Il résulte de là que les résidus de l'intégrale double
P(ir, JK, -s) dx dy
relatifs à la courbe à l'infini, ne sont pas en nombre supérieur à ip — r. Ces résidus sont en effet égaux aux valeurs des intégrales
J ^Ky)dy et I T./Ay)dy
prises autour du point à l'infini, et il ne peut y en avoir manifeste me /H plus de ip — r distinctes.
Il faut montrer maintenant que l'on peut choisir le polynôme P(^, y^ z) (passant bien entendu par la courbe double) figurant dans (6), de manière que ces ip—r résidus aient telles valeurs que l'on veut. Il sera par cela même établi que le nombre des conditions, exprimant que V intégrale double (lo) est de seconde espèce, est précisément ip — r,
17. Nous n'avons qu'à raisonner à peu près comme à la page 828 (t. II) quand nous avons démontré ce théorème pour r= o. Prenons une intégrale (10) déterminée d'ailleurs arbitrairement, et soient, autour de y ::=co^ les développements
y y~ y'' ' \ 'ip — ^
Pour k pris assez grand, les ip — ;■ expressions linéaires
(11) ai a7^^' -h «2 «7^''"*^ -+-...-+- a/, a7i (t = i, 2, . . ., 2/? — r)
/jo6 CHAPITRK XII.
aux indéterminées
«1, <72, ..., ai-
sont linéairement indépendantes; car si, pour toute valeur de /» , ces expressions linéaires n'étaient pas indépendantes, tous les déterminants d'ordre 2/9 — /• formés avec les rjr^^ seraient nuls, et l'on pourrait former une combinaison linéaire des (o/ se réduisant à un polynôme, ce qui est impossible. Le nombre k étant pris donc de manière que les expressions (11) soient distinctes, envisageons l'intégrale douille
C5 {y ) I' ( -^1 y'i -3 ) dx dy
Jz où l on pose
«(7) = «i7''~* H- ci-iy''-^ -i-. . .-I- ai,^^y -^ a/,,
les a étant des indéterminées. Les 2/? — /' résidus de cette intégrale double sont, au facteur 'ird près, les expressions (i i).
D'après ce qui précède, on peut choisir les indéterminées a de manière que ces expressions aient telles valeurs que l'on veut. I^e théorème énoncé est donc établi, c'est-à-dire que :
Le nombre des conditions exprimant qu^ une intégrale double de la forme (10) est de seconde espèce, est exactement égal à ip — /'.
Si nous revenons au nombre /?, relatif à la connexion linéaire
de la surface, on a
et le nombre des conditions est ip — (/;i — i). Ce résultat va nous être très utile pour obtenir le nombre Oq des intégrales doubles distinctes de seconde espèce quand p^ est supérieur \< un.
Calcul général du nombre po des intégrales doubles distinctes.
18. De tout ce qui précède, il résulte que la formule fondamentale
(12) Po = N ~4/? — (m — i) — (p — i),
établie (t. II, p. 3^3), sauf pour certains cas réservés, est toujours applicable quand la connexion linéaire est égale à V unité.
11 nous reste à examiner le cas où la connexion linéaire est supérieure à un, c'est-à-dire quand il y a un nombre /' d'intégrales de seconde espèce (/•>> o). La question sera facile, avec les résultats des sections précédentes.
Les deux points essentiels dans l'établissement de la formule cidessus ont été les suivants : en premier lieu, l'expression
du nombre des périodes (au sens où nous entendons ce mot) de l'intégrale double du type toujours considéré
V {x, y, z) dx dy
et, en second lieu, le nombre des conditions exprimant que l'intégrale double considérée est de seconde espèce, nombre égal à
La dilTérence de ces deux nombres donne le nombre po, à l'expression près p — I, dont l'origine n'a rien à voir avec la connexion linéaire.
Ces deux nombres doivent être modifiés comme nous l'avons vu dans les numéros précédents; le premier est à remplacer (n" 13)
par
et le second doit être remplacé (n" 17) par
ip — ;•.
En faisant la différence de ces deux nombres, nous trouvons
et, par suite, la formule (12) doit être remplacée par la suivante :
Po = N — 4/? — (/^î — i)-H2r — (p — 1).
Nous pouvons donc énoncer le résultat fondamental suivant : Le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde
4o8 CHAPITRE XII.
espèce est donné par la formule
Po = N — 4/> — (/H — i) + ^'- — (p — 0-
Je rappelle la signification des lettres autres que /* figurant dans celte formule : N est la classe de la surface, p le genre d'une seclion plane arbitraire, m le degré de la surface; quant à p, c'est le nombre relatif à la surface, tel qu'il est défini parle théorème fondamental sur les intégrales de difîerenlielles totales de troisième espèce et dont je rappelle la définition : On peut tracer sur la surface p courbes algébriques irréductibles C, telles qu'il n'y ait pas d'intégrale de différentielle totale de troisième espèce n'ayant d'autres courbes logarithmiques que la totalité ou une partie des courbes G, mais telles que, si on leur adjoint une autre courbe algébrique irréductible quelconque de la surface, il y ait une intégrale de troisième espèce n'ayant comme courbes logarithmiques que cette dernière courbe et la totalité ou une partie des courbes C.
19. Dans toutes ces études, il a été supposé que la surface n'avait que les singularités dites ordinaires, c'est-à-dire une courbe double avec points triples sur cette courbe qui ne présente d'ailleurs aucune particularité exceptionnelle. C'est dans ces conditions qu'ont été établies toutes les formules des pages précédentes.
Si, outre ces singularités, la surface possédait des points doubles coniques isolés, la complication ainsi introduite ne serait pas grande ; nous allons examiner ce cas.
11 nous faut revenir aux singularités de l'équation (E), que nous avons discutées dans le Tome 1 (p. go et suivantes). La surface étant rapportée à des axes placés arbitrairement, les points singuliers correspondaient aux valeurs b telles que le plaù y =^ b fût tangent à la surface. Maintenant, aux véritables plans tangents parallèles au plan des xz^ c'est-à-dire aux plans tangents en des points simples de la surface, il faut ajouter les plans parallèles au plan des xz passant par les points doubles isolés. Un tel plan, que nous désignerons par jk = c, correspond bien à un point singulier de féquation (E) ; pour jk voisin de c, la courbe entre x el z
f{oo,y,z) = o
a deux points de ramification voisins, qui se confondent avec le
INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. 4o9
point double isolé de la surface. Les circonstances seront donc les mêmes que pour le planjK = 6. Les points c sont, pour l'équation (E), des points singuliers logarithmiques de même nature que les points h {^). Donc, en désignant toujours par N la classe de la surface et d le nombre des points doubles isolés, le nombre total des points singuliers de (E) sera
On se rappelle d'ailleurs que l'intégrale double
Çl{or, y, z) d.v dy
restera finie à distance finie, pourvu que le polynôme Q s'annule sur la courbe double; aucune condition n'est relative aux points doubles isolés (points coniques), comme on l'a vu (t. 1, p. i84). Il résulte de là c[ue, dans tous les calculs et tous les raisonnements faits dans ce Chapitre et les précédents, N doit seulement être remplacé par N -^ d. Nous aurons donc, au lieu de la formule donnée au /?/* 18, la formule plus générale, relative au cas où la surface a, outre la ligne double^ d points doubles isolés
po = N -H rf — 4/? — ( /?l — l) H- '->. /' — ( p — l).
Telle est l'expression générale du nombre Oq des intégrales doubles distinctes de seconde espèce. Quant au nombre des périodes telles que nous les envisageons, de V intégrale double
If
<i(x,y,z)d.rdy
où le polynôme Q est assujetti seulement à passer par la courbe double, il est égal à
N -}- 0? — ip — {m — i) -f- r,
qui est le nombre du n° 13, en remplaçant N par N + «i.
(*) Il y a seulement la différence suivante par rapport à ce que nous avons vu (t. I,p. 97) : Pour un point 6, nous avions une certaine intégrale holomorphc qui a été désignée plus tard par Q,, et toute période de l'intégrale envisagée se reproduisait, après une circulation autour de b, à un multiple prés defl;ice multiple pouvait être de parité quelconque (il pouvait être notamment égal à Q). Pour un pointe, le multiple sera toujours pair; mais cela n'a aucune importance pour toutes les déductions relatives au nombre p„.
4lO CHAPITRE XII.
Sur certaines expressions invariantes.
20. Le nombre po, dont nous venons de donner ici l'expression j;(''nérale, est un invaiiant absolu de la surface, comme il a été vu précédemment. Si donc l'on considère deux surfaces /' et /*' se correspondant point par point, et ayant seulement chacune comme singularités une ligne double avec points triples, et, en outre, des points doubles isolés, on aura, en marquant par un accent les lettres relali\es à la surface /",
et, par suite, |)uis([ue évidemment /• = /•',
^ -r- d — 4/> — ('^i — 0 — p = jN'+ c?' — 4/'»' — (ni — i) — p'. Cette formule appelle plusieurs remarques intéressantes.
21. Supposons ([ue, dans la substitution (pii transforme /en /', il y ait F points fondamentaux A (points simples ou points doubles isolés) sur/, et F' points fondamentaux A' (points simples ou points doubles isolés) sur y. Nous allons facilement obtenir une relation entre p, p', F et F'.
D'après la définition de p, on peut tracer, sur /, p courbes algébriques irréductibles C (qu'on peut supposer ne pas passer par les points A) telles qu'il n'y ait pas d'intégrales de troisième espèce n'ayant d'autres courbes logarithmiques que la totalité ou une partie des courbes C, mais telles que, si on leur adjoint une autre courbe algébrique irréductible quelconque de la surface, il y ait une intégrale de troisième espèce n'ayant comme courbes logarithmicpies que cette dernière courbe et la totalité ou une partie des courbes G.
Ceci pos('', envisageons sur /'' les courbes
Cj , Gj, . • • , Cp correspondant à
INTÉGRALES DOLBLKS DISTINCTES DE SKCONDE ESPÈCE. ^I'
Aux points A de / correspondronl sur /' des courbes <ï>' en nombre F, et aux points A/ de /' correspondront sur / des courbes <ï> en nombre F'. On peut former, pour la surface/, F' intégrales de troisième espèce K,, Ko, ..., Kp correspondant aux courbes G et à cbacune des courbes $. Ces intégrales, sur la surface /', ont en totabté ou en partie, comme lignes logarithmiques, les courl)es G' et $' (qui sont en nombre p + F). Désignons-les,
sur la surface /', par
K'i, K',, ..., Kp.
Il n'est pas possible que
car alors on pourrait former (en annulant les périodes logarithmiques ) une combinaison linéaire
A 1 K'i -f- A2 K 2 -h . . . -h A F Kj. ',
où les A ne seraient pas tous nuls, et qui n'aurait pas de courbes logarithmiques sur /', tandis cju'elle en aurait sur f. Goncevons maintenant que l'on forme le tableau des périodes logarithmiques de
k;, k;, ..., Ki,
pour les courbes
G',, g;, ..., Gp *'i, *;, ..., *r,
en mettant sur une même ligne horizontale les périodes correspondant à une même courbe. Il n'est pas possible, pour la même raison que plus haut, que tous les déterminants d'ordre F' formés avec F' lignes de ce tableau soient nuls. Soient donc, parmi les G' et les ^\ des courbes que nous appellerons F en nombre F', pour lesquelles le déterminant correspondant n'est pas nul.
Nous allons montrer aisément que, si des G' et $' on supprime
les F, on a
courbes F', pouvant être prises pour les 0' courbes de/"' répondant sur cette surface au théorème fondamental sur les intégrales de différentielles totales de troisième espèce, de sorte que l'on aura
En eilet, tout d'abord il n'y aura pas d'intégrale de troisième espèce correspondant aux courbes T', car, en revenant à/, l'on voit qu'une telle intégrale serait nécessairement de la forme
A, K'i -H. . .+ Ai.'Kf' (les A non tous nuls),
et, par suite, le déterminant des périodes logarithmiques formées avec les courbes F serait nul.
D'autre part, soit une courbe U quelconque de /', on peut former une intégrale de troisième espèce n'ayant d'autres courbes logarithmiques que L' et la totalité ou une partie des courbes V . Si l'on revient, en effet, à /, on pourra former une intégrale correspondant à la transformée L de L' et aux courbes C; en revenant ensuite à /', on a une intégrale J', ayant comme courbes logarithmiques 17 et la totalité ou une partie des courbes G' et ^h'. Formons alors la combinaison
J' -f- Al K'i -+- . . . -I- Al- Kf ;
on peut choisir les A de manière à faire disparaître dans cette combinaison, comme lignes logarithmiques, les courbes T (le déterminant relatif aux F n'étant pas nul), et il reste seulement les courbes F', comme nous voulions le montrer.
Nous avons donc la relation suivante, iniporlante pour notre
objet y
^2. Revenons maintenant à la relation du n" 20; elle pourra s'écrire
C'est une relation d' invariance relative d' une forme remarquable entre deux surfaces se correspondant point par point; il y figure, comme l'on voit, les nombres des points fondamentaux de la correspondance sur Fune et l'autre surface.
On vient de voir l'importance de la combinaison
dans la théorie des intégrales doubles de seconde espèce. Or cette combinaison s'est déjà présentée dans la théorie géométrique des
INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. qlS
surfaces algébriques. Dans le Mémoire de M. Nuther [^w/- Théorie des eindeiiligen Eatspvechens algebraisclier Gebilde {Math. Annalen, t. VIH)] on trouve (notamment p. 007) la combinaison (*)
Avec nos notations, on a
ce qui donne
n' — '2 rt -i- 3 n = N — 4/? — '" + 4 •
On trouve, à la page citée du Mémoire de M. Nother, la formule relative à deux surfaces / et /< se correspondant point par point,
(i4) 1^ — 2 a -H 3 /i -f- Z [j. = n'i — 2»! -I- 3^1 -f- SjJii.
Dans cette formule, S|ji désigne la somme des multiplicités de tous les points fondamentaux de /*, augmentée de la somme des multiplicités des points multiples de / qui ne sont pas points fondamentaux (tous les points multiples envisagés étant des points isolés), et pareillement pour Su., relativement à f\.
Notre formule (i3) coïncide avec la formule (i4) de M. Notlier, sauf que, dans le cas de M. Nother, peuvent se trouver des points multiples isolés d'ordre supérieur à deux, cas que nous n'avons pas examiné dans notre théorie (-).
Il est bien remarquable de voir ainsi établi un lien entre deux points de vue si différents, celui de MM. Zeutlien et Notlier et des géomètres qui les ont suivis dans l'étude géométrique des surfaces, et le point de vue transcendant auquel se rapportent nos recherches sur les périodes des intégrales doubles dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables.
(1) M. Zeuthen {Math. Annalen, t. IV, p. 87) avait déjà formé un invariant relatif analogue, qui a été aussi étudié par M. Segre. Beaucoup plus récemment, MM. Castelnuovo et Enriques ont aussi rencontré la môme combinaison {Annali di Matematlca, 1901) dans une étude remarquable sur les systèmes linéaires de courbes d'une surface.
(-) Il serait intéressant et sans difficultés réelles de combler cette lacune, mais ceci demanderait quelques développements. Il nous suffît, dans l'exposé de la théorie générale, de considérer les singularités ordinaires.
^l\ CHAPITRE \II.
!23. Nous terminerons ceCliapitre en faisant une application de la formule générale établie ci-dessus. On peut tout d'abord se demander quelle est la valeur de Oo pour la surface la plus générale de degré m. Pour répondre à cette question, il faut avoir la valeur de 0 pour cette surface. On peut montrer que pour cette surface, quand m est au moins égal à quatre, on a
Ce résultat peut se déduire d'un théorème donné par M. Ncither dans son célèbre Mémoire relatif aux courbes gauches algébriques (Mémoires de r Académie de Berlin, 1882, n"*^!! et lî2), à savoir que, sur la surface la plus générale de degré m{ml4), toute courbe algébrique est r intersection complète de la surface avec une autre surface algébrique (•). En effet, soit une courbe C, de la surface, intersection de celle-ci avec la surface de degré /?«,
Fi(a.-, jK, 5) = 0.
Prenons une autre courbe quelconque Go; celle-ci sera l'intersection de la surface avec une autre surface de degré mo,
Il suffit de prendre
log —
pour avoir une intégrale de différentielle totale n'ajant d'autres courbes logarithmiques que C, et C-, ; donc p = i . En appliquant la formule
on trouve, puisque l'on a
(m — 1 ) ( m — 9.) N := mi m — 1)2, p = '
(t) A la vérité, la démonslralion de M. Nolher fondée sur une énumération de constantes ne peut être rej,'ardée que comme rendant le théorème très vraisemblable, et il y aurait lieu de revenir sur la question. On conclut encore de ce théorème que, pour la surface la plus générale de degré m(m>4), toute intégrale de différentielle totale est une combinaison algébrico-logaritlimique {voir une N..lc de M. Picard publiée dans les Comptes rendus, 2. février 1904, où sont d'ailleurs indiquées diverses applications particulières sur lesquelles nous reviendrons au Chapitre XIV).
INTÉGRALES DOUBLES DISTIiNCTES DE SECONDE ESPÈCE. 4 1 5
le résultat suivant
po = (m — i) ( m- — 3 /n H- 3 )
comme nombre Oq pour la surface gênéi'ale de degré in(^jii^/\).
24. Nous avons déjà insisté (voir, par exemple, t. II, p. SaS) sur la dépendance entre p et la nature arithmétique des coefficients de la surface. Aussi ne faudrait-il pas conclure de ce qui précède que l'on a p = i pour toute surface de degré m sans points multiples. Ainsi nous avons montré (t. II, p. 28-) que, pour la surface
^m — xni | P(^) ( m '^: î ),
où P(jk) est un polvnome arbitraire de degré m, on a
ce qui donne
po = [in — i){in — •2)2.
2o. Prenons encore quelques surfaces particulières. Soit la surface unicursale /définie en coordonnées homogènes parles équations
^i=fi{'^^ .S, Y) (* = ', 2, 3, 4),
f\ ^ fil fi et fi, étant des polynômes homogènes de degré n en a, [ii et V. On suppose que les courbes
aient a points simples communs ne répondant d'ailleurs à aucune dispdsition particulière.
On a manifestement pour la surface
Cherchons la valeur de p. Aux a points fondamentaux àv\ plan (a, [ii, y) que nous désignerons par /' correspondent sur la surface f des courbes distinctes
Cl, C2, . • . , Ca ;
de plus, il n'y aura pas sur / de points fondamentaux. Appliquons
la formule du n" 21
4l6 CHAP. XII. — INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE.
on a
Par suite
Il ne reste plus qu'à calculer la classe N de la surface; ceci est élémentaire. Les axes ayant une disposition quelconque par rapport à la surface, il suffira de chercher, la surface étant représentée par
les points de la surface où le plan tangent est parallèle au plan des yz. Ils sont donnés par les deux équations
àfx dj, dU
d% d^ do
dont les solutions communes sont en nombre 3(/i — i)-; on a
donc
La formule donne alors
po = o,
ce qui devait être, puisque la surface est unicursale et n'a pas par suite d'intégrale double de seconde espèce qui ne se ramène à la forme
dV à\\ j , ôx dy I -^
Uel V étant rationnelles en x.y et z.
