Proposons-nous de calculer le nombre p» des intégralei

doubles distinctes de seconde espèce. Ces intégrales rentrent dans

les intégrales du type (p), dépendant des s paramètres a. Il faut

écrire d'abord que les intégrales de ce type sont de seconde espèce;

ceci donnera exactement 2/> relations, car nous avons vu que,

sans des conditions très générales, les i p résidus d'une intégrale

double de la forme en question par rapport à la courbe à l'infini

de la surface ne peuvent être liés par aucune relalion. Nous avons

donc le nombre

s — ip

d'intégrales du type (^), qui sont de seconde espèce. Par suite, s — ip représente le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce. D'où le théorème suivant qui est fondamental dans la théorie :

Soit une surface f pour laquelle p=i- Le nombre Oq des intégrales doubles distinctes de seconde espèce est donné par

l'égalité

Po=N — 4/0 — (/^ï — I).

ou encore :

Le nombre po est égal au nombre des périodes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance Jinie de l'intégrale double générale de seconde espèce de la forme toujours considérée dans notre analyse

P(.r, j, z)dx dy

Il osL remarquable que cet (-nonce ait préciscment la même fornu' que dans la théorie des courbes algébriques, où le nombre des intégrales abéliennes distinctes de seconde espèce est précisément égal au nombre des périodes d'une intégrale de seconde espèce. Mais la généralisation n'était pas immédiate, et elle est43lulôt dans la (orme que dans le fond, les périodes n'ayant pas des deux côtés absolument le même caractère; elle n'est d'ailleurs exacte que quand p=i. Il nous resle à examiner le cas où p est différent de l'unité.

22. Reportons-nous au n" lodu Cbapilre précédent. On javu que, à un ensemble de lignes

Cl, G2, . . ., -Cp-i

correspondant au théorème fondamental de la page 24' > <^" peut faire correspondre des expressions

71' jV •••' TT

(Qi polynôme en x, y, z s'annalant sur la courbe double), réductibles à une somme de deux dérivées partielles de la forme tant de fois écrite (les fonctions sous ces signes de dérivation devenant infinies pour une ligne C). De plus, toute autre expression

(Q polynôme en ï", JK, z s'aunulaut sur la courbe double), réductible à une somme de deux dérivées partielles, sera de la forme

7J ' àj- [fl ) -^ ày \f,

les UL étant des constantes, U et V des polynômes en x el z, d

coefficients rationnels en jk, sannulant sur la courbe double.

Ceci rappelé, nous pouvons reprendre avec les modifications

nécessaires l'analyse du numéro précédent. INous avons toujours le

nombre

des intégrales de seconde esj)èce du type (^'i), dont aucune (;ombi-

naison linéaire n'esl réductible à une intégrale du tjpe envisagé plus haut

Mais, parmi ces s — ip intégrales, figurent des intégrales de la forme

r Th dx dy,

où l'on a

„ iaiQ,+...-+-ap-iQp-, ^ ^ / U \ ^ / V N 7z àx\f\) ' dy\fL

Il faut donc retrancher le nombre p — i de s — ip pour avoir le nombre des intégrales doubles distinctes à^ seconde espèce, ce qui nous conduit de suite à la formule

po = N — 4 /? — ( /« — I ) — ( p - 0-

On voit que le nombre p intervient dans l'expression de po- Nous pouvons alors énoncer le théorème fondamental suivant qui comprend comme cas particulier le théorème du numéro précédent.

Le nombre po est égal au nombre des périodes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance finie de r intégrale double générale de seconde espèce de la forme

If

^lix, y, z)dx dy fi

(Q poljnome en x^y^ z s'annulant sur la courbe double), dimi

nué de ^ — i .

Dans la formule qui exprime le théorème précédent, le nombre po est un invariant absolu, c'est-à-dire un invariant pour toute transformation birationnelle. Nous avons déjà dit qu'il n'en était pas de même de o.

i^d. Nous avons vu ( n" 19) que, si toutes les périodes d'une in-

tégrale double

fl

sont nulles, on a une identité de la forme

Q(^, V, ^) dA àB ^ -'' /c ~ àx ^ dy'

mais cette condition, suffisante pour l'identité précédente, n'est nécessaire que si p = i .

Quand p est supérieur à un, une intégrale

^^P^dxdy,

où -^ a la forme (34), peut avoir des périodes difterentes de zéro. Il est intéressant de voir à quel fait analytique est due cette circonstance.

On a vu, au n" 15 du Chapitre précédent, qu'à chaque courbe G du théorème fondamental qui conduit à la définition du nombre p (p. 2/ji), correspond une fonction

-^ ( Qi polynôme en x, y et ^),

telle que

fz àx\gifU ày\§: if- Mi et N/ étant des polynômes en x et z^ k coefficients rationnels en y. Quant à gi c'est un polynôme en x et y, et la courbe j^/ = o donne la projection de G, sur le plan des xy. Les deux quotients

M, ^ N, — et —

deviennent seulement infinis à distance finie sur la courbe G/ (en dehors de lignes r = const.).

De plus, il résulte de l'identité (35) la conséquence suivante : pour une valeur donnée de y, l'intégrale

relative à la courbe entrer et^, f{x, y, z) = o a, comme points singuliers logarithmiques à distance finie, les points de la courbe G/ correspondant à la valeur envisagée dey; pour tous ces points la

période logarithmique a la même valeur qui est une constante T indépendante de y. Pour l'établir, il suffit d'intégrer les deux membres de l'identité (35), multipliés par dx dans le plan de la variable complexe {y ayant la valeur envisagée d'ailleurs arbitraire) le long d'un petit contour entourant un point M. Le premier membre donne zéro et le second nous apprend que la dérivée par rapport à jk de la période logarithmique en question est nulle, ce qui justiiie bien la remarque énoncée.

Ceci posé, à l'intégrale (36) correspondent des fonctions que nous allons appeler Q', jouant par rapport à (36) le même rôle que les Q par rapport à l'intégrale

mais, taudis que pour cette dernière il y avait entre plus de .) p -1- /?^ — 1 fonctions Q une relation linéaire et homogène à coefticients entiers, soit

la relation correspondante pour l'intégrale (36) sera

^ ;jL/ L>',- ( y ) -i- kV =o {k cntierj ;

caria constante T est une période de l'intégrale (36)^ qui n'avait pas son correspondant dans l'intégrale ci-dessus.

Il est alors facile de se rendre compte que certaines périodes de l'intégrale double

ff^;d^cly

puissent être différentes de zéro, en reprenant l'analyse du n" 18. Nous avons, comme dans ce numéro,

y^ a, y iliiy ) dy - ^ Vi'^l't{a) [^^ V-i'-^iiy) = o] ;

mais, ici, le second membre n'est plus nul nécessairement ; il est égal à — kY qui f)eut être différent de zéro. On se rend donc bien compte que toutes les périodes puissent n'être pas nulles dans le cas actuel correspondant à p > i ; de plus, on voit que l'inté-

grale (3-) a une seule période qui est multiple de la quantité Y relative à l'intégrale (36).

2i. On pourrait vérifier les conclusions précédentes sur l'inlégrale double de seconde espèce

X d.r dy

SI

relative à la surfjjce

.r3 + y-^ -t- 5^ = I , déjà considérée au n" 14. On a ici l'identité

d dx

V z ! ôy l{x—x-^)z\

L'intégrale double considérée a deux périodes différentes de zéro, quoique le coefficient de dx dy sous le signe d'intégration soit la somme de deux dérivées partielles.

Il en est de même |)Our la surface

P(^) étant un polynôme en x^ et cet exemple a appelé le premiei* l'attention sur la circonstance qui nous occupe; nous avons formé incidemment (p. 199 de ce Volume) une intégrale double

■ïi^'-'rf,,«.,

où U repré^ente un certain polynôme en x et y, qui avait des périodes différentes de zéro, et l'on avait la relation

ôx

qui définissait d'ailleurs le polynôme U. Il nous suffira d'appeler l'attention du lecteur sur ces exemples, où l'on vérifiera sans peine les remarques générales que nous venons de faire.

PÉÉIODES DES INÏÉIJRALES DOUBLES. 877

IV. — Discussion des hypothèses générales faites dans ce Chapitre.

25. Jl a été admis, dans tout ce qui précède [voir rk" 11), que pour l'équation linéaire E' correspondant à une intégrale arbitraire

P(.r, y, z) dx

(Je polynôme Ps'annulant sur la courbe double), on pouvait trouver •ip-\-m — I fonctions 0 qui ne soient pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. Cette condition, avonsnous dit, est en général vérifiée. Pour préciser, nous allons montrer qu'elle est cerlainement vérifiée si la surface algébrique n'a pas d'intégrales de diliérenlielles totales de seconde espèce (transcendantes), c'est-à-dire si sa connexion linéaire se réduit à l'unité.

il6. (iOmmençons par prendre une intégrale abélienne

Q(.r, y. z ) dx

(le polynôme Q s'annulant sur- la courbe double) qui soit une intégrale arbitraire de seconde espèce pour la courbe entre x et ^3,

fix, r, ^) == o.

INous avons alors pour ses [)éri()des une équation différentielle linéaire E d'ordre 'ip, considérée déjà bien des fois; soit toujours Çii la fonction Û correspondant au point singulier ht.

Supposons que parmi les 0/ il y en ait moins de 2/?, soient

entre lesquelles il n'existe |)as de relation homogène et linéaire à coefficients entiers, mais telles que les autres ù sont liées à cellesci par une telle relation. Aux h cycles correspondant à 11,, ..., ii/,, on peut associer ip — h autres cycles, de manière à avoir pour la surface de Riemann entre x et ^,

S-yS CHAPITRK XI.

2yp cjcles distincts; désignons ces ip — Il cycles, ou plutôt les intégrales correspondantes par

lOi, W2, ..., M-ip-h.

Pour les 2/> intégrales distinctes de seconde espèce (38) / \xdx. ..., / \.2pdx^

formons le Tableau des périodes correspondant à ces cjcles,

^2p-/i'^lp~h • • ' ^Ifj-h

Le déterminant de ce Tableau n'est pas identiquement nul, car autrement on pourrait trouver une combinaison linéaire des intégrales (38), qui serait sans période, ce qui est impossible. Ceci posé, formons les équations

a,<>{ -^a,Qf +...-i-a2/;i>p' = o,

a^pillP =0,

«1 w^/^-A -r- «•2w|,,/, -^. . .+ aipOil'/,..,, = G2/.-/J,

les 2/? — h lettres G représentant des constantes arbitraires. Ces équations définissent les a comme fonctions de y ; nous allons voir que ce sont des fonctions rationnelles. En efTet, les Q et les (o se reproduisent, par une circulation quelconque de y, à une somme près de multiples des 12; ainsi, par exemple, (o^ se change en

les a étant des nombres rationnels indépendants de A. 11 en résulte que le système des équations en a reste invariable pour une circulation quelconque de y, donc lésa sont uniformes en y, et, par

suite, rationnels (aucune singularité essentielle ne figurant dans les fonctions envisagées).

Nous concluons de là que les ip périodes de l'intégrale abélienne

(a. Il H- rtolo -t-. . .-I- «2/J2//)0?^,

relative à la courbe entre x et z, f{x.}\ ^) = o, ne dépendent pas de r, et, en raisonnant comme nous l'avons fait plusieurs fois, on voit que la surface aura des intégrales de différentielles totales de seconde espèce (transcendantes). Nous pouvons donc dire que, si la surface a une connexion linéaire égale à l'unité (ce qui arrive en général), il y aura certainement ip fonctions 0 qui ne seront pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers.

27. Plaçons-nous dans le cas qui précède. Nous allons démontrer que, pour une intégrale arbitraire du type toujours considéré

(39) rv{oo.r.z)dT^

il y a ip -{- m ~ i fonctions Ù qui ne sont pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers.

Tout d'abord il j en aura au moins 2/^, puisque, d'après ce qui précède, il en est ainsi quand l'intégrale abélienne (39) est de seconde espèce.

Supposons d'abord qu'il yen ait seulement 2/?; nous allons êtreconduits rapidement à une contradiction. Reprenons à cet effet les intégrales des numéros précédents

I lidx, .. ., I J2/, dp, I S-idx, . . ., 1 ]„i dx

avec les Qf et Tj correspondants (/= 1,2, . . ., ip). Écrivons les équations

(4o) a,o^-i-...-ha,pQ;^+c,V2 ^-...H-c,«r;" = o (^ == i, 2, . . . , si/>

En \j considérant les c comme des constantes arbitraires, ces équations déterminent

38o CHAPITRE XI.

le déterniiiiant de ces équations du premier degré en a étant certainement différent de zéro. D'ailleurs, d'après un raisonnement analogue à celui du numéro précédent, les a ainsi déterminés seront rationnels en j, puiscjue le système d'équations ne change pas pour une circulation quelconque de y.

Les relations (4o), où les c sont des constantes, expriment que les ip -^ m — j périodes de l'intégrale abélienne

/ (ail,+. . .-4- «2/>l2/^ ^ C2J2 -T-- • .^ Cni^ni) dx

sont indépendantes de y. 11 y en a ip qui sont nulles, et les m — i périodes logarithmiques sont les constantes arbitraires c^, . . ., Cm- On pourra par suite former une intégrale de différentielle totale de la surface de nature transcendante et n'ayant aucune ligne logarithmique à distance finie. Or ceci est impossible, et par suite l'hypothèse faite qu'il y ait seulement ip fonctions Q distinctes est inadmissible.

î28. Supposons alors qu'il y ait seulement, pour l'intégrale (39),

ip -T- m — \ — z ( 0 < T < />i — 1 )

fonctions désignées d'une manière générale par Q, qui ne soient pas liées par une relation linéaire et homogène à coefficients entiers (les égalités étant exclues des inégalités ci-dessus j.

Considérons 2/? des 0 correspondant à 2/? cycles distincts de la surface de Riemann entre x et ^, /(^, y-> z) =^ o, puis m — i — t 'des autres Ù linéairement indépendants entre eux et avec les premiers. On aura donc, pour une intégrale (39) arbitraire,

ii-n

Envisageons d'autre part les polynômes 7:2, - - -, "^m, correspondant aux points logarithmi(|ues à l'infini. Les

peuvent s'exprimer à l'aide de 0, , . . . , 0^;, et des 7:. Soit ainsi

il,, = V} iii -t- . . . -+- Kj,, iUp 4- [Jli* TT, -i- . . . -^ IJ-i'n -^m

( A = '2 jy -f- I , . . . , ip -^ m — 1 — 'c )j

les À et les a étant rationnels. D'ailleurs, tous les déterminants d'ordre m — i — t formés avec les a ne sont pas nuls, car, s'il en était ainsi, on aurait une relation linéaire entre

i>i, ..., iU,, et les i>/,,

ce qui est contre l'hypothèse. On pourra donc, par exemple, des m — I — T équations du premier degré en c^, . . . , 6',,^,

tirer Co, . . . , Cm^x en fonction de Cm^x+s, • • • , c,„. Ceci posé, reprenons les intégrales

/ Il dx, . . . , Updx, I i,dx, . . . , fj,,, dx

avec les

oh

et \'î (i ^ i, -2, ,.. .^ '2p -\- oi — i~- x).

Écrivons les 2p -^ m — i équations du premier degré entre les a et les c

/n—z-hl — '*^ni-z-hli

les k étant des constantes prises arbitrairement. Si les a et les c satisfont à ces équations, les ip ^ m — i périodes de l'intégrale abélienne

/ («il, -i-.. .+ a2>Dl2p-i- C2J2 -f-. . .+ Cni^m)dx

sont indépendantes des j, et il y en a t qui ne sont pas nulles. Le système des équations précédentes peut se remplacer par le système équivalent

[0.^* c, -f- . . . -h \iJ^n Cm =0 {h = 2p ^ l, . . . ^ 2p -^ m — l — z ),

382 CHAIMTRK XI.

Sous cette dernière forme on voit immédiatement, à cause des remarques faites plus haut sur certains déterminants différents de zéro, que les équations peuvent être résolues. Ou a d'abord les c qui sont des constantes, puis les a. Or la première forme du svstème d'équations montre que ce système reste inaltéré pour une circulation quelconque de y. Les a seront par suite des fonctions rationnelles de y. •

Donc, sous l'hypothèse que t n'est pas nul, on forme une intégrale abélienne (42) dont les périodes ne dépendent pas de y, et t d'entre elles sont arbitraires. On pourra alors former une intégrale de différentielle totale de la surface (de nature transcendante n'ayant aucune ligne logarithmique à distance Hnie, et nous avons la même contradiction qu'à la fin du n'* 27. Le théorème énoncé au commencement de ce paragraphe est donc démontré.

Nous parlerons plus tard des cas particuliers où la surface aurait une connexion linéaire supérieure à l'unité, et où certaines hypothèses d'un caractère général failes dans les deux derniers Chapitres ne seraient pas vérifiées.

V. — Remarques sur les périodes d'une intégrale double de fonction rationnelle (M-

29. INous terminerons ce (Chapitre en revenant sur certaines intégrales doubles de seconde espèce relalives à la surface

dont nous avons déjà parlé aux n"* 15 et 16. Il s'agissait de l'intégrale double de seconde espèce

SI

-^ LZ \ dùc dy.

où a, ^, V sont trois constantes arbitraires. Nous avons trouvé les six périodes de cette intégrale correspondant à six cycles à deux dimensions tout entiers à distance finie. Or la surlace S étant unicursale, on peut exprimer x^ y et z en fonction rationnelle de deux

(') Iv FicAUD, Sur les périodes d'une intégrale double de fonctions rationnelles {Annales de l'École Normale supérieure, 1908 ).

paramètres u el ^. L'inlégrale double devient alors une intégrale double de fonction ralionneile

/ / R(a, (^) du dv,

R étant rationnelle en u, v. Cette intégrale double étant de seconde espèce, on a certainement

' ^ ^ ^ du ôv

A et B étant rationnelles en u et ç. Tous les résidus de cette intégrale double sont donc nuls. D'autre part, on est porté naturellement à regarder comme étant des périodes de cette intégrale les six périodes de l'intégrale relative à la surface S, dont elle est la transformée. C'est une question de mois; mais il ne faut pas faire de confusions avec les dénominations employées plus haut; les six cycles à deux dimensions dans l'espace {x, j, z), qui ont donné les six périodes en question, se transforment dans l'espace («, ç) en six cycles; mais, ou bien ces cvcles ont des points à l'infini, ou bien ils passent par des points pour lesquels R devient infinie ou indéterminée.

Indiquons le résultat du calcul dans le cas de Tintégrale

(43) JJU^ (a = T = o),

pour laquelle les six cycles donnent seulement, comme nous l'avons vu plus haut, deux périodes.

On peut, pour la surface

exprimer x^ y ei z en fonctions rationnelles de deux paramètres et V par les formules

^=D' -^"d' ^'"D' où

A = PS- -H î^£ H- U'^V'^,

B = — p' î — we2 — a2 p2,

C = i^ uvivz^U'J), D = I + uv{vz' -\- uz),

£ étant une racine cubique imaginaire de l'unité.

En substituant dans l'intégrale, on trouve le résultat très simple

i^-^) f f%ïdudv,

et tous les résidus de cette intégrale sont nuls.

Les deux cycles donnant des périodes pour notre intégrale dans l'espace (^, r, ^) peuvent être définis de la manière suivante. Posons

en faisant décrire à ^ et à / dans leurs plans respectifs des contours ne se réduisant p?«s à zéro et ramenant respectivement

y/l — 373 et y\ — f^

à leurs valeurs initiales, on engendrera un cycle à deuTi dimensions P de la surface S. Au cycle P de l'espace (^, J, z) correspond un continuum Q à deux dimensions de l'espace (w, v)\ l'intégrale double (44) prise sur ce continuum est en un sens une période de (44), puisqu'elle est une période de l'intégrale (43), mais elle n^a rien de commun avec un résidu, et avec les périodes envisagées plus haut.

La correspondance entre l'espace {x^ y, z) et l'espace (w, v) est établie par les relations écrites plus haut