ABC

Il v a certains points de l'espace (w, v) qui sont des points fondamentaux dans la représentation. Tels sont, à distance finie,

Il = z, p = £,

A chacun de ces points de l'espace ( w, v) correspond une courbe de l'espace (jc, y, :;); on conçoit que, si une de ces courbes rencontre le cycle à deux dimensions P, le continuum Q dans (w, v) passera par le point correspondant que nous appellerons A. Or un tel point A appartient au continuum

pour lequel l'intégrale est en général infinie, ce qui fait que le continuum Q est d'une tout autre nature que ceux que nous avons envisagés dans la théorie des résidus des intégrales doubles. Il n'y a donc aucune contradiction. On peut encore remarquer que, quand le cycle P se déforme dans l'espace (.2;, y, z)^ son correspondant Q, qui se déforme aussi, passe néanmoins constamment par le point A. Il y a aussi des points fondamentaux à l'infini, auxquels s'appliquent des considérations analogues.

' CHAPITRE Xll.

SUR L4 FORMULE GÉNÉRALE DONNANT LE NOMRRE DES INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE (i).

Sur une propriété des surfaces dont la connexion linéaire est supérieure à un.

1. Dans le Chapitre précédent il a été supposé que l'on avait affaire à une surface, pour laquelle ne se présentaient pas certaines circonstances exceptionnelles. On supposait que la connexion linéaire de la surface était égale à Vanité (t. 11, p. 3^'y ), et, en outre (p. 32^), que l'équation E n'admettait pas comme solution un polynôme en y. Examinons de plus près ces deux conditions; cette étude va nous conduire d'abord à une propriété intéressante caractéristique des surfaces dont la connexion linéaire dépasse l'unité.

2. Reprenons l'équation différentielle linéaire E, déjà tant de fois considérée, à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne arbitraire de seconde espèce

(l{x, y,z)clx A

relative à la courbe entre x ei z

(M t>. Picard, Sur un théorème général concernant Les surfaces algébriques de connexion linéaire supérieure à l'unité ( Comptes rendus, 21 novembre 1904). — Sur la formule générale donnant le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce {Comptes rendus^ 5 déc. 1904, et Annales de l'École Normale supérieure, igojj.

P. ET s., II. 26

Q(^7 y, z) étant un polynôme en x, JK, ^ s'annulant sur la courbe double. Désignons toujours par Q/ la période correspondant au point bi. L'analyse développée (t. II, p. 877) nous permet, avec un léger complément, de formuler une conclusion générale.

Supposons que, parmi les 11,, il y en ait h{h^ip) linéairement indépendants ; je dis que la surface aura alors exactement

2n h intégrales de différentielles totales de seconde espèce

distinctes.

Le raisonnement du n° 26 (t. Il, p. 877) montre d'abord immédiatement que la surface possède certainement ip — h intégrales de différentielles totales de seconde espèce distinctes, les constantes arbitraires étant G,, G., ..., C.p^h- Inversement, supposons que la surface possède ip — A' intégrales distinctes de seconde espèce, h' étant inférieur ou égal à h. Reprenant les intégrales

j \,dx (X = I, 9, ..., '2/>)

de la page 878, on peut, évidemment, trouver un cycle pour lequel la période correspondante s'augmente de

quand y tourne autour du point singulier b^. Si donc le coefficient de dx dans une intégrale de différentielle totale est égal à

les a étant des fonctions rationnelles de j', on aura nécessairement, puisque les périodes de

ne dépendent pas de y, les relations

«1 Qji. + a.tip. +. . .+ a^pQu/' ^ o (;a = i, '2, . . . , h).

Nous avons là h équations entre les a, et il y aura à adjoindre à ces équations (comme à la page 878) ip — h autres équations, où ne pourront figurer plus de ip — h constantes arbitraires. Nous aurons donc simplement ip — h intégrales distinctes de seconde espèce, et l'on a, par suite, A' = h.

INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPfeCE. 889

11 Y a donc un lien très étroit entre le nombre des ùi linéairement indépendants relatifs à l'écjiiation E et le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce de la surface : Si h est le nombre des premiers j le nombre des secondes sera ip — h.

3. Nous pouvons aller plus loin et donner la forme la plus simple à la condition pour que la surface ait un nombre déterminé d'intégrales de différentielles totales de seconde espèce. Le théorème c|ue nous avons en vue est le suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour quhine surface ait r intégrcdes distinctes de différentielles totcdes de seconde espèce est cjue V équation E soit vérifiée par r polynômes en y linéairement indépendants.

La démonstration de ce théorème va nécessiter cjuelques remarques préliminaires.

i. Reportons-nous à la page 99 du Tome I, où nous avons déjà considéré l'équation différentielle linéaire E, correspondant à une intégrale ( i) arbitraire. Désignons maintenant par

{ a) w'/ = m\ wi 4- m', o)^ ~ . . . H- m'.-,,, m.,,, {i = t , '2, . . ., ip )

une substitution quelconque du groupe de l'équation E; les m sont des entiers réels. En désignant par

les périodes correspondant aux mêmes cycles que les to d'une intégrale de différentielle totale de seconde espèce (transcendante), nous avons vu {loc. cit.) qu'elles satisfaisaient aux relations

( 1 ) P/ = m\ Pi -I- mj P. -4- . . . H- m^i, P.j.,, (/ =^ i ,■>.,... , .yp )^

et il y a autant de ces relations qu'il y a de substitutions fondamentales dans le groupe de E. Il a été démontré que, si l'on peut satisfaire à toutes ces relations, /• étant le nombre des lettres Prèstant arbitraires, il y a pour la surface /• intégrales distinctes de seconde espèce (transcendantes).

3qo CHAPITKE XII.

Ceci rappelé, cherchons à quelles conditions l'équation E admettra comme solution un polynôme. Celui-ci serait de la forme

AiWi -f- X2W2 -4-. ..-)- ^^ip^ipi

les 1 étant des constantes. 11 faut et il suffit que l'expression précédente ne change pas quand on effectue sur les o) toutes les substitutions du groupe de E; car, dans ces conditions, elle est uniforme et, par suite, rationnelle, puisqu'il n'y a pas de points singuliers essentiels. D'ailleurs, cette fonction rationnelle se réduira à un polynôme, puisque chaque point singulier est seulement de nature logarithmique. On aura donc

-{- )v2(mï w,H- m'iou -h. . .-1- /n|/,W2/;) -H..., ce qui entraîne les équations

Si le théorème énoncé au paragraphe précédent est exact, la possibilité de satisfaire à l'ensemble des équations {/a) entraîne la même possibilité pour l'ensemble des équations (3), et le nombre des arbitraires, pour les P et les A, sera le même. Telle est la question algébrique à latiuelle nous sommes ramené.

o. Il est manifeste que, si le groupe de E était quelcoucp.e, il n'y aurait, au point de vue qui nous occupe, aucune connexion entre les systèmes (2) et (3), mais ce groupe n'est pas quelconque. Il résulte, en effet, de- propositions classiques sur les relations entre les périodes de deux intégrales abéliennes, cp.e les' co peuvent être choisis de manière que le groupe des substitutions (a-) satisfasse à la condition suivante : Soient

('),, (Oo, W:i, ..., (O2/,, •jj, '->2, '->;}. •••» "^if

deux séries de variables; toutes les substitutious (t) transformeront en elles-uièmes la forme bilinéaire

INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. Sgi

quand on eftectue simultanément sur les w et sur les u la même substitution du groupe. Ce point important peut se démontrer avec précision de la manière suivante. Considérons pour une valeur particulière j)^o ^^^ .Yi sur la surface de Riemann R correspondant à la relation entre .x el z

(R) /(\r, jKo, ^)==o,

le contour de Riemann formé de p rétrosections (C, D) réunies deux à deux à la manière d'une cliaine. C'est le contour désigné par K dans le Traité d'A nalyse de M. Picard ( t. Il, p. 4-^45 2° édit.). Quand y partant de Yq revient en ce point après avoir décrit un contour quelconque, le contour Iv s'est déformé et est devenu un autre contour K' du même type formé des rétrosections (C, D') réunies deux à deux en chaîne.

Considérons, sur la surface R, deux intégrales arbitraires de seconde espèce U et V aux périodes respectives (L)^, ..., lOoy? et 'j,, 'J.j, ..., 'Jo/?; l'intégrale classique

dY prise le long du contour K. donne, comme on sait, la combinaison

(a) 0)1 'Jo (Oo'J, -!-...-}- W2y,-1 'Jo/;

II) -'ïp-X

elle est, d'autre part, égale à la somme des résidus des pôles de

dW U-7-- Avec le contour K', on obtiendra la com])iuaison

(a') COj u; W^'j'l -i-. . .-I- W'o^j-l'Jg/; — (Oop-Jo/;-,,

qui sera égale à la somme des mêmes résidus, il y a donc égalité entre les deux expressions (a) et (a'); d'ailleurs, les co' sont des fonctions linéaires des to, et les u' sont égales aux mêmes expressions linéaires des u. En écrivant l'égalité de (a) et (a'), on a une identité par rapport aux to et aux u, car on a pu choisir U et V de manière que ces périodes soient arbitraires ; l'égalité est donc une identité, ce qui revient à dire que la forme (a) est transformée en elle-même. C'est à cette propriété de toute substitution du groupe de E qu'est due, comme nous allons le voir, la dépendance entre les systèmes (2) et (3).

392 CHAPITRi: XH.

(). Si, clans la forme F, nous posons ( 'j, =--0.,, 'j,^—Q,,

la forme F clcNient

F = WiOi -f- 102 12-2 -i-. . .^ W2/,t22/v

D'après ce qui précède, celte forme bilinéaire se transforme en elle-même, quand on effectue sur les to la substitution a-, et que Ton effectue en même temps sur les ù la substitution correspondante résultant du changement de variables (4), la substitution (a-) avant été effectuée sur les u en même temps que sur les w. Nous appellerons S la substitution correspondant à la substitution g-, elléctuée sur les Q. Désignons cette dernière par

(v^ 0; = i\l'^<>,-^MÙ>2-r...-^Mî,/;Q2/> (^'=1,^., ...,•>.//).

On a identiquement

et de là se déduisent immédiatementdes relations entre les m et les M. On voit bien aisément que, en vertu de ces relations, la substitution inverse de S, c'est-à-dire l'expression des ù en fonction des ly, correspond à

Or posons maintenant, dans les équations (2),

ï>2= Q„ ..., ï\,, = Q2/.-1; le système de ces équations (>.) devient manifestement

(5) Q,= M'iQi-f-MiQa-h.-.+ M^/.Qs/, ( t = i ,•>,,..., 2/>),

d'après la manière même dont on passe de la substitution a- à h» substitution S.

Dans la question qui nous occupe, on peut donc remplacer le système des équations (2), pris bien entendu pour toutes les substitutions du groupe de E, par le système des équations (5); on doit

INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. BgS

établir que, pour les équations (5) et les équations (3), le degré d'indétermination dans la solution (les Q et les X étant considérées comme les inconnues) est le même.

La chose est immédiate si nous transformons encore le système (5) en résolvant par rapport aux lettres Q du second membre, ce qui nous ramène à la substitution inverse et donne le système (5)'

(5)' Q, = mJQi-+-m|Q2+...-l-/;i?/'Q,;, (i = i, 'i, ..., 2p).

Or, le système (5)' n'est autre que le système (3); il suffit de poser

On voit ainsi bien nettement que, à toute solution du système (2), correspond une solution du système (3). 11 y a donc le même degré d'indétermination dans les deux systèmes et le théorème est établi. Nous pouvons dire que, à toute intégrale de différentielle totale de seconde espèce [transcendante) , correspond un système de quantités P; par suite ^ à toute intégrale de cette nature correspond un certain polynôme en y^ solution de E et^ inversement, à tout polynôme en y, solution de E, correspond, pour la surface, une intégrale de différentielle totale.

Puisque les X s'expriment à l'aide de /■ d'entre eux par des formules homogènes et linéaires à coefficients commensurables, on peut affirmer que \' intégrale cjui a servi à former V écpcation E admet r périodes distinctes ciui sont des polynômes en y.

On le voit de suite; car, en changeant, s'il est nécessaire, les indices, on peut supposer queX,.^,, ..., Xo;, s'expriment de la manière indiquée à l'aide de X<, Xo, . . ., X^, l'expression générale de nos polynômes sera

H- X,.(a),. — Il W/.H i — . . . — hp—r^'^2p)i

les A", ..., l étant des nombres rationnels : les coefficients des X sont r polynômes nécessairement indépendants, puisque les w forment un système de solutions distinctes de E.

7. Il ne sera pas sans intérêt de faire une vériiicatioii directe pour p = 2. Ecrivons la substitution a- sous la forme

Co'j = «1 (Oi :- h] 0)2 -h Cl CO:j + di OJ',, tOq = a.) tOi -+- b-2 M.i -+- €-2 0)3 -+- ch (O4, o/.j = <73Wi -i- /'^.-jWo -h C3t03 -+- rAjO);,

w'^ = n<^ coi -i- ^j, (02 -+- C4 103 -h f/i (0-, .

Celte substitution effectuée à la fois sur les o) et les u transformant en elle-même la forme bilinéaire

on aui-a les relations

c, «Yo — Co dx-\- c^d,, — cr^ds = r ,

C/l C-7 — a-2 Cl -T- <73 Cv — «4 C3 — o,

a^d^ — a.ydi -\- «3 <n^v — « v <^3 = o,

/>lC2 — ^>2Ci -+- l^.^C'^ ^4^3 — O,

bid^ — b%dx H- b^,d'^ — b-^d^ — o.

Le système des écjuations (2) est ici

/ Pi == rt, P, -f- b, P2 -i- Cl P3 -i- di l\, \ I»., = rt., P, H- /?, P, -f. c, P3 -i- fl', P.V,

I P3 = rt:jl\ i-^>3 1*2 -f- ^'3 1^3+^/3 P'o [ \\ ^ a,,Vi-}- 64 P2 H- C4 P3 + <i?4 P4

et le système des équations (3) est

X, = rt, Xj ~ a.2\.2 + «3^-3 -^ <T^4^^45 À2 = bi Xj -{- /^2^>2 -^ ^3^>3 + ^4^VV, X3 == CiXi -1- C2X2 -h C3X3 H- C4X4, Xv = <^i X, -+- c/2 ^2 -+- <^^3 ^^3 -+- <:A ^^4-

Ce sont les systèmes (a) et ([i) que nous avons à comparer. Or, si l'on pose, dans les équations (a),

Pi = -Q2, P3--Q4,

P,:^ Qi, P4= Q3,

Qi- b,Q,

-a,Q,-+-d,qs-c,q,

Q2 = -^iQi

+ «lQ2-^/lQ3 + ^'lQv

Q3 = M-^4Ql

Qv^-^sQi

INÏÉGUALKS DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. SgS

on a les équations du type des équations (5)

et l'on trouve les équations correspondant aux équations (5) en résolvant les équations (y) par rapport aux lettres Q qui sont dans le second membre et en se servant des relations entre les a, b^ c, d. On a ainsi

Q, = «1 Qi -i- a-i Qs 4- «3 Q.j + «4 Q4,

Q2-^lQl-^-62Q2-^ ^'3Q3-1-^4Q4, Qs == Cl Qi -h C.,Q2 + C3 Q3 + CvQ4,

Q^ = 6/1 Qi + fl?2 Q2 + ^4 Q3 -i- ^4 Q4- Ces dernières équations sont les équations (j3) quand on pose

Xi-Q,, X, = Qo, X3 = Q3, >^4-Q4

et cela est bien conforme à la démonstration générale du paragraphe précédent. La vérification est donc complète.

8. Le théorème général, qui vient d'être établi sur les intégrales de différentielles totales de seconde espèce, aurait pu être démontré par une autre voie. D'après ce que nous avons vu antérieurement, la recherche des intégrales de diOereutlelles totales de seconde espèce peut être faite de la manière suivante. Soient, comme habituellement, 2/? intégrales distinctes de seconde espèce

r Q/ii ^1 y^ ■^) dx in= I -^ — ^/ ^ (A=.t, -2, ...,'./0

de la courbe entre œ cl z

f{x,y, z) = o\ désignons par

(0^, CO?, ..., 04/,i, (oj/,

les 2/> périodes de 1^^ prises suivant le système des p rétrosections (C, D) de Riemann, un to d'indice impair et le suivant cor-

SgÔ CHAPITRE XII.

lespondant respectivement aux parties G et D de la rétrosectioii. On doit considérer le système d'équations en a

les P étant des constantes satisfaisant aux relations rappelées plus haut. Ces équations donnent, pour lesrt, des fonctions rationnelles dey.

Rappelons-nous maintenant que, si l'on a les périodes

tO^', W5, ..., Wi'/;1, t0j,„

CO I , CO 2 , . . . , W 2 /;- I , 'i p

correspondant à deux intégrales U et I^', l'expression

reste invariable par l(?s substitutions du groupe tant de fois considéré et est, par suite, un polynôme en y. On déduit alors des équations (S) que la combinaison

est une fonction rationnelle de y et, par suite, un polynôme, puisque autour d'un point singulier r = h elle est nécessairement de la forme

\ et |JL étant holomorplies, et qu'il faut alors que jj.(r) soit identiquement nul. Si donc il y a ;• arbitraires parmi les constantes P, il y aura /• combinaisons distinctes (o) qui donneront des polynômes; par conséquent, \ équation E admettra comme solutions r polynômes distincts.

Le même raisonnement démontre la réciproque. Supposons qu'il y ait r expressions (8) distinctes se réduisant à des polynômes pour des valeurs des constantes P (bien entendu, quel que soit A= I, 2, ..., ip). Le système des équations (S) peut être remplacé par un système équivalent S de la forme

les - et les U étant des polynômes en y; de là on tire pour les a