Prenons maintenant l'intégrale double

r r V(cp, r, z) dx dy

le polynôme P(^,y, -) étant uniquement assujetti à passer par la courbe double. D'après l'étude faite dans la Section II du Chapitre XI (t. Il, p. ooi), et en nous servant des rés^tiltats précédents, nous sommes assuré que, si la surface n'a pas d'intégrales de différentielles totales de seconde espèce, il y a ip-^-ni— i fonctions ù linéairement indépendantes, et, par suite, un 'nombre de périodes {au sens où nous les avons entendues dans toutes nos recherches antérieures) égal à

n — 'ip — {m — \).

C'est le théorème fondamental de la page 354 (t- H)- Q^ie devient ce résultat, quand la surface a, comme ci-dessus, ;• intégrales

INTÉGRALES DOLBLKS DISÏLXCTES DE SECONDE ESP^:CE. * 4o3

de diirérentielles totales de seconde espèce? Il y a alors seulement, comme il vient d'être établi,

'ip -I- m ~ \ — /•

O linéairement indépendants. On voit bien facilement la modification que ceci amène dans tons les raisonnements. Le nombre des périodes est alors égal à

N — {op-^ ni — \ — r), c'est-à-dire

iV — 5>/? — {m — 1)4- /•.

On trouve ces périodes par les mêmes combinaisons que plus haut, et l'on démontre par la même voie leur indépendance.

Sur le nombre des conditions exprimant qu'une intégrale double est de seconde espèce.

14. Nous avons recherché i^récédcmment (t. H, p. 210) quel est le nombre des conditions exprimant (i\v{ une intégrale double de la forme

(10) r rnx^y^z)dxdy

est de seconde espèce. Nous avons trouvé que ce nombre est au plus égal à 2/>.

Ce résultat a été ensuite précisé (t. II, p. 828), et il a été démontré que ce nombre est certainement égcdà '>./?, quand l'équation E n'admet pas comme solution un polynôme.

Nous sommes maintenant en mesure d'approfondir encore davantage la question et d'arriver à un résultat défmitif.

15. Supposons que la surface admette /• intégrales de différentielles totales de seconde espèce. Nous avons vu (Section I) que l'équation E admet comme solutions /-polynômes linéairement indépendants. Que va-t-il arriver pour l'équation E'? Nous allons

montrer qu'elle admet coinine solutions r polynômes en y, en outre des m — i polynômes eorrespondant aux points à V infini. Dans le voisinage d'un point singulier 6, l'équation E' admettra le système fondamental qui pourra être formé des fonctions

les t: étant des polynômes, les to' étant tous liolomorplies autour de h^ sauf l'un d'eux to!,^^ qui a un point singulier logaritlimique en h. A ces (o' correspondent ip cycles distincts sur la surface de Riemann.

D'autre part, si nous revenons à l'équation E, elle admettra autour de h le système fondamental

les co coiTCspondant aux mêmes cycles que les to', et étant holomorphes autour de b^ sauf le dernier (Oo^,.

On peut associer deux à deux les intégrales des équations E' et E, nous voulons dire les intégrales de E' et E correspondant à un même cyxle. Soit, pour une valeur non singulière A de jk (et son voisinage), deux intégrales

u et u^

ainsi associées et correspondant à un cycle F; allons dans le plan de j^ par un chemin déterminé du point A à un point 3 voisin du point singulier b. On aura, en [i,

U = 7*1 COi -i- /i2t02 +. . .4- h.ypOioj,^

les h et les k étant des entiers; il est essentiel de reiparquer que les h sont les mêmes pour u' et pour m, mais que pour u, il y aura en général de plus des termes en tt, car il est possible que le passage du cycle F aux cycles correspondant aux w (et aux to') se fasse en traversant des points à l'infini, et c'est de là que ])roviennenl les termes en tz.

Ceci posé, supposons que le cycle F corresponde à une solution de E qui soit un polynôme, l^'intégrale u étant dans ces conditions un polynôme, il faudra nécessairement que, dans l'expression de u^

à l'aide des w, on ait

hij, = o

pour que b ne soit pas un point singulier logarithmique. Mais alors u' sera aussi holomorphe autour du point b. Celui-ci étant un point singulier quelconque, u' sev^ holomorphe autour de tous les points singuliers et, par suite, sera an polynôme.

Ainsi, à tout polynôme vérifiant l'équation E, correspond un polynôme vérifiant l'équation E'. La réciproque résulte d'ailleurs de la même analyse. Nous aurons donc comme solutions distinctes de l'équation E', en dehors des m — i polynômes tt, un nombre de polynômes précisément égal à r, comme il a été énoncé.