C//,CO/-J
les c étant des entiers de déterminant un (ci/i = — Cfd)^ quand on efFectue à la fois sur les (o et les 'j une substitution du groupe. Or il y a ;• périodes, soient
(pii sont des polvnonies en y. D(''signons, comme nous l'avons fait
antérieurement, [)ar
!>,, i>o, .... il-,,,.,
les 2/> — /■ autres périodes distinctes, soumises entre elles à des stdjstitutions linéaires par la circulation de )'. Le groupe qui nous occupe a ses substitutions de la forme
0/, =to,,
^2/> /■ = «2/.-/Mii| -T- «2/,-,.. 2^22^- . .-i-r/2/;-^,2/*-/•Û2/^-^.
Avec ces nouvelles notations, il faut (considérer dans l'expression (9) que
(0,-4 1, . . . , LO-ip
sont res[)ectivemenl ('gaux à ^r
Uappelons (pie nous avons établi (p. 3()-) (pie les tl satisfont à une équation dillérentielle liiK'aireEo d ordre >.p — /à coefficients rationnels en y: en réalité, c'est r équation Eq qui joue Le principal j Ole dans notre tliéorie, plus encore que l équation E.
Il y a dans (()) des termes où i et k sont tous deux au [)lus ('gaux à /•, d'autres termes où ils sont tous deux supérieurs à /•, et enfin des termes où l'un de ces nombres est au plus égal, l'autre su[)érieur à /■.
Soit k<r et «■>/•. Pour que la forme (9) soit invariante, on devra avoir la somme
2^Ci/."h-
(où k reste fixe, et i varie de /•-!- i à 2/?) elle-même invariante,
c'est-à-dire que la somme précédente sera une fonction uniforme
dey, par suite un polynôme. Mais, si r a été bien choisi, il n'y a
pas de combinaison linéaire des il, qui se réduise à un polynôme
en /, sauf le cas où tous les coefficients sont nuls. On a donc
nécessairement
Donc, dans la somme (9), il y a deux catégories de termes, ceux qui dépendent des co et ceux qui dépendent des Q. Nous jiouvons donc l'écrire sous la forme
/A rfi'
i et A- variant de un à /', tandis que l' et A' varient de un à 27; — /*, et l'on a toujours
Ci/c = C/ci, Ci'/,' = C /,',-'.
Le déterminant total des c est éi^al à l'unilé; or il est visiblement égal au produit des deux déterminants
|c//, 1 et \ci'/,'\.
Ceci entraine tout d'abord que /• soit /)ai/-, car un déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul. Nous avons donc ce théorème :
Le nombre r des intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce est nécessairement pair.
6. Nous pouvons encore tirer des considérations précédentes une autre conséquence. Il est d'abord bien connu qu'en effectuant sur les (0 (et les u) une substitution à coefficients entiers et de déterminant un, on peut ramener la première somme figurant dans (10) à la forme canonique
et l'on peut înoir la forme canonique analo«;iie pour la seconde soninic. Delà, nous concluons qu'avec les /' cycles co/'/espondanf aux w, on peut faire - réivosections de Riemann
puis avec les xp — r cycles correspondant aux t2 on peut faire p rétrosections
Ce résultat précise bien la disposition de ces différents cycles.
7. Nous allons en déduire de suite une inégalité entre le nombre /• des intégrales simples de seconde espèce, et le nombre /'o des intégrales simples de première espèce. Soient
II, J2, . . ., Ip
les /) intégrales de première espèce de la courbe entre x et :?, f{x,y^ z) = o. Si la surface a des intégrales de prcjnière espèce, on pourra trouver, d'après un raisonnement fait bien des fois, des fonctions rationnelles «,, a-j, ..., a^ de y, telles cjuc l'intégrale abélienne
relative à la courbe précédente ait ses j)ériodes indépendantes dej'. Or, poui' une intégrale de première espèce^ on ne peut se donner que les périodes relatives à p cycles, appartenant à p rétrosections de Rieuiann^ soient ici les G/ et les G/.. Mais pour les G]^. les [)ériodes de toute intégrale de diUerenticllc totale d(ï seconde espèce sont nécessairement nulles (ainsi que [)ourles DJ^) ; nous pouvons donc nous donner seulement tout au [)lus les - constantes relatiNcs aux G/. Ce cjui nous donne l'inégalité
Quelques théorèmes sur les nombres des intégrales de première et de seconde espèce.
8. Etablissons encore une inégalité intéressante. Tout d'abord nous ne diminuons ])as la généralité en supposant qu'il s'agisse d'une surface pour laquelle
c'est-à-dire pour laquelle tous les défauts co^ (voi/' p. 88) sont nuls quand h^m — '2 ; ceci résulte (voir p. 128) de ce que l'on peut tracer sur une surface un système linéaire S de courbes, pour lequel le système adjoint découpe sur chaque courbe un groupe de points avec le défaut maximum pg. — p^. Si alors on fait la transformation habituelle, en utilisant un système à trois paramètres faisant partie de S, on aura réalisé la condition supposée. Pour éviter toute confusion, nous poserons dans la suite oj,„;5 = o. Les p intégrales de première espèce de la courbe entre œ et z
sont alors susceptibles d'être représentées par
J 'fz
les Q représentent des polynômes adjoints d'ordre m — 3 ; les l* représentent des polynômes correspondant à des adjointes particulières d'ordre m — 2, qui sont seulement de degré /// — 3 en ^ et s, et de degré m — 1 ei\ x^ y el z.
Nous désignerons d'une manière générale une intégrale de première espèce par
les intégrales (12) correspondront à h=p — o + i, . .., p\ le; inlégrales ([ 1) à A = i , 2, ...,/:> — 0.
