IXTKGRALIÎS DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE

des fractions rationnelles de y. A chaque système de valeurs convenables des constantes P correspond donc une intégrale de diflérentielle totale de seconde espèce, ce qui démontre la réciproque. J'ajoute quelques remarques importantes sur les périodes des I. D'après le § II, il y a 2/? — /• quantités 0 linéairement indépendantes, soient

Quand la variable y partant d'un point y revient, une substitution linéaire à coefficients entiers se trouve effectuée sur les 0. Celles-ci satisfont à une équation linéaire d'ordre ip — r à coefficients rationnels ('). Outre les ip — r cycles, correspondant à ces 12, de la surface de Riemann f{x,y, ^) = o, il y a r autres cycles qui correspondent précisément aux r polynômes dont il vient d'être question; ces /' cycles ne se modifient pas par une circulation dejK-

Considérons maintenant les équations analogues à (S), donnant les a, en supposant que les périodes

coî, 0)^', ..., ^'ip

soient relatives aux cycles ci-dessus : soient

pour les ip — ;• d'abord considérés, et

pour les /• derniers. Écrivons alors de nouveau les équations

( S' ) «1 ^\ -4- «2 w;. -^ . . . -H a.2;; w J/ = P/, ( A- = I , 2, . . . , ip ).

11 est très facile de voir ce que doivent être les constantes P^, pour que les a tirés de (S) soient rationnels en y. Les expressions (a) étant transformées par des substitutions linéaires les concernant seules, et les expressions (P) n'étant pas modifiées, on aura né-

(') Au lieu de l'équation (lifTércntielle linéaii^e E on pourrait donc considérer l'équation dilTérentielle linéaire E^ d'ordre 2/>— r à laquelle satisfont les Q ; nous reviendrons sur l'équation E^ au Chapitre suivant.

3q8 CllAPlTHE XII,

cessairement

tandis que V.>p-r+\, • • - ^^ip -^^''^ ^^^^ consLantes arbitraires.

Sur le nombre des périodes de certaines intégrales doubles.

9. Nous venons d'étudier, dans la Section précédente, l'équation E à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne de

seconde espèce

/Q(a-, y, z)dx 7l

Nous avons envisagé précédemment (par exemple, I. H. p. 3iet 35 1) une autre équation diiïérentielle linéaire qui a été a))pelée E'; c'est l'équation à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne arbitraire (n'étant pas nécessairement de seconde espèce)

P [)assant toujours par la courbe double. Cette équation est d'ordre

ip -\- m — I

et, parmi les périodes de (6), se trouvent ni — i polynômes.

Qu'arrive-t-il pour l'équation F quand la surface possède /' intégrales de diflerentielles totales de seconde espèce? 11 y a, pour l'équation E', une intégrale particulière relative à chaque point critique bi que nous continuons à dénommer Q/.

Nous allons montrer que, parmi les 0/, il y en a

•>.p ~i- m — I — /' linéairement indépendantes, et inversement, s'il y a

ip -i- m — I — /'

Ù linéairement indépendants^ la surface possède r intégrales simples de seconde espèce. C'est une propriété de l'équation E' analogue à la propriété de l'équation E démontrée au n'' 2 de ce Chapitre.

10. Parmi les 0 il j en a certainement au moins ip — /• linéairement indépendants, c'est-à-dire qui correspondent à des cycles distincts sur la surface de llicmann relative à l'équation entre x

et z

puisqu'il en est ainsi dans le cas de l'équation E. Désignons par

les 0 correspondant à ces cycles. A ces ip — r périodes de (6) adjoignons /• autres périodes to,, o)^, ..., w,. correspondant sur la surface de Piiemann à des cycles formant, avec les cycles qui sont relatifs aux 12 précédents, un système complet sur la surface de Riemann. Nous aurons alors pour l'équation E' les 'ip-\-m — i intégrales indépendantes

les 7: clésignanl, comme dans tout le Chapitre XI (t. II), les polynômes correspondant aux points logarithmiques à Pinfini. Soient maintenant

(7) '-'-u ih,

■ip-

2/> -\~ m — I — -: fondions 12 linéairement indépendantes, formées des 2p — /• fonctions 12 déjà considérées et d'un certain nombre d'autres. Ces dernières, cjue nous avons désignées par

(8) i>2/>-/.+ i, ..., iii/i+m-l—xt

correspondent à des cycles de la surface de Riemann qui, sur celle-ci regardée comme fermée, se ramènent aux cycles relatifs à 0,, 12o, . .., ii.2p-r'', P^ii* suite, les expressions (8) s'expriment linéairement à l'aide de

/qq chapitre XII.

Soient ainsi

(9) Qu = >^îûi -^ à5Û2 -i-- . •-+- ^P-r^'-

ip-r

( /i = 9./? - r + I , . . . , 2/? -i- m — I — -), les 1 el les jjl étant rationnels. Le nombre des équations (9), c'est-

à-dire

doit être au plus é^al à m - i, car, autremenl, on aurait une relation linéaire entre les fonctions (7), ce qui n'a pas lieu^ on a donc nécessairement

Ajoutons encore que, si l'on envisage les équations avec les indéterminées c

on pourra certainement j satisfaire, les c n'étant pas tous nuls (sauf dans le cas où -::=/•) et, sur les c, on pourra certainement en prendre t — /' arbitrairement.

Nous voulons précisément démontrer que z est égal à r. D'après ce qui précède, il faut montrer que t n'est pas supérieur à /•.

11. Plaçons-nous donc dans l'hypothèse t > /'. Nous n'avons à peu près qu'à généraliser l'analyse de la page 38 1 (t. II) s'appliquant à la même question, mais dans le cas où r = o.

Reprenons les intégrales {loc. cit.)

f\,dx, ..., JUpdx, Ji,dx, ..., J ^,ndx

avec les ''

lî -S ^'/" (A = 1 . 2, . . . , 2/? ; A- = 2, . . . . m),

l'indice i étant relatif au cycle. Envisageons, en outre, les périodes

correspondant, pour les intégrales précédentes, à w,, co., ...,tOr. Les périodes de l'intégrale abélienne

f (aiîi-4-.. .^aipl'îp^Cih -4-... H- c,ni,n)dx

INTÉGHALKS DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. 4o I

ne dépendront pas de y, si les c sont des constantes et si les a (pouvant dépendre de y) et les constantes c satisfont aux conditions suivantes (où les Cy sont des constantes arbitraires)

oj/^

coj

(^li— xp — r ^ \, . . . , 2/? 4- /;?, — I — -u ).

Si les a et les c satisfont à toutes ces conditions, on aura nécessairement, d'après les équations (9),

ai Q\ + «2 i^A + . . . -+- «2;; û//' + C2 r J, -f- . . . H- c,;, r;;' = o

[h = ip — / -t- I , . . . , -ip -\- ni — I — T ).

Il est aisé de voir que l'on peut satisfaire à toutes les conditions S. Les équations de la troisième ligne dans S font connaître les c, dont t — /- restent arbitraires; les deux premières lignes, dont le nombre total est 2/?, déterminent les a. Ceux-ci sont bien des fonctions rationnelles dey. En effet, les équations ne changent pas quand j^ décrit un contour fermé quelconque. Ceci est immédiat quand y tourne autour d'un des points singuliers ^^, b^^ . • ., b-ip-ri et pour les points

c'est une conséquence des équations (9) et de la troisième ligne des relations ^. Quant aux autres points critiques, les 0 qui leur correspondent étant fonctions linéaires des ip -\- m — i — t premiers, la chose est manifeste.

Il n'y a [)lus maintenant qu'à raisonner comme à la page 882 (t. II). On formera en se servant de l'intégrale

/ («lll 4-.. .-[- a2/J27;+ C2J2 -I-...+ C/„J„î) f/a?

une intégrale de différentielle totale de la surface de nature transcendante (puisque tous les c ne sont pas nuls) et n'ayant aucune ligne logarithmique à distance finie; de plus, puisque tous les c ne

^02 • ClIAPirilE XII.

sont |)as nuls, elle ne sera pas une intégrale de seconde espèce. Or ceci est impossible, et celte contradiction montre que l'hypollièse -:> /• est inadmissible; on a donc

C'est le théorème que nous avons énoncé (n" 6).

12. Oue devient la démonstration précédente, cpiand t = r. Les équalions

sont alors en nombre m — i, et elles donneront pour tous les c la valeur zéro. 11 est impossible, en effet, que le déterminant des a soit nul, car alors, d'après les équations (9), les Ù de la ligne (7) ne seraient pas linéairement indépendants. Tous les c étant nuls, l'analyse du paragraphe précédent conduit à une intégrale de différentielle totale de seconde espèce, avec les /• arbitraires

Gj , G2, • • • 1 G;-,

ce qui est bien d'accord avec le fait que la surface a /• intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce.