Tout d'abord, on aura évidemment
( '>a ) (Oi Wj — W.2 10', -H .... -f- o),.i to^. — CO/. to',. , = o,
puisque la somme des preun'ers membres des égalités (19) et (20) est nulle.
11 s'agit de savoir combien nous pourrons prendre tle constantes P arbitraires dans les équations (i3) du n" 9, poui- (pie ces ip équations aux p inconnues r;,, a.^, . . ., Up soient conq)atibles.
Considérons les écpiations (i5) du n" 10, en donnant à
(') iM. Picard pensait avoir obtenu une telle dénioiistration à l'aide de considérations délicates empruntées à Y Analysis *«7m,s dans l'espace à quatre dimensions, mais celle démonstration nous semble maintenant sujelle à des objections, et nous nous contenions d'appeler l'attention sur la lacune qui reste à combler.
IMÉGHALES TOTALES I)H PRI:MIÎ-:RE ET DE SECONDE ESPÈCE. f\^ri
des valeurs arbitraires; nous déterminons ainsi «,, «o? •••7 ctp- Nous allons voir que les valeurs des autres périodes, pour l'intégrale correspondant à ces valeurs des <7, sont des constantes déterminées Po? •••, Pr pour les cycles D, et sont nulles pour les cycles 1)', de telle sorte ([ue l'on a des écjuations de la forme (i3).
Désignons par P^^ • • •? IV les périodes relatives aux cycles D d<; l'intégrale de ])remière espèce formée avec les a. Soient aussi P/-4.2, P/-f',, •• -, Pj/? les périodes de la même in!(''grale relative aux (cycles D' . 11 faut démontrer que Po, P/, , . . ., P,- sont des constantes et que P/4.0, . . ., Po^, sont nuls.
C'est ce que vont nous donner les relations (19) et (20). Nous pouvons écrire les équations
cil w} -!- ao (0 1 -T- . . . -7- aj,iù'l ==^ Pj, (i I (0 1 -i- (-r^ (..) r, H- . . . -f- a„ oj'.', = 1 '., .
<7i W ), -f- «2 W"^. H- . . , -f- (Ij, Oij! — 1*/..
On en déduit, d'après les relations (20),
(21) I»i w^' — p, oi'l ~ P3 toj — P4 cof/ -f- . . . -f- P/. -1 w^'. — I»,. tù^/. 1 ^ o,
A étant un quelconque des nomhi-es i, 2, ..., />»; tous les to figurant dans ces i-elations sont d'ailleurs des constantes (c'est-à-dire indépendantes dey). Or tous les déterminants formés, en pi-enaut
ignés dans le Tableau
wî, coj, ..., to^, (A -!,•>, ,.../>),
ne sont pas nuls, vîiv alors le déterminant d'ordre p formé avec les j)ériodes relatives aux cycles G et C serait nul, ce qui n'a pas lieu d'après un théorème classic[ue. Les équations (21) déterminent alors certainement
Po P' P,
en fonction des arbitraires
Pi, P3, ..., P.-.,
et il ne s'introduit que des constantes dans ces expressions. Nous avons donc le résultat voulu.
/36 CHAPITRE xin.
Considcrons de même les équations
a^M\,, -\~aiiM\,> -\-...-^ apM'.l,, = l*2/>,
OÙ les seconds membres sont alternativement zéro et une lettre P à indice pair. Nous aurons, d'après les relations (19),
Or tous les déterminants formés en prenant p — '- l'^i^es dans le Tableau , . , x
ne sont pas nuls, car alors le déterminant d'ordre /j formé avec les périodes relatives aux cycles G et C serait nul. Des équations (22) on conclut donc qu(;
Donc, dans les 2/> équations (i3) du n" 9, on peut prendre arbitrai rement
Pi, P., ..., IV-i^
et, en choisissant convenablement P,, P4, ..-, Pr au moyen des écpiations (21) nécessairement compatibles, il est possible de tirer des équations (i3) les a de manière à avoir une intégrale de première espèce. Il se trouve ainsi établi, sous le bénéfice des relations admises (u) ou 20), que le nombre des intégrales de dl^(j érenliellcs totales de première espèce est -•
Sur une propriété des adjointes d'une surface algébrique.
16. Nous terminerons ce Chapitre en démontrant une propriété intéressante des adjointes d'une surface algébrique (').
Revenons à cet effet à la première section de ce Gliapitre. Nous n'j avons fait aucune hypothèse sur les adjointes au point de vue de leur section par un plan quelconque. Nous avons, dans le Chapitre IV de ce volume, considéré, avec M. Enriques, les adjointes (ledifférents ordres A(A>m — 3). L'ensemble des adjointes d'ordre h forme un système linéaire de surfaces. Celui-ci découpe sur un |)lan pris arbitrairement un système linéaire de courbes planes qui font évidemment partie des adjointes d'ordre A de la section plane correspondante de la surface. Mais il se peut que ce système linéaire de courbes planes ne forme pas Fensemble de ces adjointes, et qu'il y ait un défaut, qui a été désigné par toy^. Nous avons vu que, à partir d'une certaine valeur de A, tous les w sont nuls. En supposant que de li^=m — 3 à A = / — i les to soient différents de zéro, nous avons établi la formule de M. Enriques (p. 88)
(•23) Ps—Pn ^ ^O^A.
Or nous avons démontré, dans la Section I de ce Chapitre, l'inégalité
Or, d'après ('-^3),
Pg—P,iù^,n^%,
puisque les co sont positifs. Rapprochons les deux inégalités précédentes, en écrivant
(') E. Picard, Sur quelques questions se rattachant à la connexion linéaire clans la théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes {Journal de Crelle, Band 129, igoo).
'^38 CHAIMTIIK XIII. I.Mfi(;i{ALES TOTALKS, KTC.
Mais, d'après le lliëorènie de M. Casteliiuo\o.
/• = -Xip^r — Pu)-
Il faut donc que les deux iné<;alltés soient des éj>alilés, et l'on a, par suite.
Donc on a, pour toulcs les adjointes d'ordre h [h^m — 2),
(/est là le théorème cpie nous voulions établir.
Ainsi, dans le calcul du genre d'une surface algébricjue, il n'y a (pie le défaut to„^:} à envisager. Nous pouvons encore énoncer le théorème sous la forme :
Les adjointes d'une surface d'ordre m, qui sont d'ordre supérieur ou égal à ni — 2, donnent sur un plan arbitraire le système complet des adjointes du même ordre de la section plane.
Ce résultat complète les belles recherches de M. Enricpies sur les adjointes d'une surface algébric|ue. Nous l'avons obtenu par une voie détournée ; on pourra sans doute le démontrer direclemenl en restant à un point de \ue ])uroment géométricjue.
SUR LES SURFACES HYPERELLIl^TIQUES.
Quelques propriétés des surfaces hyperelliptiques générales.
1. Nous ne nous proposons pas de faire dans ce Cliapitre une étude approfondie des surfaces hyperellipticpies; notre but est seulement d'appliquer à ces surfaces quelcpies-uns des résultats généraux donnés dans cet Ouvrage.
On appelle surfaces Iiypaelliptiques les surfaces pour les- ([uelles les (Mjordonnées d'un point quelconque s'expriment par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres. L'étude de ces surfaces a été commencée par M. Picard ('), qui a étal)li leurs propriétés les plus siuiples. Une étude très approfondie en a été faite par M. Humbert dans son beau Mémoire Sut' la théorie géiiérale des surfaces Iiyperellijftiques (-).
!2. On sait qu'entre trois fonctions uniformes quadruplement périodiques de deux variables u et i', ayant partout à distance finie le caractère d'une fonction rationnelle, il existe une relation algébrique. Deux cas peuvent se présenter; il peut arriver qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu'un seul système
( " ) K. PiCAUD, Sur les intégrales de dijférentielles totales algébriques de première espèce (Journal de Mathématiques, t. I, /"f sér., i(SS5); Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, t. V, 4*^ sér., 1S89).
(-) G. IIuMBEHT, Théorie générale des surface.-^ hyperelliptiques {Journal de Mathématiques, t. I\, 4" sér., 1890).
/^^O CHAPITRH XIY.
de valeurs de a et t^, abstraction faite de multiples des périodes, ou bien il y aiir a plusieurs systèmes de valeurs de u et r dans un prismatoïde de périodes.
Plaçons-nous dans la première hypothèse. Soit
une surface hyperelliptique jouissant de la propriété indicpiée ; on établit alors que toute fonction quadruplement périodique de u et V et avant partout à dislance finie le caractère d'une fonction rationnelle est une fonction rationnelle de x^y et z.
3. Il est facile de montrer que la surface possède deux intéfrrales de différentielles totales de première espèce. Soient
les trois équations donnant la représenlation paramétrique de la surface.
IN ou s avons
du ov
dy =^ —^ du -\- —— dv.
^ du dv
Or les coefficients de du et dv sont des fonctions quadruplement périodiques de u et ('; elles peuvent donc s'exprimer par des fonctions rationnelles de x, y et z. En résolvant les deux équations ])récédentes par rapport à du et dv, on aura donc
du = P dx^Q dy, dv = \\dx -{-Qidy,
les P et Q étant des fonctions rationnelles de x, y et ;. Les deux intégrales
Cvdx-i-Ody et i \\ dx -\- (^x dy
sont évidemment des inté-rales de dlfTérentielles totales relatives à la surface/, et elles sont de première espèce, puisque à tout point {x,y, z) doivent nécessairement correspondre des valeurs finies de u et v. Ces deux intégrales sont distinctes et Hnéairement indépendantes.
SURFACES HYPERELLIPTIQIES. 4^1
En second lieu, toute intégrale de première espèce de la surface est nécessairement une combinaison linéaire à coefncients constants des deux précédentes.
En effet, soit une intégrale de première espèce
\\dx-^q,dy-
en remplaçant .2-,^, z j)ar leurs valeurs en u et r, cette intégrale de^ienl
du -h 4^ dv,
'Si et '\j étant des fonctions quadruplement périodiques de u et c. Puisque l'inlégralc reste toujours finie, il faut que les fondions uniformes o et '| restent toujours finies; elles doivcnl donc se réduire à des constantes, et notre intégrale se réduit
a du. -i- £ <rA',
a et [i étant des constantes. Elle est donc une combinaison linéaire des deux preuiières.
i. On montre aisément (|ue le genre gêoinétrique de la surface est égal à un, c'est-à-dire qu'^V 7 a une seule intégrale double de première espèce. Soit une telle intégrale double
(•>.) J f\\[T,y,z)d.Tdy.
En remplaçant x, y et z ]iar leurs valeurs en u et r, l'intégrale devient
/ / Z("^ ^')dit
y étant une fonction uniforme quadruplement périodique de u et v. Si y ne se réduit pas à une constante, il est manifeste que, dans un prismatoïde de périodes, on pourra choisir un continuum d'intégration pour l'intégrale double, tel que celle-ci soit infinie. Il faut donc et il suffît d'ailleurs que y se réduise à nne constante. L'in-
téiirale double
du dv.
o CHAPiTin; XIV,
(jiii est l)icii de la ronnc (.>.), quand on revient à x, y et z^ est l'intégrale double de première espèce de la surface /. Elle est, comnie nous savons, de la forme [^
ff
Q(.r, y, z) d.r dy
() étant une adjointe d'ordre ?n — /\, nécessairement unique, de la surface / supposée d'ordre m.
T). Nous avous considéré (t. I, p. i3()) une surface ayant plusieurs intéi^rah's de première espèce ({ui ne soient pas fonctions Tune de raulre. Soient deux telles intégrales
/•''■'•^•-'' P> dx — A dv ' /^"J-.^' 1^, ,/.,. __ A , dy
(3) U--= j, et V^ -r, -.
Jl a été établi [toc. cit.) que l'on avait sur la surface l'identité
ABi-AiB = /,:.Q(.r,.r, :;),
()(j7, y, z) étant un polynôme adjoint d'ordre m — \. Ici le polynôme Q correspondra à l'unique adjointe d'ordre m — /\ de la surfaces /. Celle adjointe coupera la surface suivant la li<;ne doubb' cl suivant une ou plusieurs courbes simples que nous appellerons les courbes T.
Pour la surface que nous ('ludions, les équations
du,
lî dr
fi
Xdv
<io
IN les
nnent nécessairement pour ^ et r' (et::) des fondions unifoi de u et r. On \oit de suite que c'est seulement (piand le |)()int (.r, 1', z) s'aj)proche d'un point d'une courbe F, que r, y et :; |)ourraient cesser d'être des fondions uniformes de u et r. Soit M un point d'ailleurs quelconque (.r,,, y», -o) d'une telle courbe; d'après les équations (4), on voit que le ra[)port --— est indépendant de ^^ (piand {jo,r^ z) s'approche de M.
Donc les valeurs ^^o. <^o des intégrales u et (^ correspondant au point M ne donnent pas pour les fonctions x et y un point ordi-
SLRFACKS HYPERKLLIPTIQli:S. 143
nairo; ceci n'est pas douteux, puique x et )' ne j)ourroiit tendre \ ers x^) et j/'o ^^e si l'i limite du rapport à une valeur déterminée.
Par suite, les équations précédentes étant satisfaites par des fonctions quadruplement périodiques de u et r, le point ( «o? ^o) ^^''^ pour ces fonctions un point d'indétermination. Mais, quand M se déplacer.i sur la courbe F, le système des valeurs (f/07 ^'0) i^^ pourra pas varier d'une manière continue; car une fonction uniforme de deux variables indépendantes, qui présente, pour tout système de valeurs finies des variables, le caractère d'une fonction rationnelle, ne peut pas avoir une suite de points d'indétermination se suivant d'une manière continue. Par conséquent, u et v gardent une valeur constante, quand (^0, JK07 ^0) se déplace sur une courbe T.
Il résulte de là que toute cout'be V est une couibe unicursule. C'est une de ces lignes de la surface que, dans un Cba[)itre précédent, nous avons appelée une courbe exceptionnelle.
6. M. Humbert, dans le JVIéuioire cité pUis liaut, a fait une étude approfondie des courbes algébriques tracées sur les surfaces liyperelliptiques. Il représente d'abord ces surfaces en coordonnées homogènes par des équations de la forme
.Ti = e/(?/, p) («■ = I, 2, 3, 4),
les B/ étant des fonctions thêta normales de même ordre, de caractéristique nulle.
En supposant que les fonctions abéliennes ne sont pas singulières (c'est-à-dire qu'il n'y a pas entre certaines combinaisons de leurs périodes une relation homogène et linéaire à coefficients entiers), il établit (pie toute courbe algébrique tracée sur la surface est représentée par une équation de la forme
A et ijL étant des constantes, et 0 une fonction tliéta normale de caractéristique nulle.
x\ous renverrons à son Mémoire pour la déuionstration de cet important théorème.
7. Nous avons \u ])lus haut que le genre géométrique pg de 1;
surface est égal à un. En s'appuyant sur le throrèmc de M. Gaslelnuovo (t. Il, p. /\'^i) nous avons ici
puisqu'il y a deux intégrales de première espèce. On en déduit
Ce résultat a été antérieurement établi ]^ar M. Humbert au moyen d'un calcul direct {Journal de Matli., 1890, p. 429).
Ajoutons encore que la surface possède quatre intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce, puisque le nombre des cycles linéaires est é\idemment égal à quatre et que par suite r est égal à ce nombre.
On peut enfin se demander quel est le moindre degré d'une surface liyperelliptique du type qui vient de nous occuper. M. Picard a démontré qu'une surface de genre géométrique ('gai à un ne peu! avoir deux intégrales de diiïerentielles totales de premier ' espèce qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre, si son degré n'atteint pas six {Journalde Math., i885; voir aussi t. I, p. i4»)' mais il s'est borné aux singularités que nous avons appelées o/t//- /?<7«/'<?5 dans tout cet Ouvrage. Le théorèuie compléta été établi par M. A. Berry, et l'on trouvera dans les additions placées au commencement de ce Volume les renseignements bibliographiques à ce sujet. Ce résultat admis, il est clair qu'/7 ne peut exister de surface hyper elliptique de degré égal ou inférieur à cinq telle quà un point arbitraire de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs des paramètres aux périodes près.
On peut indi(|uer une surface du sixième degré reritrant au contraire dans ce type. Prenons en elfet la surface
/et o étant des polynômes arbitraires du troisième degré. En d<'signant par P(f^)etQ((^) les fonctions elliptiques correspondant à
SURFACES HYPEHELLIPTIQLES. l[\5
on aura évidemment
et la surface rentre jjien dans le type voulu.
Ici les fonctions abéliennes sont très spéciales, puisqu'elles se ramènent aux fonctions doublement périodiques pour chacun des paramètres. Relativement aux fonctions abéliennes générales, M. Humbert a indiqué une surface tijperelliptique du liuitiènie degré [Journal de Math., 1898, p. f\M\). On ne sait s'il en existe pour les sixième et septième degrés.
Sur les valeurs des nombres p et po pour une surface hyperellip tique non singulière.
8. Nous allons calculer les valeurs des nombres p et p(, pour une surface hyperelliptique non singulière, en désignant par p le nombre correspondant au théorème fondamental dans la théorie des intégrales de différentielles totales de troisième espèce (p. a4i), et par po le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce (|). 289).
Soit, comme plus haut, la surface/ donnée en coordonnées homogènes par les équations
Xi = &i(u, v) rt= I, 2, 3, 4),
les 0 étant des fonctions thêta normales du même ordre et de caractéristique nulle. Nous nous plaçons dans l'hypothèse où les quatre B ne s'annulent pas simultanément pour un même système de valeurs de u et r, c'est-à-dire que la surface est représentable point par point, sans exception, sur le champ hyperelliptique; il n'y a pas alors dans cette correspondance de courbe exceptionnelle sur la surface.
Envisageons sur la surface une courl)e algébrique irréductible. D'après ce que nous avons rappelé, elle sera représentée par une
équation de la forme
S {a — À, V — < jjl) = o,
A et a étant deux constantes, et (-) une fonction thêta normale de caractéristique nulle, dont nous désii>nerons l'ordre ])ar ?n.
Ceci posé, soit 8(;/, v) la fonction thêta normale, de caractérislique nulle, et d'ordre /f/i: la fonction
sera d'ordre f)i, et, par suite, le quotient
e(u— À, r — [jl) 0"'{u — À, <• — ;ji)
sera une fonction quadruplement périodique de u et r, et, par suite, uue fonction rationnelle des coordonnées non homogènes cZ", r et c d'un point arbitraire de la surface. Si donc nous considérons
rexj)ression
^^ e(u — \, y — jx)
ce sera une intégrale de dilférentielle totale de troisième esi)cce (réductible manifestement à un logarithme), ([iii aura sur la surface les deux courbes logarithmicjues
e( a — À, r — ;JL) — o et ^){ii —- A, v — a ) = o.
Ceci nous permet de nous borner, [)our l'étude des lignes de la surface donnée /, en tant c/iic courbes logarithmiques d'intégrales de troisième espiicc, aux lignes données par une équation
où ). et !JL sont deux constantes arbitraires.
Nous allons montrer (pie, si Ton prend c/e^/.r quelconques de ces lignes correspondant aux é(|uations
0(/^À,, (' |j.,) r= o et 0(// — A,. i>— ;j.2) = ^>,
(pie nous désignerons par C, et Co, il y aura une intégrale de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement ces deux lignes comme courbes logarithmiques. Supposons, en edel, que Ao et -j... soient respectivement très voisins de X, et ij., ; les deux courbes C, et C. de même degré sont alors très voisines l'une de l'autre sur la surface. Par conséquent, les substitutions du type S
SURFACES HYPERELLIPTIQLES. 4^7
envisagées au n" 2 (Chap. IX, p. 233) et se rapportant respectivement à la courbe G, et à la courbe G., sont identiques, c'est-à-dire que l'on aura {^voir n' 3, même Ghapitre)
Par suite, les ipk relations considérées dans le n'* 3 (Ghapitre cité) entre les K et les e pourront être satisfaites en prenant tous les K nuls, et
Cl + C2 = O.
Nous aurons alors une intégrale de troisième espèce, conformément à la théorie générale des intégrales de cette espèce, ayant les deux seules courbes logarithmiques Gi et G2 ; la ligne à l'infini de la surl'ace f ne peut être une courbe logarithmique [)our cette intégrale, puisque G| et Go sont du même degré, et que c, = — ^2- En faisant varier À et |jl |)ar degrés assez ])etits, on voit que deux courbes quelconques du type
sont courbes logarithmiques d'une intégrale convenable de troisième espèce. On a par suite pour la surjace hyperelliptique considéi'ée f sans courbes exceptionnelles (')
9. Ayant ainsi obtenu le nombre p correspondant à la surface/", nous allons chercher le nombre po des intégrales doubles distinctes de seconde espèce relatif à cette surface. Il est donné par la formule fondamentale de la page 4o8
(6) Po = N — 4/? — (/^i — 0 + ■^''•— (p — 0- La surface est définie par les écpiations
les (piatre 0 étant des fonctions ihêta normales, de caractéristique nulle, dont nous désignons maintenant par /z le degré; de plus,
(') E. PiCAUD, Annales de l'Ecole Normale, t. XVIII, 1901, p. [\\\.
ces fonctions n'ont pas de racines communes. 11 faut calculer les
nombres
Nous savons que p = i et /• = 4-
Or il résulte des formules du Mémoire cité de M. Hum])ert {Journal de Math., 1893, p. 43o) que l'on a
Il reste à évaluer la classe N de la surface. On voit de suite que N est éi^al au nombre des solutions distinctes des deux équations
e Jm ^ 0" ~" UîT ~ ~W '
Ou Ov
en désignant par 6 et G deux fon(Uions thêta normales d'ordre A, de caractéristique nulle, sans zéro commun, et d'ailleurs arbitraires. En s'appujant sur un théorème de M. Poincaré relatif aux racines communes à deux fonctions thèla, on trouve sans difficultés
Nous pouvons maintenant appliquer la formule (()); comme il devait être, la valeur de li disparaît, et Ton trouve immédiatement
po = 5.
Tel est le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce pour les surfaces hjperelliptiques non singulières. Si la surface hyperelliptique était singulière, c'est-à-dire '^i les périodes satisfaisaient à une ou plusieurs relations singulières (au sens de M. Humbert), il y aurait lieu de rechercher ce que devient le nombre Oq, qui peut être différent, car cet invariant, ainsi que nous l'avons déjà remarqué plusieurs fois dans ce Volume, n'est pas seulement géométrique et algébrique, mais a aussi un caractère aritliniêtique.
10. Les surfaces hjperelliptiques peuvent être rattachées au courbes de genre deux. Soit une courbe de genre deux
SURFACES HYPERELLII'TIQUES. 449
OÙ fi^x) est un polynôme du cinquième degré; nous considérons les équations classiques de la théorie des fonctions abéliennes
On sait que toute fonction rationnelle
symétrique en (.2^, , j^, ) et (^2, ^^2) est une fonction quadruple-
ment périodique de a et v.
Les équations
l ^ = ip, -I- ^2,
OÙ x^ et ^2 sont deux paramètres arbitraires, définissent une surface hyperelliptique /, et il est manifeste qu'à un point arbitraire (^5 fi -) ^^ cette surface ne correspond qu'«/z couple de points
{X,, ) ,), {x.,y.) de la courbe ^'^ ^/(j?) et, par suite, un seul système de valeurs de u et v (aux périodes près).
11 . Glierclions à former les intégrales doubles de seconde espèce de cette surface. Envisageons à cet elïet les quatre intégrales abéliennes distinctes de seconde espèce de la courbe bypereUiptique
rdx l'xdx rx-'-dr fx-^dx
et formons l'intégrale doul)le
(8) J J -J-y--L-^dx,dx, (/>,5r=o, 1,2,3).
D'après sa formation méine, cette intégrale double a les caractères d'une intégrale double de seconde espèce. Exprimons-la à Faide des variables u et v. On a
, , du de dit dv dx.dx. = -^^ ---rxy-i —'
:\oo CHAiMTin: xiv.
L'intégrale devient alors
Le coefficient de dudv est nne fonction rationnelle sjmétricjuc (le J^i et x^ et, par suite, une fonction quadruplenient périodique; de II et r. 11 en résulte que Tintégrale (8) est de la forme
(9) / j K{x,y,z)dxdy,
Il étant rationnelle en x^y et c, et il serait d'ailleurs facile de la calculer; c'est donc une intégrale double de seconde espèce de la surface y définie par les équations (^).
11 y a .S7.r combinaisons de la forme (8); nous obtenons donc ainsi six intégrales doubles (9) de seconde espèce de notre surface, juais nous allons montrer qu'elles ne sont pas distinctes.
Reportons-nous en efï'et à la formule fondamentale dans la théorie des fonctions abéliennes de Weierstrass, que nous avons utilis('e précédemment pour unautre objet(page i98dece Volume), et que nous (''crirons
^1 \{x,-x,)>Jf{x,)f{x,)\
fix.)
^■■2)Vj\^l)A^2)
vf^-n)A-r;)
[] étant un polvnoine en Xf et x.2, défini ])ar cette identité même, qui est du troisième degré par rapport à Xf et par rapport à x-^.
Elle montre qu'on ])eut former une combinaison linéaire à coefficients constants (non tous nuls) des expressions ; '
^P ^<l ^7 rr.V
y\yi
qui se réduit à une somme de dérivées partielles. On en déduit qu' y a une combinaison linéaire des intégrales (9) ([ui est de la form
\- -— \ dx dy,
ôx dy ' ^ '
U et V étant rationnelles en x^ y et ^, c'est-à-dire que les intégrales formées se réduisent à citicj. On vérifiera facilement que l'on
SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 45 I
obtient ainsi cinq intégrales doubles distinctes de seconde espèce de la surface j\ si le polynôme f{x) est arbitraire, et le théorème établi précédemment, à savoir que
pour une surface hyperelliptique, se trouve établi par une tout autre voie.
Sur la surface de Kummer et les nombres p et po qui lui correspondent.
12. Dans les deux Sections précédentes, il a été question de surfaces hyperelliptiques telles qu'à un point arbitraire de la surface ne correspond qu'un système (m, t^), abstraction faite de multiples des périodes.
Il existe des surfaces dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres, et pour lesquelles correspondent à un point arbitraire de la surface deux systèmes distincts de valeurs u et v.
Il est facile d'en donner un exemple en reprenant les équations abéliennes du n° 10. Envisageons, avec les mêmes notations, la surface définie par
y =^xix.i,
A un point arbitraire [x, y^ z) de cette surface correspondront un système de valeurs (:r<, X2) et le produit j^4jK2- On aura pour y^ ely2 deux systèmes de valeurs
yi, JK2 et — jKi, —72;
donc, à un point arbitraire de la surface correspondent deux systèmes de valeurs de u et ç.
13. Parmi les surfaces jouissant de la propriété précédente, la plus célèbre est la surface de Kummer, surface du quatrième degré P. KT S., IL ' 3o
/J52 CHAPITIIK XIV.
ayant seize points doubles. 11 ne serait pas dans notre sujet d'en faire une étude, même superficielle; nous allons seulement calculer les nombres p et po q^ii lui correspondent.
Le nombre p est facile à calculer, si nous nous reportons à une proposition extrêmement intéressante de M. Humbert relative aux courbes al<;ébriques tracées sur une surface de Kummer (non singulière). D'après ce tbéorème, toutes les courbes algébriques tracées sur une surface de Kummer sont de degré pair, et, si 2 n désigne le degré d'une telle courbe, on peut le long de cette courbe circonscrire à la surface une surface de degré n ne la coupant pas en dehors de la courbe considérée. On déduit de là immédiatement que 0=1. Car, si une courbe G, de degré 2/z, est l'intersection de la surface de Kummer avec la surface
f^{x,y,z) = 0, et, si une courbe Go de degré 2 n.2. est donnée par la surface
on a une intégrale de dilTérentielle totale de troisième espèce représentée par le logarithme
avant comme uniques lignes logarithmiques G, et Go. On déduit de là que p est égal à un pour la surfiice de Kummer.
H. Gherchons le nombre po relatif à cette surface. Jl nous faut appliquer ici la formule générale de la page /\oi)
p^^ = N -^ d — /ip — ( m — \) ^ '}. r—(p — i)
aj)pllcable au cas où, outre la ligne double, la surface a cl points isolés.
L'ap[)llcalion en est facile à la surface de Kummer.
On sait (pie
;• — o, p = I ; de plus on a
La formule donne alors
SURFACES HYPERELLIPÏIQUES. 4^3
Nous trouvons le même nombre que pour la surface hyperellipdque générale.
lo. En suivant une marche analogue à celle du n" dl, nous pouvons former facilement cinq intégrales doubles de seconde espèce relatives à la surface du n" 12 définie par les équations
Ces intégrales doubles ont toujours la même forme
' ' - dxxdx^ {p, q = o. i, 2, 3).
Cette intégrale peut s'écrire dans le cas actuel
'x'I x'( — x'{t^[ dx dy
Xi — Xo z
11 est clair que
x'ix'i— x'[x'l
Xi X2
est un polynôme P(^, jr), et l'on a donc une intégrale
V {x^ y) dx dy
ff
l'équation de la surface étant
¥[x^y) étant un polynôme en x et jr.
Pour les mêmes raisons que plus haut, ces six intégrales doubles de seconde espèce se réduisent à cinq ; elles sont distinctes si le polynôme f{x) du cinquième degré ne satisfait pas à certaines conditions particulières.
Sur les conditions pour qu'une surface soit kyperelliptique.
J6. Nous avons indiqué plus haut (Section 1 de ce Chapitre) certaines propriétés d'une surface hyperelliptique, pour laquelle il
454 CHAPITRK XIV.
y a correspondance uniforme avec le prismatoïde des périodes. On peut se poser la (juestion inverse, et se demander comment on reconnaîtra si une surface donnée de degré m
est susceptible d'a\oir les coordonnées (x, r, ô) d'un quelconque de ses points exprimées par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres, de telle sorte qu'à un point arbitraire de la surface ne corresponde qu'un seul système de valeurs de ces paramètres (aux périodes près).
On devra tout d'abord avoir pour la surface /' = 4 ? il T aura alors pour la surface deux intégrales de dillerentielles totales de première espèce; soient
V> dx — kdy r Bj dx — Aj dy
rV>dx — Kdy r B,
Ces deux intégrales devront n'être pas fonctions l'une de l'autre. En outre, la surface doit être du genre géométrique un\ enfin, nous a\ons montré que l'adjointe d'ordre m — 4 coupe, en dehors de la ligne double, la surface / suivant des courbes simples F de/' (pii sont unicursales (ces courbes peuvent manquer).
17. On peut montrer que ces conditions nécessaires sont suffisantes (' ); nous allons indiquer sommairement la démonstration. Soient
COi CO2 W3 t04 •J( 'J2 U3 U;
les quatre couples de périodes des deux intégrales précédentes. En se servant des théorèmes classiques dans la théorie des intégrales abéliennes, on obtient la relation entre ces périodes
- c//,co,'j/, = o (c//, = — c/,/) (f, k= I, '2, 3, 4 ),
(*) Comparez : E. Picard, Journal de Math., i885, p. 334; ^t i^^9i P- 224. Dans le second Mémoire, M. Picard, s'appuyant sur une proposition de M. Nôther, dit que la condition relative à l'unicursalité des courbes T est remplie d'elle-même ; mais la proposition de M. Nother est sujette à des restrictions, et la condition doit être maintenue. C'est ce qui résulte d'un exemple de M. Castelnuovo, que nous avons cité (t. I, p. 223), relatif à une surface du cinquième ordre avec trois tacnodes.
SURFACES HYPERELLIPTIQLKS. 4^5
les c étant des entiers, et le déterminant symétrique gauche
\cijA
n'étant pas nul, comme on le déduit de l'inégalité de Piiemann fondamentale dans ce genre de cjuestion.
18. En effectuant simultanément sur les w et les -j une substitution à coefficients entiers, dont le déterminant différent de zéro peut être a priori supérieur à un, on obtient de nouvelles périodes
( Qi î>o Q3 à., M^ 1% Ta n
avec la relation
Qi V2 — i>2 \\ 4- 12,3 ^\ — ^^i ^'3 = t) •
Il est alors possible de former avec un polynôme du cinquième degré convenable y (^) deux intégrales distinctes de première espèce
roLx
cLt,
t dx.
dont le tableau des périodes corresponde à (9'), Considérons alors les équations
1 r*^-^-* -^dx — l^dy
et les équations
^(.rO,j;) J\ J(,r.n,jn) J^2
En égalant entre eux leurs premiers membres, on voit que toute fonction rationnelle
symétrique par rapport à (.r,,y,)et (x-2^y-2)i est racine d'une éqiialion algébrique dont les coefficients sont fonctions rationnelles de {x<,y, :j). 11 en résulte que
T, y et z
sont des racines d'équations algébriques dont les coefficients sont des fonctions uniformes quadruplement périodiques de u et v.
Ainsi .r,j' et z définies par les équalions (lo) n'ont, pour chaque \aleur de u et r, f[u'un nombre limité de valeurs, et ont pour toute valeur finie de u et i' le caractère d'une fonction rationnelle ou d'une fonction algébrique.
^ous ne nous sommes pas servis jusqu'ici de la condition relative aux courbes Y . On se rappelle que l'on a
ABi-BA,=/i.Q(.r,j,.~),
()(jr,>', ^) étant f adjointe d'ordre m — /\. Tout d'abord, les courbes F étant unicursales, elles satisferont nécessairement aux équations dilïerentielles
B dx — A dy = o, B i dx — Aj dy = o,
puisque les deux intégrales de différentielles totales de première espèce, se réduisant pour une courbe F à des intégrales de fonctions rationnelles d'un ])aramètre, doivent être des constantes. Or,
d'après les équations
B dx — \ dy
f-i B,r/.r- Ai^/r
Te '"
./;, y, z ne pourront cesser d'être des fonctions uniformes de u et (* ([ue quand le point (^,.X, ^) viendra sur une courbe F. Mais, pour tous les points d'une courbe F, u et v se réduisent à deux constantes à des périodes près; nos fonctions algébroïdes de u et r ne pourront donc avoir de ligne critique pour laquelle deux ou plusieurs branches se permutent. Elles seront donc des fonctions uniformes, et, par suite, des fonctions quadruplement périodi({ues de u et r, comme nous voulions l'établir.
SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 4^7
Sur une classe d'équations aux dérivées partielles se rattachant à la théorie des fonctions abéliennes (i).
19. Arrêtons-nous un moment sur les équations différentielles de la forme
du du
âx'' dy ^
(12) f{ih
/étant un polynôme, et u désignant une fonction de deux variables indépendantes x et y.
Si II est une fonction quadruplement périodique de deux variables, qui ne se réduise pas à une fonction d'une combinaison linéaire de x et y, il y aura une relation algébrique de la forme (12) entre
du du dx dy et, si l'on pose
du du
p = -— et (p = -— , dx dy
à un point arbitraire de la surface
ne correspondront évidemment qu'un nombre limité de valeurs de (x^ y) dans un parallélépipède des périodes.
Nous allons établir d'abord que ce nombre limité de valeurs se réduit à un seul système de valeurs.
20. Admettons qu'il y ait m valeurs de (^, y) correspondant à un point arbitraire («, (^, w) de/, soient
(^\,y\), (^2,72), '-1 {Xm,ym)-
Les sommes
.2-1 + .7', -4-, ..^X,n., yi -hy-2 -+-. . .H-JKm
seront nécessairement des intégrales de différentielles totales rela-
(^) E. Picard, Journal de Mathématiques, i885, p. 338.
458 CHAPITHE XIV.
tives à la surface f
/(;/, t',U') ^(//, 4', tv)
les P et Q étant rationnelles en (;/, r, (v).
Différents cas peuvent se présenter relativement à ces deux intégrales.
!21. Supposons en premier lieu que ces deux intégrales se réduisent à des constantes. Faisons un peu varier et arbitrairement (m, r, w) de manière à passer à (;^', r', tr'), on aura les nouvelles valeurs de :r ety voisines des précédentes
Nous aurons ici
^ X\ -f- 370 -î- . . . — r- X ifi = a"| — h a^2 "^ . . . -f- ^//; »
Les quantités x\ — xi sont de l'ordre de {^ii! — ?/) et (r' — (^). On a
, , , . . du , , ^ du, , , .
les termes non écrits étant d'ordre supérieur au premier, et des égalités analogues en remplaçant l'indice un par les indices deux, trois, .... Comme on a
du du dxi ~~ dx.2
du
' ' dx„
du du
^ri ~ ^t^2
du
et les égalités analogues avec les accents, il viendra, en additionnant et tenant compte des égalités (i4);
inYu{x\, y\) — w(^i, J'i)] = quantité du deuxième ordre.
Or ceci est impossible, puisque [x\ — x^) et {y\ — y,) sont du premier ordre; il faudrait que l'on eût, j)our toute valeur de x^
ce qui n'a pas lieu.
du du
SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 4^9
22. Les deux inlégrales (i3) ne se réduisent pas toutes deux à des constantes. Or, nous allons montrer d'abord que ces deux intégrales ne peuvent être distinctes. En effet, en remplaçant w, v^ w par leurs valeurs en ^ et jk, elles deviennent respectivement
les a, [^, Y étant des constantes. Si les intégrales sont distinctes, ap' [^a' n'est pas nul; il en résulte que a^ -h j3/ et 'yl x -\- ^'y et, par suite, x ely n'ont qu'une valeur pour u^ v, w donnés, aux périodes près.
L'une des intégrales est donc égale à une fonction linéaire de l'autre ; on peut supposer que
Pj du + Qi dç = X{F du -f- Q dç),
A étant une constante. Gardons x comme variable, et prenons y — Ax comme seconde variable, que nous continuerons à désigner par y. La somme
est alors variable avec (w, t^, tv) et elle est une intégrale de première espèce, tandis que
yi-^r-2-^-- • +7/» = const.
L'intégrale de première espèce qui représente .^,4-^^ sera susceptible de la forme
La constante a n'est pas nulle, car alors j^ n'aurait qu'une valeur (étant une intégrale de première espèce) et, par suite, on aurait
jKi = jKo = . . . -- y m = const. ,
ce qui est absurde.
Prenons enfin, au lieu de la variable x, la combinaison cf.x-\-'^y-\-y comme variable ; nous la désignerons encore par x, pour ne pas multiplier les notations. Alors, avec les deux variables x ely définitivement choisies, jious aurons
iPj = X-2 = . . . = •2^/«5
^6o CHAPITRE XIV.
et, par suite, à un point arbitraire (w, r, iv) de / correspondent
X étant le même partout.
Reprenons le raisonnement du numéro précédent en considérant lin point arbitraire (u', r', iv') de /, voisin de (u, i>, w). On aura alors
s au 11'
7ti[u(.r\,y\) — «(^i,ri)] = m{T[ — Xi) — -i- termes de degrés supérieurs.
Mais ceci entraîne
au
pour un système arbitraire de valeurs de Xi et j,, ce qui est impossible, car u serait une fonction d'une seule lettre combinaison linéaire des variables primitives x ely.
Nous avons épuisé toutes les suppositions, et il nous faut donc
conclure cfue
comme nous l'avons énoncé.
23. Posons-nous maintenant la question suivante : Etant donnée l'équation aux dérivées partielles
/ du du \
peut-on y satisfaire en prenant pour u une fonction uniforme quadruplement périodique de x et y1 Tout d'abord la surface
f(u, r, iv) — o
devra satisfaire aux conditions de la Section précédente. On aura donc tout d'abord à rechercher si l'on peut exprimer u, ^, w par des fonctions quadruplement périodiques de deux paramètres x et y. La surface précédente devra admettre deux intégrales de première espèce
B r/u — A r/r T Bi du — A , dv
r n du — A dr r
SURFACES HYPKRELUPTIQUES. 4^1
On doit pouvoir trouver deux combinaisons linéaires indépendantes de ces intégrales, telles que les deux équations aux différentielles totales
( /B -i- m Bi) du — (IX-+- niXj ) dv ^ ^^
/te
( nB -h pB\) du — (nX-+- pXj) dv ,
Jl " ^
donnent, pour «, ç, (r, des fonctions quadruplemenl périodiques
de X ety, et telles que
du du
Ox dy
Cherclions à quelles conditions on pourra déterminer les quatre constantes /, m, /i, p de façon qu'il en soit ainsi : nous n'aurons
qu'à calculer -^ et -r^ à l'aide des équations précédentes. On trouve
de suite, en posant comme plus liant BA, — AB, ■=■ fl^- Q("7 *^ ^'^)»
du /iA-+-/?Ai du IX -h mXi
'dx ~~ ( Ip — m II ) Q * ày ~ (Ip — m?i)(l
Nous devrons avoir
/lA-f- pAi— {Ip — m/i)Q,v, IX -h mAi — — ( Ip — mn) Q. ip,
et ces relations, devant avoir lieu, pour tout point de la surface, seront des identités en u, r, çv, puisque les degrés des polynômes qui y figurent sont moindres que le degré de la surface. Nous pouvons donc enfin écrire
A = — (^.{inv -\- pw), Xi= Q.{ Iv -^ nw).
Ainsi les polynômes A et A, doivent être divisibles par Q(w, r,(T'), et les quotients doivent être homogènes et linéaires en v et iv. Lorsque ces conditions seront remplies, on aura par les divisions mêmes de A et de A, par Q les quatre constantes /, m, /«, /?, et les équations aux différentielles totales qui doivent donner a en fonctions de ^ et j^ seront complètement déterminées; on est donc ramené à la question traitée dans la Section précédente.
Sur une surface algébrique admettant une infinité discontinue de transformations birationnelles.
24. Les surfaces liyperelliptiques i^énérales dont nous nous sommes occupés dans ce Chapitre donnent un exemple de surfaces admettant der transformations birationnelles en elles-mêmes dépendant de deux paramètres. Nous ne voulons pas nous occuper ici de l'intéressante question relative à la transformation birationnelle des surfaces en elles-mêmes. Nous terminerons seulement ce Cliapitre en montrant que, pour une surface, contrairement à ce qui arrive pour une courbe ('), il peut y avoir une infinité discontijiue de transformations birationnelles de la surface en ellemême, sans qu'il y existe une transformation continue, c'est-à-dire dépendant de un ou plusieurs paramètres arbitraires.
Ce fait a été si<;nalé pour la première fois par M. Humbert, qui a indiqué un exemple emprunté à la théorie de la surface de Kummer {(Comptes rendus, 3o janvier 189-). Peu après, M. Painlevé a donné un exemple plus simple (-) : nous allons indiquer l'exemple de M. Painlevé, où nous retrouverons quekjues-unes des notions relatives aux surfaces algébriques étudiées dans cet Ouvrage.
En désignant par p{z) la fonction elliptique, telle que la considère Weierstrass, envisageons la surface déterminée parles équations
A un point arbitraire de la surface correspondent deux valeurs distinctes des paramètres, à savoir :
(u, v) et (— w, — p),
(*) Pour ce point, on peut consulter le Traité d'Analyse de M. Picard (t. II, 2« édit., p. /|83).
(^) P. Painlevé, Sur une surface admettant une infinité discontinue de transformations birationnelles {Comptes rendus, i'\ février 1897).
SURFACES HYPERELLIPTIQUES. 4^3
à des multiples près des périodes. Posons
U = m w H- nv.
V = pu ^ q ç^
m, n^ p et g étant des entiers satisfaisant à la relation
m q — np = d= i .
A un point [x^y^ z) de la surface correspondent les valeurs (w, <^), ( — w, — v) et, par suite, les valeurs (U, V), ( — U, — V). Si donc on pose
X, Y, z seront des fonctions rationnelles de x^ y^ z et inversement. Nous avons donc ainsi une infinité discontinue de transformations birationnelles de la surface en elle-même.
On voit de suite que la surface possède une infinité de courbes unicursales. Tout d'abord, pour u = (^, on a une droite de la surface. La transformation S donne la courbe correspondant à
\} =:z [m -\- n)u = [xu, V =: (/? -h q)u = ^^u.
Or jji et V peuvent être pris arbitrairement (entiers), pourvu qu'ils soient premiers entre eux. La courbe
étant de degré aussi élevé qu'on le veut, nous sommes assurés d'avoir sur la surface des courbes unicursales dont le degré est aussi grand que l'on veut.
Ceci posé, nous allons montrer que la surface ne peut posséder une transformation birationnelle en elle-même dépendant d'au moins un paramètre arbitraire.
