas très voisines l'une de l'autre ; on passe d'une manière continue de l'une à l'autre en déformant To de Fo en Cq dans l'espace [x^ , x,, jKi , à., — c), puis en allant de C^o en GJ) sur notre surface initiale S, et enfin amenant CJ, en FJ, dans l'espace (^j, x^i jKn ^:> + ^')- Or, on peut réaliser autrement et d'une manière équivalente ce passage de F,, en F'^. Considérons, à cet effet, le cycle F,, qui est dans le continuuni

et qui est sur la surface de Riemann entre x et z

Faisons partir j" de la valeur ci-dessus, et faisons décrire à cette variable dans son plan un contour fermé autour du point 6, dans un sens convenable, et en supposant (|ue sur ce contour la valeur de j'2 s'éloigne peu de 62. Le cycle Fq se transformera, d'après ce que nous avons vu dans bien des circonstances, par cette circulation en un cycle ayant la forme de FJ,, et qui sera, si l'on veut, Fjj dans l'espace (^, , X2, .> , , b., — s) ; la surface engendrée pendant ce déplacement augmentée de celle qui corresjjond au transport de la courbe F„ de l'espace (^1 , x.*-, y\ , b-» — z) à la courbe F^ de l'espace (.r<, x^, jKi, b^-Y- ^'). Ce second mode pour passer de F,> à F'jj est équivalent au premier, c'est-à-dire donne la même valeur pour l'intégrale double sur les surfaces correspondantes. Nous avons donc fait disparailre la disconllnidté dans la déformation de la surface obtenue en déformant la courbe C en cycles dans le plan de la variable x pour

et, par suite, nous pouvons substituer à la surface S une surface connexe formée de lignes F, à la corulition d'ajouter la [)ortion

dont il vient d'être parlé et qui est elle-même formée de cycles correspondant à jk == const. De là résulte que nous n'avons à envisager, pour le calcul de la période, qu'une intégrale de la forme

prise pour un chemin convenable de la variable y. Si donc, en décrivant notre surface cyclique S avec la courbe G, nous ne rencontrons, pour les valeurs singulières de y^i ^ue le cas de la figure i-, la période sera obtenue par Tintégrale précédente, où o)(jk) est une période de

'Q(a", r, z) clx

prise le long d'un chemin fermé convenable, ce qui démontre bien le résultat énoncé et nous conduit aux formes étudiées au n° 3. Les choses se présentent sous une forme un peu différente dans le cas de la figure i8. Il n'est pas possible, en effet, de trouver un chemin dans le plan de la variable jk menant de Fo à T',. Nous allons calculer directement la valeur de l'intégrale double prise le long de la surface engendrée par le déplacement de la courbe T^ de l'espace (x',, x.,ys, b.— i)'à la courbe r'„ du même espace, après avoir passé par les courbes Gq et G„. Nous ne changerons pas la valeur de l'intégrale double si nous substituons à Gq et CJ, deux courbes de même forme mais très voisines de A, et les supposant respectivement dans les espaces

{x^, x^, yx, b.-,— t) et {xy, x,,yx, h.-^- z ).

La surface en question pourra alors être engendrée en laissant d'abord JK2 égal à 60 — £ et faisant varier j, et déformant en maintenant Tq, de manière que, JK< étant très voisin de 6, (en posant comme plus haut b =^ b,-}- ib.,elb, étant l'y, du point double A), la transformée F, de Fo so'l^ de dimensions très petites et très voisines de A, puis ensuite avec y 2= b.^ s', on aura une surface résultant de la déformation de F;, et se terminant à une courbe F'^ , avec y, très voisin de ^,, qui est de dimensions très petites et très voisine de A; outre ces deux surfaces, il y aura des surfaces de dimensions très petites reliant F, à G,, puis G, à G', et enfin G', à F',.

S^2 CHAPITIIK XL

L'intégrale prise le l()ni;(les trois dernières surfaces est négligeable, c'est-à-(iii'e (iirclle donne zéro quand les dimensions de C,, C, , r, et r'^ tendent vers zéro, et il reste comme valeur de notre intégrale sur la surface limite

iHr)dy

Q(r') corresj)ondant au cjcie F (c'est la notation déjà employée), et en posant

Les deux portions de l'intégrale ne se détruisent pas, il y a au contraire multiplication par deux, parce (jue le sens sur le contour a changé, comme l'indique lafii;uie i8. En définitive, le passage de y.y par ^2 amène le changement de signe de 0, en même temps qu'il faut ajouter l'intégrale ci-dessus: il revietil au même de dire que l'on intègre

f^My)dy

le long d'un ch(Mnin (pii passe parle point singulier )" m />, (^(j^) arrivant au voisinage de ce point avec la détermination ^{y)'-, mais, après le passage de y par />, on doit changer le signe de iù{y).

On poui'rait donner une forme analogue au résultat trouvé plus haut relatif à la figure i6, en disant que l'on prend l'intégrale

(0 iy ) dy

le long d'un chemin passant par le poir)t critique b'^i en ce point, co (j/-) devient alors infinie (comme un logarithme), et, après le passage dej^ par b^ on doit augmenter (o(jk) de û( )).

En combinant les résultats précédents, nous voyons que Tinlégrale double prise le long du cycle S peut s'obtenir de la manière suivante : Soit w(y) une période (;onvenable de l'intégrale

Q(3-, y, z)dx

on formera l'intégrale

iù(y) dy

dans le plan de la variable complexe y le long d'un chemin D pouvant passer par les points singuliers désignés d'une manière générale par b. Quand D tr-averse le point singulier 6/, on doit augmenter <o(r) de

;jL/ étant un entier positif ou négatif, el ^i{y) ayant la signification du n" 2. De plus, en revenant au point de départ O sur le chemin D, on doit retrouver la détermination initiale de (ji(y), puisqu'on revient à la même courbe C sur la surface S. La valeur de l'intégrale est alors facile à calculer. Figurons le chemin D avec trois points />,, Aj, />;$ ( flg. ^a) pour fixer les idées et le point

les

Fiy.

de départ O. Soit, eu outre, a un point quelconque dans le plan ;

traçons

abi, abi^ <^^;{,

que l'on va regarder comme des lignes doubles. Au lieu de prendre l'intégrale

j Lù{y)dy

sur le contour D, on peut la prendre sur le contour

Ob^abx b^a b^ b-.^ab-^O,

en supposant que, aux points correspondants de abi et de bia^ la différence des valeurs de w(r) est [j(./0/(7'), le saut brusque ayant

alors lieu en a. D'ailleurs, comme on doit retrouver la même valeur en o, il faut manifestement que l'on ait l'identité

Enfin la valeur de l'intégrale sera

Par suite, toutes les périodes de notre intégrale double peuvent être obtenues au moyen des combinaisons envisagées au /i" 3. Le résultat énoncé au commencement du n'* 4 est donc établi.

7. Dans la forme analytique que nous avons donnée aux périodes de l'intégrale double figurent les fonctions ^{y) relatives à chaque point singulier.

On pourrait, sans parler de ces périodes particulières de l'intégrale abélienne

/-Q(.r,.x, z)dx

donner encore la forme suivante aux périodes de l'intégrale double. Soit toujours a un point arbitrairement choisi; considérons une intégrale w/(jk) de l'équation différentielle linéaire E relative aux périodes de (8), et supposons que j^ partant de a y revienne après avoir décrit un chemin C/ autour de bi et avec la détermination (oJ(y); on fait ainsi pour un certain nombre de points singuliers 6. Supposons enfin que l'on ait l'identité ^t

Alors l'expression

(10) y\ I M,(y)dy

est une période de l'intégrale double. 11 est clair, d'après l'identité (9), que l'expression (10) ne dépend pas de a.

Dans tous les numéros précédents, nous avons supposé, comme il était permis, que la surface algébrique / avait une position

quelconque par rapport aux axes de coordonnées; dans ces conditions, les points singuliers b de l'équation différentielle linéaire E, qui a joué un rôle capitfil dans toutes nos recherches, possèdent des propriétés d'une remarquable simplicité qui nous ont été très utiles. Enonçons seulement pour le moment une remarque importante pour le cas, peu intéressant au point de vue théorique général, mais qui peut se rencontrer dans des applications particulières, où les axes de coordonnées auraient une position particulière par rapport à la surface. Les points singuliers de l'équation (E) peuvent être alors de nature plus compliquée, mais les expressions (lo), sous la condition (q), sont encore évidemment des périodes de l'intégrale double. Toutefois, et c'est là le point que nous venons signaler, tous les cycles à deux dimensions de lu surface algébrique ne pourront pas toujours être engendrés de cette manière, en ramenant à un seul plan jk == <^<5, contrairement au théorème que nous venons de démontrer plus haut, dans la démonstration duquel la nature simple des points singuliers b a joué un rôle. Nous le montrerons sur un exemple dans la section suivante.