Nous avons considéré l'intégrale double

(^6) r rP{x,y,z)dxdy

où p est un polynôme quelconque s'annulant sur la courbe double.

Nous nous rapproclicroiis des résultais obtenus dans la section précédente, si nous supposons que l'intégrale abélicnnc

rV(:v,y,z)

^''^ J -^rr '

relative à la courbe /(^^ 7", ^) = o entre x et z, est de seconde espèce. L'équation E' est alors seulement d'ordre 2/;, et nous

avons de nouveau

N — ip,

expressions correspondant à 2/j -h 1 fonctions 1>. A la vérité, elles ne peuvent être toutes considérées comme des périodes, à cause des points à l'infini du cycle correspondant, à moins que l'on ne veuille élargir le sens du mol période.

Il résulte de ce que nous avons dit au numéro précédent que, i)our m — 1 des N — 2/> expressions trouvées, le cycle correspondant s'étend à l'infini, de telle sorte que l'on ne peut ])as dire en général que l'intégrale double prise sur ce cycle ait un sens.

Un cas particulier n'est pas sans intérêt.

Supposons que l'intégrale abélienne (17) soit de première espèce. Alors il n'y ;i plus aucune difficulté relative aux points à l'infini, et les > — 'Ap cvcles à deux dimensions conduisent à une intégrale double ayant un sens déterminé. Parmi les IN — 2/> valeurs de ces intégrales, il y en a 2/9 qui sont les résidus de l'intégrale double par rapport à la courbe à l'infini de la surface. Nous avons rappeléà ce sujet (n"9) les résultats de la page 217, d'après lesquels ces résidus sont les valeurs de l'intégrale

(.r)dy

autour du point ce.

13. Revenons au cas général du n" 11. Les N — 2/y — {/n — 1) périodes, que nous a^ons ti'ouvées, sont-elles distinctes?

Nous allons démontrer que ces périodes sont distinctes, c'està-dire ne sont liées par aucune relation bomogène et linéaire à coefficients entiers, si Vintégrale double

r rv{x, y, z) . .

est arbitraire (P étant toujours un polynôme s'^annulant sur la courbe double). Tout d'abord, dans une telle intégrale double, on peut, comme on l'a vu (p. 327), supposer le degré du polynôme P limité, puisque par la soustraction d'une expression de la forme

U et V étant des polynômes en j;, 3 à coefficients rationnels en y (s'ann niant sur la courbe double), on peut limiter le degré de P, et que dans la nouvelle intégrale les périodes seront les mêmes (pour ce point voir la section suivante de ce Chapitre). Soit alors l'intégrale double (18), ainsi réduite, renfermant s paramètres essentiellement distincts a,, ao, ..., Xs, c'est-à-dire telle que, quand les a ne sont pas tous nuls, elle ne se réduit pas à la forme (19). Admettons maintenant que les périodes trouvées de (18) soient liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. 11 est presque évident que ces coefficients entiers ne varieront pas avec les paramètres a qui sont susceptibles de variation continue. Pour le voir bien nettement, désignons par

Pî, Pf, ..., PJJ- [;a=N-.2/>-(m-uJ

les périodes de (18) quand on fait a, = r et 7.0 = ...= 7.^=1 o, et d'une manière générale par

les périodes quand y./= i, les autres a étant nuls.

Les P', Y^f, . . ., P^, pour une valeur fixe de /, ne seront pas nulles à la fois, car alors l'intégrale correspondante à y.i= 1, les autres a étant nuls, n'aurait pas de périodes et serait par suite réductible à la forme (kj), comme il sera démontré dans la section suivante.

Si les périodes de (18) ne sont pas distinctes, on aura, par hypothèse, quelles f[ue soient les constantes arbitraires a,

les M étant des entiers qui ne sont pas tous nuls. Les P sont des nombres tixes; les entiers M pourraient-ils dépendre des variables continues a? Donnons à a des valeurs déterminées, mais arbi-

Iraireiiienl choisies. On a l'égalité ci-dessus. H faudra nécessairement que tous les coefficients des a soient nuls, c'est-à-dire que

En effet, dans le cas contraire, on pourrait exprimer un des a à l'aide des autres et des quantités P^ or, ceci est impossible, car on peut certainement trouver s nombres irrationnels a^ tels qu'aucun d'eux ne soit susceptible de s'exprimer rationnellement à l'aide des autres et de nombres déterminés P (en nombre fini). Do là résulte que la relation supposée entre les périodes de (18) est toujours la même, quelle que soit cette intégrale double.

Envisageons alors une intégrale déterminée, d'ailleurs prise arbitrairement, du type (18). En conservant aux 0 la même signiiicalion que dans tous les numéros précédents, une relation entre ces périodes se traduirait par une égalité de la forme

nii I ili{y) dy-r~...-h /m / ^^.n ( f ) dy

les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls (' ).

Supposons alors qu'au lieu de l'intégrale (18), nous partions de

riutégrale

^ /• ro{y)V(x,y,z)dxdr^

cp(.')-) élant un polynôme en r. D'après ce qui précède, nous aurons, (|uel que soit ce polvnome, la relation

//Il

f '^{y)ili{y)dy-\-...-r-/ny i o(y)ilyiy)fJy = o

avec les mêmes entiers m que dans la relation (^o).

Ainsi, en changeant seulement un peu les notations, ou aurait (//<,'. 23) des fonctions déicrminées B,(r), •••, B^ij), holo-

(') Il esL essentiel de remarquer qu'aueun des ii,(y) n'est identiquement nul, comme on le reconnaît en calculant ii,(^) qui est dillerent certainement de zéro, si, comme on peut le supposer, le polynôme P(a7, y, z) ne s'annule pas aux points de la surface / où le plan tangent est parallèle au plan des zx.

morphes respectivement de a eu ^< , de a en 6^, . . . , de a en h^ (dont la somme est d'ailleurs identiquement nulle et qui ne sont pas toutes nulles), avec la relation,

J^a pli

qui aurait lieu, quel que soit le polynôme 'f (jk). H est aisé de voir que cela est impossible. Ceci entraînerait en elFet les relations en nombre infini

<R) / y'nB,{y)dy^...+ / y'n\^^{y) dy = o

Or, envisageons la somme

Bn(j)