I. V — se

où œ est une variable arbitraire, correspondant à un point non situé sur les courbes d'intégration abi , . . • , aby. Il est certain que la somme précédente représente une fonction de x, qui n'est pas identiquement nulle. En effet, d'après une théorie élémentaire, ia fonction de x

éprouve l'accroissement

i'Ki^h{x) quand le point x va d'un bord à l'autre de la coupure bha.

358 CHAPITRE xr. .

Ceci posé, pour x trrs grand, on pent développer l'expression ('2 ^) suivanl les puissances croissantes de -> et les coefficients des différentes puissances de ; sont précisément les premiers membres des relations (R). L'expression (20») serait donc identiquement nulle, ce qui est contradictoire. Le théorème est donc démontré.

1 i. PariJii les N — 2 p — [ni — 1) périodes distinctes que nous venons de trouver, il y en a 2/? qui sont les résidus de l'intégrale double relatifs à la ligne à l'infini de la surface; ces résidus correspondent à l'intégrale

i,i( y)(tf

prise autour du point od, en prenant pour w(y), 1 p intégrales de l'équation E' formant un système fondamental avec les m — i polynômes désignés par 7: au n" 11. Si l'intégrale double est arbitraire, ces 1 p résidus sont certainement distincts ; on le démontre en raisonnant comme au n° 9.

Nous concluons de là, qu'e/i ne comptant pas les périodes correspondant aux résidus relatifs à la courbe à l^ infini de la

surface, nous avons

N — ip — (m — \)

périodes distinctes correspondant à des cycles à distance finie. En particulier, envisageons une intégrale double générale de seconde espèce, du type des intégrales précédentes.

P(:/', y^ z) dx dy

comme cette intégrale, étant de seconde espèce, n'a pas de résidus, le nombre de ses périodes correspondant à des cycles à distance finie est égal à

N — 4P — (ni — i).

15. Dans tout ce qui précède, il a été essentiellement supposé que la surface occupait une position arbitraire par rapport aux axes; d'une manière plus précise, les plans tangents à la surface, parallèles au plan des zx, correspondent à des valeurs y z=^ b qui

PÉRIODES DES INTÉGRALES DOURLES. ÔOQ

sont des points singuliers de l'équation difiTérentielle E' jouissant des propriétés très simples sur lesquelles nous nous sommes appuyés. Nous avons déjà énoncé au n" 7 la remarque, que les choses seraient moins simples si la surface avait une position particulière par rapport aux axes.

Vérifions-le sur la surface

qui nous donnera d'ailleurs l'occasion d'exemples d'une autre nature particulièrement instructifs (^). Envisageons la courbe entre x et z représentée par l'équation précédente. Nous avons, pour cette courbe, deux cycles T, et F^ ; en faisant décrire k y dans son plan un chemin fermé convenable, nous ramenons l\ et T., à leurs positions initiales, et ainsi se trouvent engendrés deux cycles à deux dimensions pour S situés à distance finie. Les points criti([iies relatifs k y sont ici les trois racines d<

mais ces points singuliers ne sont pas de la nature de ceux que nous avons rencontrés dans le cas général. On ne trouve ici que deux cycles à deux dimensions. D'ailleurs ces cycles existent bien elfectivement, je veux dire ne se ramènent pas à zéro. Envisageons en effet l'intégrale double

X dx dy

(pi'on vérifie aisément être de seconde espèce, ce ([ue nous allons retrouver d'ailleurs plus bas. Calculons sa valeur le long du cycle précédent. Posons à cet effet

d'où se déduit

^ :^ y l — yi ,^ l — t'i.

L'intégrale double devient alors

JT^'-^'-v-h-^"^"-

(') E. Picard, Sur les périodes d'une intégrale double de fraction rationnelle [Annales de l'École Normale supérieure^ '9<^^)-

36o CHAPITRi; M.

Sous celle forme, les périodes sonl calculées de suile. I^n effet, désignons par to et (.oz des périodes de l'intégrale simple

/ V^—y^'f^yi

et par Q el i>£ les périodes de l'intégrale simph

t dt

r t dt

J VT^t

Nous aurons pour périodes de l'intégrale double correspondant aux. deux cycles à deux dimensions indiqués plus liaul

toil el toile.

(s =: racine cubique imaginaire de l'unité); ces expressions étant différentes de zéro, les deux cycles existent effectivement.

En permutant x et y on a deux autres cycles à deux dimensions, et l'on peut montrer qu'ils ne se ramènent pas aux deux premiers. En effet, l'inlégiale double

r Çydxdy

prise le long de l'un ou l'autre des deux premiers cycles est nulle, puisque l'intégrale double ex[)rimée à l'aide de t' et l devient ici :

Vi - /^

qui est nulle le long des cycles à deux dimensions de la première catégorie. Au contraire, en considérant l'intégrale double

y dx dy

le long des cycles de la seconde catégorie, on aura des valeurs dillerentes de zéro. Par suite, tous les cycles à deux dimensions ne peuvent être formés en faisant la réduction avec un plan y ^=. a ., comme nous voulions le montrer. Mais ceci n'est pas en opposition avec le tbéorème général démontré au n" 6, car les plans

y = consl.

occupent une position spéciale par rapport à la surface.