SO
nt des constantes (puisque ce sonl des polynômes de degré zéro
au plus). De plus, pour
ces constantes seront nulles (car le degré du polynôme serait — i). Des équations (i 3 ), il résulte que l'on a
^^ 1 4 ) l^ w^ — Pa m{' + P3 o) J — P^ (0 J -f- . . . -^ P,. 1 M^i — P/. coff 1 =n o ;
c'est une conséquence de la relation entre les ])ériodes de deux intégrales de première espèce. Les ét[uations (i/\), où les coeflicients des P sont des constantes, sont seulement en nond)re 0, puisque les équations sont des identités pour /i= i, 2, ...,/> — 0, d'après ce que nous venons de dire.
10. Nous allons établir réciproquement que, si l'on a /• constantes P,, P2, ..., P/ satisfaisant aux 0 relations (i4)? 'es 'ip équations (i3) en ^1, a-i, . . ., ap seront compatibles, et qu'il en résultera une intégrale de dilïerentielle totale de première espèce^ dont les périodes seront précisément P,, Po, . . ., P, .
Tout d'abord, on voit immédiatement que les équations (i3) sont seulement en nombre />, quand les conditions (i4) sont vérifiées. Il suffit, pour s'en assurer, de multiplier respectivement les équations par
10^', —0)^', ..., m'I,,, — wJ/,^,
(Il étant compris entre un et p) et de faire la somme; on a une combinaison identiquement nulle. •
Les équations (i3) reviennent donc à /> d'entre elles, convenablement choisies, par exemple à celles qui correspondent aux cycles C et G', et qui, par suite, correspondront aux équations prises de deux en deux,
IWJ H- «2^1 -i- . . . -T- «/; (0^1^ =1^1,
f^2S CHAPITHi: XIII.
On sait que le délermiiiant d'ordre p formé avec les co^^^, n'est pas identiquement nul.
11 est clair que les équations (i3) et, par suite, les équations (i 5) donnent pour les «des fonctions uniformes (et, par suite, rationnelles) dejr; en efl'et, les /• premières équations (i3) restent invariables, (juand y partant d'un point y revient, puisque les to qui y figurent sont des constantes, et les ip — r autres sont seulement remplacées par des combinaisons linéaires d'elles-mêmes.
Gherclions maintenant quelle est la nature des fonctions rationnelles a de r, satisfaisant aux équations (i5). Nous aurons à distinguer, relativement à lu suivant que h appartient à la suite
ou à la suite
(fi) p-l^u ..., r-
Si h est dans la suite (a) on a pour y très grand
et a^ est manifestement égale à une période de l'intégrale
relative à la courbe o{x, i , 5) = o, en désignant par ^/^(jp, y, 3) et cp (^, r, z) les termes homogènes de plus haut degré (respectiveinentm — 3 et m) dans QA(x,y, z) et dans /(^, y, z). Si h est dans la suite ( [i), on aura
Jl — r.h
et a^. a la même signification que plus haut, sauf que qh{oc^y^ z) est un polynôme homogène de degré m — 2.
De cette signification des a^, il résulte que le déterminant
■ip \
n'est pas nul d'après une proposition classique dans la théorie des intégrales aljéliennes de première espèce; car ce déterminant représente le déterminant des périodes pour les cycles G et G' des
intégrales
q,,{x, y, z)dx
(h = 1, 2, ...,yj S), {h == p — 5-i-l, ...,/)),
quand on y fait j/ == co, ce qui donne alors (avec le changement de variables fait plus haut) des intégrales relatives à la courl^e cp(.r, i, z) = o.
Il résulte de là que le développement des a suivant les puissances descendantes de y commence par un terme, qui est au plus (ki premier degré en y pour
et qui est une constante pour les autres fonctions a.
11. Nous allons montrer maintenant que a^, a^, ..., «/>5 sont des polynômes du premier degré en y, et que les autres a sont des constantes. Il suffira de voir qu'ils ne sont infinis pour aucune valeur finie dey. Or le déterminant
reste évidemment Tmi et différent de zéro^ quand jr n'est pas en un point singulier h de l'équation E. Les seules valeurs à examiner sont donc les valeurs b.
Donnons à y une valeur voisine de b. On peut supposer que les cycles donnant les périodes marquées par les indices r, 3, .. ., 2y> — I sont formés, le premier par un petit contour y enveloppant les deux points singuliers de la courbe fi^x^ y, z)= o voisins de b^ et les autres de p — i contours ne passant pas dans le voisinage de b^ et qui deviendront, quand jk sera égal à b, /> — i cycles de la courbe de genre yv — i
CHAPITHE XIII.
appartenant respectivement aux rétrosections d'une division canonique de Riemann.
Les adjointes ()/i de la surface / ici considérées dépendent de p paramètres ; on peut donc supposer que p — i d'entre elles
passent par le point de la surface où le plan tancent est donné par
la dernière Q^ ne passant pas par ce point.
(^ue deviennent dans le déterminant (i6) les différents termes pour j^ = h'] Dans la première ligne, on aura
{\iO\i\y = b).
D'autre part, le déterminant d'ordre/? — i
(pour y = b)
ojj '
n'est pas nul, puisque c'est le déterminant de p — i périodes appartenant chacune à une rétrosection du type canonique pour la courbe /"(/•, 0, z)^= o de genre p — i .
11 résulte de là (jue le déterminant (i<)) est diliérent de zéro pour y =6. I^es fonctions rationnelles a sont donc finies pour loute valeur finie dey, et l'on aura donc, d'aj)rès ce (pii a été dit au numéro précédent.
les a et les 3 étant des constantes.
12. Le théorème énoncé est maintenant immédiat, car l'expression
est le coefficient de dx dans une intégrale de différentielle totale de seconde espèce, et, d'après la forme des rt, cette intégrale de
INTÉGRALES TOTALES DE PUl-MlfcRK ET I)K SECONDE ESPÈCE. 4^1
seconde espèce est de première espèce. Nous pouvons donc dire que :
Le nombre des intégrales simples distinctes de première espèce d' une surface algébrique e^t égal au nombre des constantes V pouvant être prises arbitrairement dans les o équations
[h prenant les valeurs p — o + i , ...,/>). Dans ces équations les (0 sont des constantes.
13. Si les premiers membres des équations précédentes regardés comme des polynômes en P sont indépendants, on pourra prendre arbitrairement
des P, et alors le nombre /•„ des intégrales de première espèce sera précisément /• — g. On aura donc
mais ce raisonnement rend seulement ce résultat vraisemblable. Si les polynômes en P se réduisaient à un moindre nombre, il j aurait plus de /• — 0 lettres P arbitraires. Nous pouvons donc seulement en toute rigueur conclure à Vinégalité
ro^r — 0.
()u'arriverait-il, si les équations du numéro précédent n'étaieni pas indépendantes? 11 est visible qu'il y aurait une intégrale abélienne de la forme
(les X étant des constantes non toutes nulles) dont les /• péi-iodes relatives aux rétrosections (C, D) seraient nulles.
Ainsi, il y aurait une intégrale de première espèce du second type [le type (12)] dont les r premières périodes seraient nulles, comme il arrive à toutes les intégrales du type (ri). Dans la note citée au n° 3, M. Picard, pensant avoir démontré que cette
circonstance est impossible, énonce que Ton a
Mais, cette démonstration ayant besoin d'être complétée, nous ne nous y arrêterons pas. D'ailleurs, l'égalité (17) a été établie, en se plaçant à un tout autre point de vue, par M. Severi dans un 1res intéressant Mémoire auquel nous renverrons (* ).
1-4. Nous énoncerons encore un théorème extrêmement remarquable du à M. Castelnuovo relatif aux nombres des intégrales de (Uficrentielles totales de preuiière et de seconde espèce (-). Ce théorème consiste en ce que L'on a VégaUté
(18) r = 'xrj^
d'où résulte en outre, en vertu de la relation (17),
INous ne donnerons pas la démonstration de M. Castelnuovo; elle s'appuie sur un théorème fondamental de M. Enriques, (pu n'a pas été établi dans cet Ouvrage et dont l'étude nous entraînerait troj) loin (='). En utilisant aussi ce théorème, M. Severi ( ' ) a donné une autre déuionstration de la relation (18 ).
(Hie faudrait-il faire pour établir le théorème de M. Castelnuovo, en se servant de la proposition que nous avons démontrée au n'' 1^. Pour le voir, cherchons d'abord (juelles conséquences résulteront du théorème de M. Castelnuovo, pour le Tableau des périodes des intégrales (11) et (12) de la page 4^5, qui forment les/> intégrales de première espèce de la courbe entre x et, g.
( ' ) V. Sevkri, Sulla dlJJ'erenza tra i niimeri degli integrali di Picard detla prima et delta secunda specie appartenenti ad ana superficie algebrica {Accademia Reale dette Scieiize di Torinu, 18 janvier kjoS).
(2) G. Castelnuovo, Sugli integrati aemptici appartenenti ad iina superjicie irregolare {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, janvier hjoS, et Rendiconti delta R. Accademia dei Lincei, mai-juin igoS).
(3) F. Enriques, Sulla proprieta caratteristica dette superficie algebriche irregolari {Atii delta R. Accademia dette Scienze delV Istituto di Rologna, 1 1 déc. 1904 ).
(^) F. Seveui, Il teorema d'Abel suite superficie algebriche {Annali di Ma- Lematica, 3" série, t. XII).
Pour les p — 0 intégrales du type (i i), on a un Tableau des périodes que l'on peut écrire
tp-r
les /• premières colonnes correspondant aux cycles (C, D).
Quant aux- intégrales (12), on peut évidemment supposer qu'elles
correspondent aux - intégrales de différentielles totales de première espèce, nous voulons dire qu'elles représentent ces intégrales quand on j fait dy = o. Dans ces conditions, les périodes des intégrales (12) relatives aux cycles (C, D') sont nulles, et l'on a alors pour ces intégrales le Tableau
air
où les a sont des constantes.
Si, maintenant, [)renant deux intégrales quelconques parmi les p intégrales de première espèce (i i) et (12), on forme la relation bilinéaire entre les périodes de ces intégrales, on aura une relation qui sera identiquement vérifiée si l'on prend une intégrale du Tableau (71,) et une Intégrale du Tableau (^to); cette relation ne contiendra que les périodes relatives aux cycles (C, D') si l'on envisage deux intégrales du Tableau (tc,), et enfin elle ne contiendra que les périodes relatives aux cycles (C, D) si l'on prend deux intégrales du Tableau (^to).
De là nous concluons, toujours en admettant le théorème de M. Gastelnuovo, que, si l'on prend deux Intégrales abéllennes quelconques de première espèce
et
K(x, y, z) dx RV,r, V,
) dx
fi
de la combe entre x el z
où K et IV sont des polynômes en x^ y et ^, on a entre les solutions
w,.^i, ..., Lû-i,, et «0;.+ ,, ..., Wj;,,
des équations E„ et E'„ relatives à ees deux intégrales (en revenant aux notations des n'" 9 et suivants) la relation bilinéaire
iNous savons, d'après ce qui a été établi dans la Section II de ce Chapitre, que le groupe de l'équation £« laisse invariable le premier membre de (19) quand on edectue simultanément sur les (o et les oj' les substitutions de ce groupe, mais nous n'avons pas réussi à dc'inontrer directement que ce premier membre est nul ( * ) ; il nous semble toutefois très probable qu'on pourra un joury parvenir.
( hioi qu'il en soit, si Von admet ce fait, nous allons voir que l'on peut démontrer facilement, en se servant des tliéorèmes établis dans les paragraphes précédents, que le nombre des intégrales
de diflerentielles totales de première espèce est égal à -•
