CHAPITRE XIV. — SURFACES HYPERELLIPTIQUES

on voit immédiatement, en l'écrivant de la manière suivante :

dx dy

cjii'elle est de la forme

R(^, jK, z)dxdy,

If'

R étant rationnelle en x^ y el z] de plus, elle est de première espèce, d'après la forme (i5).

Nous avons vu (t. I, p. 194) qu'une surface sur laquelle il existe une famille (dépendant d'un paramètre arbitraire) de courl)es unicursales a nécessairement son genre géométrique nul. Il ne peut donc exister sur notre surface une telle famille de courbes unicursales.

Or suj)posons que la surface admette la transformation biralionnelle

(S) x' =^i{f, X, y,z), y = p.i(t; x,y,z), z' = p^if, x, y, z),

où l'on peut admettre que le paramètre t entre algébriquement dans les fonctions rationnelles p de x^y et z. Il faudra que cette transformation (S) transforme en elle-même chaque courbe unicursale de la surface, sans quoi la surface admettrait une famille de courbes unicursales, dépendant d'un paramètre arbitraire /. Donc, pour un point (ûOq, y^^ Zo) d'une telle courbe, la transformation (S) donne, en faisant varier ^, la courbe elle-même; son degré est donc limité. Mais il y a là une contradiction, puisque la surface contient des courbes unicursales dont Iç degré est aussi grand que l'on veut. Nous avons donc bien un exemple d'une surface possédant la propriété indiquée.

SUR CERTAINES ÉQUATIONS FONCTIONNELLES ET SUR UNE CLA.SSE DE SURFACES ALGÉBRIQUES,

Par M. Emile Picard (').

1. Dans un article sur une classe de surfaces algébriques dont les coordonnées s'expriment par des fonctions uniformes de deux paramètres {Bulletin de la Société mathématique, t. XXVIII, 1900), j'ai appelé l'attention sur certaines surfaces algébriques. Ayant traité récemment celte question dans mon cours, je me suis aperçu que les considérations employées pouvaient être présentées sous une forme plus générale. C'est ce que je vais indiquer, en reprenant la question dès le début.

Envisageons d'abord une substitution rationnelle sur les m lettres

Ix'^ Ri {x, y, ..., O,

On suppose que ^ = y = ...= ^=:o est un point double de cette substitution et que, dans le voisinage de ces valeurs, on peut écrire

x' = ax -^ Çli (ce, y, .... t),

y'=f>y-^Qi {^, y, •••, 0:

t' = It -HQ,«(ir, JK, ..., ^),

les Q étant des séries entières, commençant par des termes au moins du second degré; il est admis de plus que

\a\>i, \b\>i, ..., K|>i, (1) Comptes rendus, 4 juillet 1904.

et enfin, on n'a pas entre deux quelconques des coefficients a, h, ...,/,

soit par exemple a et h, de relations de la forme

af^ = b ou b^'^ = a (A et /.• entiers positifs). -2. Ceci posé, on peut trouver des fonctions de m lettres u,i^, , . .,iv,

holomorphes dans le voisinage de .^ :- r =: . . . - ^v = o, méromorphes dans les plans de ces variables complexes, et satisfaisant aux équations fonctionnelles

fiau.bv, ...,/(p) = Ri (/'?' •••.'4^).

o{aa,bK^, ...,/îv)-R2 (/,?, •••,4^), C^) \[ ,

La démonstration de ce résultat peut se faire de différentes manières, soit par le calcul direct des coefficients des développements autour de l'origine, soit en procédant par approximations successives, comme je l'ai fait dans le cas beaucoup plus difficile où se présentent à l'origine des singularités essentielles {Acta mathematica, t. X\ III et XXIII, Suî' une classe de transcendantes nouvelles).

On part de la remarque que l'équation fonctionnelle

f{au,bv, ,..,lw) = af{u,ç, . . ., t^) 4- P( ", ^', ...,^^).

où P{u, r, ..., ^v) est une fonction liolomorphe donnée autour de l'origine, commençant par des termes du second degré, détermine complètement/, si l'on suppose que le coefficient de la première puissance de ./ a une valeur donnée (soit l'unité). Il est alors facile de montrer que les approximations successives ^

/„(««, bv. . . ., hv) = afn {U, P, . . ., iv) + Qi [/«-i, c?„-i, . . ., 'l'"-!]:

0„(//7<, 6(^ ...,/cV^) = 6cp„(a, i', ...,tï^) + Q2 [/«-n?«-l' •••.4^«-l]'

.i;„(^ï«, bv, ,..Jw) = l^n{u, V, ..., iV)-^(l,nUn-U ^ n-U • • • , 4^«-l l

OÙ l'on part de

et où, dans/,,, o,„ . . ., ^., les termes du premier degré sont respectivement u, V, ..., iv, convergent uniformément vers une limite. Un obtient ainsi la solution des équations (2), holomorplie autour de