Revenons aux périodes précédemment trouvées

y^nii / ili{y)cly avec la condition

^miiliiy)^ i).

Elles se ramènent immédiatement à un nombre limité d'entre elles. Tout d^abord, parmi les 0/(jk), il J en aura, en général, ip qui sont linéairement indépendants. Ceci arrivera en particulier si l'équation E est irréductible (ce qui est le cas général). Supposons, en effet, que, parmi lesQi( r), il yen ait moins de ip linéairement indépendants, soient

il,, il,, ..., 12, (.s<2/?)

et supposons tracées toujours dans le plan de la variable y les coupures allant de a aux points singuliers b (comme au n'' 2). Considérons l'intégrale ù^[y), elle n'aura en a que s déterminations linéairement indépendantes, puisque la circulation autour

CHAPITRK XI

d'un lacet correspondant à 6, augmente simplement, d'une manière générale, to{)-) d'un multiple de Qi(y), et que, parmi ceux-ci, il n'y en a que s linéairement indépendantes. L'équation E aurait donc une intégrale qui n'aurait dans tout le plan que s déterminations linéairement indépendantes; elle serait donc réductible, contre rhypothèse faite. Dans les généralités qui vont suivre, il sera supposé qu'il y a a p fonctions il linéairement indépendantes.

Soient alors, pour fixer les idées,

les li correspondant respectivement aux points critiques

linéaiiement indépendants. Si h est supérieur à >,/>, on a nécessairement une identité

mti>,

m^^,,ii,,,-^m,^il,^^^o

{ln,^^ o ).

Envisageons alors les expressions An=--ni'{ i il,{y)dy -\-...-\-ni'lj, l iU,>{y)dy-\- nin t iluiy)dv

•^/'. '^,,, dl„^

qui sont des périodes. Or, si V est une période de l'intégrale double, on a

= yixi / ili(r)dy

2t^/ii/(^)-oj:

on pourra manifestement trouver une relation entre les P et les A, par l'élimination des quantités

/ iln(y)dy (/< = ■>./> + I, ..., M j,

ce qui conduit à une relation de la forme

/l=:2p-hl

À, les A/t et les Ov étant des entiers, et a étant difïerent de zéro. Puisque P et les A ne dépendent pas de r^, iJ en sera de même de

ce (jui entraîne la relation

Mais les ùy[y) (pour v = i , >,, . . . , 'i p) sont linéairement indépendants par hypothèse; par suite, on aura

Ov = O ( V = I , '2, . . . , ip ).

W résidte delà que, entre Pet les A, il y a une relation homogène et linéaire à coenicients entiers. Donc, nous sommes déjà assurés que le nombre des périodes est au plus égal au nombre des quantités A, c^ est-à-dire N — ip.

9. Nous pouvons aller plus loin. Il existe des relations homoj;ènes et linéaires à coefficients entiers entre les A, d'où résulte une diminution du nombre des périodes. Puisque l'intégrale double dont nous sommes partis est de première espèce, loules les solutions de l'équation E, désignées d'une manière générale par (o(j)/), ont leurs résidus nuls pour le point à l'infini. Soit alors to( y) une solution arbitraire de l'équation E; en prenant

ixi{y)dy

le long de l'ensemble des lacets b^, 62, ..., 6>, on obtiendra le même résultat que pour un contour autour du point à l'infini, c'est-à-dire zéro. La valeur de l'intégrale précédente est manifestement de la forme

I il^{y)dy-^...-^\t.y l ils{y)dy.

En l'égalant à zéro, on obtient une relation homogène et linéaire à coefficients entiers entre les A. En prenant pour w(jk) succès-

348 CHAIMTKE XI.

sivementa/? solutions indépendanles (o,, (o,. .... to.^p de E, on obtient 2p relations de cette nature.

La valeur de l'intégrale

^h(r)dx

autour du point ce, exprimée en fonclion des A, prend la forme

4p+i '^-ip+i + •..-+- V.N Ax.

les V étant des nombres rationnels. On obtiendra donc les 2 /> rela-

lons

( 1 ) vj,,^, A2/,-M ^ . . . -h vi^Ay =0 ( A = I , 9., . . . . 9,/)).

Une question imporlante se pose immédiatement : ces ip relations ^sont-elles (Ustinctes, c'est-à-dire peut-on en tirer ip des A en fonction des N — \p autres? INous allons démontrer que la réponse est affirmative, en raisonnant comme à la page 328.

Considérons, à cet effet, une intégrale arbitraire de seconde

îspèce

P(,r, j-, z) dx

(P polynôme en .x, y el z s'annulanl sur la courbe double) de la courbe entre .v et z représentée par l'équation

Les périodes de cette intégrale sont des fonctions de jk? satisfaisant à une équation linéaire du t^pe E. Les ip déterminations to,, cl)2, .... ^^xp linéairement indépendantes sont uniformes à l'infini, et l'on a par exemple les développements

(0/, = %lyn + rxl-^yn -1 +. . .^ ^ +. . .+ ^ l. . .

autour dej)' = ce. Comme nous l'avons vu, les ip résidas de l'intégrale double

(M) r rV{T,y,z)dxdy

relatifs à la courbe à l'infini de la surface, sont les valeurs de l'in-

légrale

autour du point à l'infini; ils ont donc pour valeur

Nous avons vu (p. 828) que, en nous plaçant dans un cas très général, on pourra certainement déterminer un poljnome

tel que les ip résidus de l'intégrale double

r r9(y)^'(^, r, z)dxdy

JJ Jï~ '

aient des valeurs arbitrairement choisies.

Ses ip résidus par rapport à la courbe à U infini de la surface algébrique seront donc linéairement indépendants au point de vue arithmétique.

Désignons alors par (j.^) r r<^'{oo.y.z)dxdy

(Q^ poljnome en x. jk, ^, s'annulant sur la courbe double), une intégrale double jouissant de la propriété ci-dessus. Elle va nous servir à démontrer que les 1 p relations S sont distinctes.

10. Les équations différentielles linéaires E et E' relatives aux périodes de l'intégrale abélienne (8)

et de l'intégrale

ont même groupe.

Désignons par

les expressions formées avec l'intégrale (i 2) de la même manière que

Qf.r,

z)dx

Qi(:r

z)dx

35o CHAPITRE XI.

les A des n'"^ 7 el 8 avec Tinlégrale (2). Les i p résidus de (12), relalifs à la courbe à l'infini, seroni égaux à

(1,3) v5,,+ ,A|/,^,-r-...-^v(;A; {h = i,->., ....-ip),

les nombres rationnels v étanl les mêmes qu'au n" 9, puisque les ^^'oupes des équations difrérentielles linéaires E et E' sont les mêmes; désignons par tc/i l'expression (i3).

Nous allons voir de suite que les 'i p relations S du n"* 9 sont distinctes. Si, en efVet, celles-ci ne pouvaient être résolues par rapport à 1 p des A, on pourrait trouver des entiers k^. (non tous nuls) tels que l'on ait

identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les lettres A. 11 en résulte que Ton aurait

ce qui est contre l'iiypothèse que les u^ ne sont liés par aucune relation homogène et linéaire à coefficients entiers.

La réponse à la question posée au numéro précédent est donc bien affirmative. Par suite, le nombre des périodes de notre intégrale double de première espèce est au plus

puisque, entre les IN — ip périodes A, il existe ip relations distinctes homogènes et linéaires à coefficients entiers.

La question qui se poserait maintenant serait la recherche du nombre des périodes, distinctes de l'intégrale double la plus générale de première espèce d'une surface donnée. Mais c'est une question que nous n'aborderons pas en ce moment et c'est dans une tout autre direction que nous allons nous engager.

Nous allons voir dans les sections suivantes que c'est la combinaison

qui est véritablement intéressante, et nous trouverons une rela-

PÉRIODES DES ITSTÉGUALES DOUBLAS. 35 1

tion remarquable entre les deux nombres p^ et o et la combinaison précédente.

II. — Généralisation des résultats précédents; sur certains cycles à deux dimensions de la surface, situés à distance finie.

11. Nous sommes, dans la section précédente, partis d'une intégrale double de première espèce. Que deviennent les considérations, dont nous avons fait usage, quand, au lieu d'une intégrale de première espèce, on considère une intégrale double quelconque de la forme

'• f \'{.r,y, z)d.T dy

If

^(•^5 r» -) étant un poljnome quelconque s'annulant sur la courb( double. Les périodes de l'intégrale abélienne

P(x,j^, z)dx

fi

relative à la courbe f[x, y, z)=^o entre x el z sont alors des fonctions de y. Ces périodes sont au nombre de

et satisfont à une équation linéaire E'. Parmi ces périodes, m — i correspondent aux points à l'infini et sont des polynômes eny{voin page 217 de ce Volume). Ainsi, l'équation E' d'ordre ip-\-jn — \ admet comme solutions m — \ polynômes tt^, -7^:3, ..., tt,/,, qui n'existaient pas tout à l'heure pour l'équation E.

En chacun des points singuliers existe toujours une intégrale li avec les mêmes propriétés, et si entre Q< , Û., . . . , il^ il existe une relation

mi^i H-. . .4- uisils = 0 (les m entiers),

l'expression

mi

/ iii dy -H //I2 / ^l^dy -^...^ rris \ ils dy

ne dépendra pas de. a. 11 pourrait arriver que la portion P« de la

surface de Riemann correspondant à /(^, «, :;) = o {voir n'^ 3), limitée par les bords

contînt un ou plusieurs points à l'infini; dans ce cas, l'intégrale double n'aurait pas de sens à cause des points à l'infini, mais l'expression précédente n'en aurait pas moins un sens.

Faisons maintenant l'hypothèse, correspondant au cas général (•), que pour une intégrale arbitraire de la forme indiquée il y ait ip-^-ni — i fonctions ^{y) linéairement indépendantes, soient

correspondant respectivement aux points singuliers b de même indice; elles formeront un système fondamental de l'équation différentielle linéaire E'. Envisageons une autre lettre 0, soit 1)^, où s est supérieur à ip -^ m — i. On aura la relation identique

et l'expression correspondante, indépendante de a^ (i3) mi ril,{y)dy-r-...-\-ni, f il,{y)dy.

11 est facile de voir que les contours

limitent, sur la surface de Riemann /(^, y, :;) =o, une portion de surface ne comprenant pas de points à l'infini, et, par suite, l'expression (i5) est une période correspondant à un cycle à distance finie. Pour le démontrer, rappelons que, sur une surface de Riemann à m feuillets, on peut tracer 2/? + m — i contours à regarder comme distincts, si dans la déformation ces contours doivent nécessairement rester à distance finie, et que tout autre contour peut se ramener à une somme de ceux-là, les déformations se faisant toujours sans passer par l'infini.

(') Dans tout ce qui va suivre celte condition sera supposée satisfaite. Nous la discuterons dans la Section IV de ce Chapitre.

Les contours répondent bien à ces conditions puisque les >.p-\-ni-—\ fonctions

sont linéairement indépendantes. Ensuite, tout autre contour T^ (ou un de ses multiples) peut se ramènera une combinaison des F précédents, sans passer par l'infini. Donc nous aurons sur la surface de Riemann une portion P, n'ayant pas de points à l'infini et limitée par

cette portion P adjointe aux 2/? -f- m surfaces ouvertes, que nous avons fait correspondre aux contours précédents, nous donnera le cycle fermé à deux dimensions, tout entier à distance finie, qui donne la période (lo), comme nous voulions l'établir. Nous obtenons donc de cette manière

périodes pour notre intégrale double.

La théorie développée plus haut (n«8) a ici son analogue. Toute période P de l'intégrale double correspondant à un cycle, situé à distance finie, est encore de la forme

y II, f ilk{y)cly avec l'identité

A chaque valeur s plus grande que 2/? -h ni ~ 1 correspond, d'après ce qui précède, une période P^, et il y a entre P et les P^ une relation homogène et linéaire à coefficients entiers.