II, 1.2, ..., I

d'une courbe algébrique; nous allons montrer que le nombre de leurs périodes (dans leur ensemble), ou, si l'on aime mieux, que le nombre des périodes, arithméiiquement distinctes, d^ une combinaison linéciire arbitraire de ces intégrales , ne peut être inférieur à 9.q. Supposons, en effet, qu'il en soit autrement et qu'il y ait seulement 2^ — s périodes; on pourra avoir, pour les I, un Tableau de périodes, correspondant à ip cycles distincts de la courbe algébrique (ou de la surface de Riemann correspondante), qui sera de la forme

• • aq.tq-s

4l8 CHAPITRE Xin.

le nombre des zéros dans chaque ligne étant ip — 'iq-\-s. Si l'on prend maintenant d'autres intégrales de première espèce l^.,.,, •••?!/? formant avec les I,, I2, . . . , I^ un système de p intégrales distinctes de la même espèce, le Tableau des périodes se complétera par

2. Ceci posé, rappelons-nous que l'on peut former, étant donnée une courbe algébrique, une intégrale de première espèce, pour laquelle les parties réelles des périodes relatives à 2/> cjxles distincts ont des valeurs arbitrairement choisies; c'est là un point classique dans la théorie de Riemann. Or formons la combinaison

(i) (ai+f{3i)I,-f-...-i-(a/, + fP/,)J/>;

on doit pouvoir choisir les constantes réelles a et [3 de manière que les parties réelles des périodes de (1) aient telles valeurs que l'on voudra, pour les ip cycles correspondant aux ip colonnes verticales du Tableau ci-dessus. Or, si l'on égale à

2/> — iq -+- s

valeurs données les parties réelles des périodes correspondant aux 2/> — iq -\- s dernières colonnes du Tableau, on aura2/J — 'iq -\- s équations linéaires entre les inconnues

qui sont en nombre

•ip — nq. ''

Le nombre des inconnues est inférieur de s au nombre des équations; ceci entraîne nécessairement des relations entre les parties réelles données des périodes, ce (pii nous conduit à une contradiction. // est donc impossible de supposer que s est différent de zéro, et le théorème énoncé au n" 1 est établi (').

(') Sur celte (jueslion on peut consulter le Mémoire de AI. E. Picaiîd [Sur la dëlerminalion du nombre des périodes des intégrales abéliennes ( Bulletin de la Société mathématique de France, t. XI, i883)].

3. Considérons maintenant, en premier lieu, une surface algébrique régulière, c'est-à-dire pour laquelle p^^=ip,i (^voif, pour cette définition, t. II, p. 89). L'ensemble des adjointes d'ordre m — 3, de la surface donne, sur le plan

l'ensemble des adjointes d'ordre /n — 3 de la courbe

la surface étant, bien entendu, représentée pnrf(x,y, z) = o.

Les intégrales de première espèce de la courbe précédente (2) seront représentées par

^Ih = o représentant une surface adjointe d'ordre m — 3 de la surface /. Je suppose que la surface admette r intégrales distinctes de seconde espèce. D'après ce que nous avons démontré antérieurement, il y a /■ cycles distincts {voir Chapitre précédent, n" 6) donnant des ])ériodes qui s'expriment par des polynômes en y. Prenons nos intégrales (3); |)armi leurs àj) périodes, il y en qui sont des polynômes en y. Or développons dans le voisinage ie y = 00 une période d'ailleurs quelconque de (3). Cela sera

facile, en posant

Si l'on a, en groupant par termes homogènes,

Q/,(a7,j-, z) =3 qu{x,y, z)^.. .,

on voit de suite qu'une période quelconque de (3), pour y trè;

grand, est de la forme

où a représente une période de l'intégrale

cji, {x. [, :; ) dx

[relative à la courbe o(x, r, z) = o\. r. KT S., II. 28

f^20 CHAPITRE XIII.

Or considérons les r périodes de (3), qui sont des polynômes eny. D'après la forme précédente (4), elles sont identiquement nulles. Nous sommes donc conduits à cette conclusion, que les p intégrales (3) de première espèce ont /• périodes nulles, correspondant à /• cycles distincts de la courbe entre x et z représentée par y(^,JK, -) = o. Nous pouvons maintenant appliquer les remarques faites plus haut; la courbe précédente a toutes ses intégrales de première espèce, qui ont seulement '2p —r périodes.

Ceci entraine

Ainsi se trouve établi le théorème suivant :

Une surface régulière n'a pas d'intégrales de différentielles totales de seconde espèce {transcendantes).

Cet intéressant théorème a été démontré pour la première fois par M. Severi (') en se plaçant au point de vue de la théorie géométrique des systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface. La démonstration C^) qu'on vient de lire rattache très simplement le théorème aux méthodes des Chapitres précédents.

i. Allons plus loin et appliquons le théorème préliminaire du n° 1 dans toute sa généralité. Supposons que la surface/ se présente dans les conditions suivantes : elle est irrégulière, et sur un plan quelconque les adjointes d'ordre m — 3 de / découpent un système linéaire de courbes d'ordre m — 3 dépendant seulement de/> — to,„3 paramètres arbitraires (co,„:, >o). Nous pouvons former p — w,„, intégrales distinctes de première espèce de la courbe entre ^ et ^ représentée par/== o, qui seraïit de la forme

où i)h = o est une adjointe d'ordre m — 3 de la suriace.

(') F. Seveui. Sidla supcrjicie algebriche che possegono inlegrali di Picard délia secunda specie {Rendiconti delta R. Acadenila dei Lincei, septembre

' {■') E. PiCAiiD, Sur quelques théorèmes relatifs aux surfaces algébriques de linéaire supérieure à V unité {Comptes rendus, iG janvier igoô).

connexion

Or, en raisonnant comme ci-dessus, il est clair que Fensemljle des intégrales (5) a seulement 2/> — /• périodes arithmétiquement distinctes, puisque /• périodes correspondant à des cycles distincts sont des polynômes s'annulant pour jk = x, et, par suite, identiquement nuls.

Nous pouvons alors appliquer le théorème préliminaire du n" 1. Nous avons /> — co,„.3 intégrales d'une courbe algébrique avec ip—r périodes seulement; le nombre des périodes étant au moins double du nombre des intégrales, on a

ip — r::^-?Ap — LOni-i), c'est-à-dire

C'est une inégalité importante {^); couime, d'ailleurs, d'après la définition même de Pg—pn (page 88 de ce volume), on a

^m-Z^Pfr — pn,

il en résulte que

(7) r<-î(p,.—pn).

Nous reviendrons à la fin de ce Chapitre sur l'inégalité (6), [)Our en déduire un théorème relatif aux adjointes d'une surface algébrique.

Sur une propriété de l'équation linéaire E, et sur une inégalité

qui s'en déduit.

o. Indiquons une propriété de l'équation différentielle linéaire E, <|ui va nous être très utile. En prenant 2p périodes distinctes

(^) OJi, tOo,

d'une intégrale de seconde espèce du type toujours envisagé.

nous

•) E. Picard, Sur une inégalité relative à la connexion linéaire et sur le calcul du genre numérique d'une surface algébrique {Comptes rendus, 3 juillet igoS).

^l9.'£ CHAIMTRi: XIII.

avons vu au Gliapitro précèdent ([ue le groupe de l équation E laissait invariable une expression, classique dans la théorie des fonctions abéliennes, de la tornie