sera intéressant de faire, sur la surface
une vérification du théorème général du n" 14 sur le nombre des ])ériodes d'une intégrale double générale de seconde espèce correspondant à des cycles à distance finie.
Pour une surface générale du troisième degré, on a
/M — 3, N == lA, /> — ' ;
l'expression
sera ici égale à 6. Nous devons donc pouvoir trouver .v/x périodes distinctes pour une intégrale double arbitraire de seconde espèce de la surface (1"). Or. envisageons l'intégrale double
'■''^ ff
^:fZ±lZ±^^l^d^dr
A, B, C étant trois constantes arbitraires.
Nous montrerons d'abord que cette intégrale est de seconde espèce. Prenons par exemple,
ffi
— dx dy (qai correspond à A — G — o).
L'identité
rend manifeste que l'intégrale est de seconde espèce. Les deux autres intégrales se déduisant de celle que nous venons d'examiner par des permutations de lettres, il n'est pas douteux que l'intégrale (23) est de seconde espèce. La possibilité de cette permutation est évidente pour
"^ ' '^ dxdy (A = B = o).
l^our la troisième intéiirale
-^ dx dy
363 rFIAPITRR M.
il suffît <Ic remnr(|iier que rélémeiit
prnt se remplacer par
dv dz
;l nous avons par suite Tintëgrale
(jui est (Je même type que les précédentes.
Calculons maintenant les périodes de ( 23). La première catégorie de cycles à deux dimensions, dont nous avons parlé au n° 15, donne les périodes
(24) Ccoii, Ctoils,
les intégrales doubles ayant pour coefficients A et B, donnant des périodes correspondantes égales à zéro.
Les CNcles de la seconde catégorie (pour lesquels la réduction est faite avec un plan j; == a) donneront, dans les mêmes conditions, les périodes
(23) lîwli, lîouilî.
Lnlin, on pourra encore former deux autres cycles, en faisant la réduction avec un plan :: = a, et cela toujours de la même manière. Ils donneront les périodes
(2(i) Aco<>, Aw<>£.
Par suite, nous twoiis Jornic, pour C intégrale double de seconde espèce (l>.'3), six périodes distinctes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance finie, représentées par les expressions {'■i\), {'J'-^)^ ('■^^)-
PÉRIODES DES IMÉGRALliS DOUBLES. 3G3
III. — Comparaison entre le nombre des périodes des intégrales doubles de seconde espèce et le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce; relation fondamentale entre ces deux nombres.
17. Nous allons revenir mainlenaul au j3roblème dout nous nous sommes occiijjés au Cliapilre précédeuL : reconnaître, étant donnée une expression
fz
(Q s'annulant sur la courbe double), si elle est susceptible de se mettie sous la Ibrnie
dk d^
dx oy
Comme nous l'avons signalé au Chapitre précédent, le nombre p joue un rôle important dans ce problème.
Le cas le plus simple est celui de ^ =^ i , dont nous nous occuperons tout d'abord, en nous reportant particulièrement pour les notations au n^ 10 du Chapitre précédent. Nous avons, si le problème est possible, l'identité
Q àki dHi /: ~ ôx ' ôr '
où Bi
est de la forme
Bi ^ «lii 4-.
. .-+- a^^iA^p -+-c^J^
les acte étant rationnels en y. Les 1 et les J sont déterminés, comme il a été expliqué aux n'"* 10 et 12 du Chapitre précédent. On a
les Q et ^ étant des polynômes en ^ et ^ à coefficients rationnels en y. Quant à A,, c'est une fonction rationnelle oc^y^ z, dont il est inutile de donner la forme.
:^6^^ CHAPITRi: XI.
Posons, pour abréger,
Q' étant un polynôme en j;et :; à coefficients rationnels en y.
18. Pour une valeur Cwe, arbitraire d'ailleurs de y, intégrons les deux membres de l'identité (27) le long d'un cycle relalif à la courbe /(^, y, z) =^ o entre x et z. Nous aurons d'une manière générale ^
to et lù' étant les périodes correspondantes des deux intégrales abéliennes
Jln '' J-fT-
J.a variable y partant de a, tournant autour d'un point bi et revenant à son point de départ, nous déduisons de suite par intégration de l'identité (28)
(■2(j) f ili{y)dy=H\{a),
en prenant pour to(jK) une période augmentant de ^^(7) par une rotation de y autour de bi (nous nous servons des notations du commencement de ce Chapitre). Quant à OJ (y) il a la même signification par rapport a l'intégrale
C Q' dx (30) /^,
(jue ili{y) par rapport à l'intégrale
Les égalités (29) relatives aux divers points singuliers b vont nous permettre de faire une remarque importante. ï)'après la première section de ce Chapitre, les périodes étudiées de l'inté-
lale double
Q(a7, y, z)dx dy
sont de la forme
^ {jL/ / il,(y) dy avec l'identité ^ \>-i^li{y) = o .
Les équations différentielles linéaires relatives aux. deux intégrales (3o) et (3i) ont le même groupe. Si, entre certains 0^- , on a l'identité
on aura nécessairement l'identité
Or on a
Par conséquent, toutes Les périodes {^) de V intégrale double sont nulles. Ainsi, l'identité (27) entraîne la conséquence que toutes les périodes de l'intégrale double
r r(^Jc,y,z)clxdy
sont nulles. 11 s'agit d'ailleurs, on ne doit pas l'oublier, de surface pour laquelle 0 = 1.
19. Nous démontrerons maintenant la réciproque du théorème précédent :
Si toutes les périodes sont nulles pour P intégrale double qui précède, on peut mettre —, sous la forme
dx Oy
Nous allons d'abord chercher si, les périodes étant supposées
(') Quand nous parlons de périodes, nous parlons toujours des périodes étudiées plus haut, relatives à des cycles tout entiers à distance finie, et qui sont en nombre IN — 2/? — {m — i ).
366 CHAPIIKK XI.
iiulles, on peut délerniiner les a el les c lalionnellemeiil en j^, d( lelle sorle que
^ h, 12^ (jk) correspoiidaul à l'inléj^rale
(y dx
r (y cL J ~7I
ou
•-rr = «1 11 -h . . .-r <^2y.> ^2/^ -H C2 J2 "i- . . . -r- C^^ J /«,
avec les nolalions rappelées au n" 17. Désij^nons d'une manière générale par
i>J; et Yf les valeurs, analogues à 11/, se rapportant aux intégrales
écrivons les JN relations
qui vont déterminer les xp + m — *^ fonctions dejK
«1, •.., ^'2/;, Co
l^es IN relations (R) se réduiront à ip-\-m — i d'entre elles, puisque toutes les périodes sont supposées nulles; car, en ajoutant plus de '2p-\-m — i des relations précédentes multipliées par des entiers (xtels que Su./Q/(jk) = o, on obtiendra zéro identiquement. Supposons, pour fixer les idées, que Ton ait des relations distinctes en faisant i successivement égal à
I, •>., . . ., ip -{- m — I.
Le déterminant des coefficients des ip-{-m — i inconnues a et c dans ces relations ne sera pas identiquement nul, car alors il y aurait une combinaison linéaire des intégrales
r Qj,dx^ r qj^dx
J fi J fi
cjui, n'a}'anl pas de période, serait algébrique, ce qui est incompatible avec la façon dont ont été formées ces intégrales.
Les relations (R) permettent donc de déterminer les a et les c, mais les valeurs ainsi obtenues sont-elles fonctions rationnelles de y"^. Il est aisé de voir qu'il en est bien ainsi; il suffit de montrer que ces fonctions sont uniformes, car aucune singularité essentielle ne se trouve dans les expressions figurant dans les calculs qui précèdent. Or, quand on fait décrire à y \\n chemin fermé entourant le point singulier bg, les
et l'intégrale
f' ^Hy)dy se reproduisent respectivement aux termes additifs près
v^Q^^, v.,rf et v^s- / ildy)dy (v,, entier).
L'ensemble des relations (H) n'a donc pas changé, quand on substitue aux coefficients des a et des c leurs nouvelles valeurs après que y^ partant d'un point, v revient après avoir décrit un contour quelconque. Ceci suffit évidemment à établir que les a et les c sont des fonctions uniformes, et, par suite, rationnelles dejK.
Nous avons donc déterminé une fonction rationnelle B, dex,y et 5, en posant
'''-fi-
Montrons maintenant que l'on peut déterminer une fonction rationnelle A, de x^y^ ^, telle que
Q (^Bi dXi
/- ~ ày ~" àx '
11 suffit défaire voir que l'intégrale abélienne
regardée comme appartenant à la courbe entre ^ et ::,
n'a pas de période. Or c'est précisément ce fait qu'expriment les relations (R), qui nous ont servi à déterminer les a et c figurant dans B,, ou du moins ce (ail résulte de leur dérivation par rapport à y. Il est donc certain que nous pourrons déterminer rationnellement B, en x,y et :; satifaisant à la relation précédente, comme nous voulions l'établir.
Il est important de remarquer que, dans la démonstration de la réciproque, nous ne nous sommes pas servi de ce que p = i . Quand les périodes sont toutes nulles pour l'intégrale double
ISt/^'"
l«0 J: Ci
on peut mettre -~ sous la forme indicpiée. INous pouvonc donc énoncer la proposition suivante :
Pour que L'expression ^, puisse se mettre sous la forme
â\ ôB dx ôy
il suffit que toutes les périodes de l'intégrale (a) soient nulles. Cette condition suffisante sera, de plus, nécessaire s'il s'agit d'une surface pour laquelle le nombre p égale l'unité.
^0. Le théorème précédent va nous conduire à une proposition très importante relative aux surfaces pour lesquelles p = i.
En écrivant que toutes les périodes de l'intégrale (a) sont nulles,
nous avons
N — ( ip -+- m — i)
égalités à écrire. Ces égalités sont-elles bien distinctes? C'est une question qu'il nous faut examiner tout d'abord. iNous avons rappelé (n" lo) que toutes les intégrales de la forme (a), où Q est un polynôme en x^ y et z s'annulant sur la courbe double, se rapmènent par la soustraction d'une intégrale
(j[m)-mh"
(U et V étant des polynômes en .r et ^ à coefficients rationnels en y) à une expression de la même forme, mais où le degré du
PÉRIODES DES I>TÉGUALES DOLBI.KS. 869
poljnome Q est limité. Soit donc
r rVix.y, z)dxdy ^
P étant un polynôme, s'annulant toujours sur la courbe double, dont Je dej^ré soit ainsi limité. Le [)oijnome P ainsi réduit renferme un certain nombre de paramètres essentiellenjent distincts a,, a,, .... a^ {voir n" 13). La question est la suivante :
Les N — 2/j — (m — i) périodes de l'intégrale ([i) sont des polynômes linéaires et homogènes en a,, ao, . . . , a^; ces polynômes sont-ils algébriquement distincts, c'est à-dire aucune combinaison linéaire à coefficients constants de ces polynômes n'est-elle identiquement nulle par rapport aux paramètres a? Nous allons montrer qu'il en est bien ainsi. Plaçons-nous, en eft'et, dans l hypothèse où les polynômes en a,, a^,, . . ., a^ ne seraient pas distincts. Pour une intégrale double arbitraire de la forme (a), les périodes se ramènent aux périodes d'un(; intégrale ( ^), puisque l'intégrale soustraite pour faire la réduction n'a pas de périodes; les périodes de Tintégrale ([3) étant, dans notre hypolhèse, liées par une certaine relation linéaire dont les coefficients sont indépendants de a<, 7.0, . . . , ^.5, il en sera de même poui- les périodes de (a). Nous arrivons donc à la conclusion que les périodes
Hi, P2, ..., P.N-
1p—{tn—\)
de l'intégrale (a), où Q est un polynôme uniquement assujetti à passer par la courbe double, sont liées par une relation
(3-2) X,Pi-H X2P2 + . • .H- X.\2/^-(,«-i)PN-2/^-(//i-l) = O,
les A n'étant pas tous nuls et étant indépendants de Q. Oi-, il est aisé de voir que cela est impossible. Nous emploierons un raisonnement tout à fait semblable à celui qui nous à réussi au n^ 13 pour un but analogue. Q ayant d'abord une valeur déterminée, nous envisageons une intégrale double où Q est remplacé par
en désignant par 'f(jK) un polynôme arbitraire. Alors, en raisonnant comme au n° 13, la relation précédente entre les périodes
3nO CHAPITRK XI.
nous conduit à une relation devant être vérifiée, quel que soit le poljnonie 'f (y),
les m étant des constantes (et non pas des entiers, comme au n" 13) qui ne sont pas toutes nulles. Les Q sont des fonctions déterminées, qui correspondent à l'intégrale fa) dont on est parti. Il est essentiel de remarquer que tous les termes du premier membre ne peuvent disparaître, par suite de ce que les m seraient nuls. Soient en effet, pour l'intégrale (a) dont on est parti, les périodes P formées de la façon suivante, en supposant
linéairement indépendants. On pose
l'entier uo^4.,„,+a n'étant certainement pas nul. Si donc, dans la relation (P)2),X/, n'est pas nul, on trouvera certainement dans (33) un terme en
et, par suite, la constante m^p+m-i+h n'est pas nulle. D'ailleurs, aucun des Q n'est identiquement nul.
La relation (33) devrait être vérifiée, quel que soit le polynôme C2( r); il n'v a qu'à raisonner, comme au n" 13, pour voir que cela est impo*^5sible. Par suite, il est bien établi que, en écrivant que les N — -A/) — (w — i) périodes de l'intégrale
V(x, y, z)dxdy
sont nulles, on obtient N - 2^(/;^ — i) relations distinctes
Il résulte de là que l^on a
<> = N — ip — (ni — i).
Si en effet s était inférieur à N — ip — {m— i), on n'aurait pas ]\ — 2/> — {m — i) relations distinctes, en écrivant que les périodes de l'intégraJe (a) sont nulles. D'autre part, si s était supérieur à N — 2p — {m — 1), il y aurait au moins une intégrale de la forme (,â), où tous les paramètres a ne seraient pas nuls, et qui se réduirait à une intégrale du type
ce qui est en contradiction avec la définition du nombre s.
