ÉQUATIONS FONCTIONNELLES ET SURFACES ALGÉBRIQUES
l'origine; on fait enfin aisément, au moyen de ces équations fonctionnelles elles-mêmes, le prolongement analytique des fonctions pour toutes valeurs de m, (^, . . ., w, de manière à avoir des fonctions partout méromorphes.
3. Le résultat précédent s'étend au cas où Ton aurait, au lieu des m lettres indépendantes a:, y, . - ., t, ces m lettres liées par une relation algébrique admettant une transformation rationnelle en ellemême. Il suffira de prendre le cas d'une courbe et celui d'une surface algébrique.
Soit une courbe algébrique
admettant la transformation rationnelle (3^
Nous supposons que l'origine soit un point simple de la surface et un point double de la transformation précédente. Alors, autour de l'origine, les équations (3) se ramènent à l'unique équation
x' = ax -t- Qi(:r),
Qi ne renfermant pas de terme du premier degré, et nous faisons l'hypothèse que \a\ est supérieur à un. Dans ces conditions l'analyse du paragraphe précédent est applicable, et l'on a finalement, pour la courbe F,
/"et cp étant des fonctions méromorphes de ii dans tout le plan, satisfaisant aux. équations fonctionnelles
^{au)=^ R2[/(w), o(w)].
Mais ce résultat ne donne rien de nouveau. En effet, de ce que \ a \ est différent de m/i, il résulte que la courbe F admettra une infinité de transformations rationnelles en elles-mêmes et, par suite, elle sera du genre zéro ou un. Si la courbe est du genre un, la constante a sera nécessairement un entier (sauf le cas de multiplication complexe).
h. Que donnent les considérations précédentes pour une surface algébrique? Nous supposons que, pour une surface algébrique
P. ET S., II. . 3l
468 NOTK I.
il V ait une transformation rationnelle en elle-même
x' = Ri (a'-, jK, z).
susceptible, dans le voisinage de l'origine (point simple de la surface)^ de se mettre sous la forme
x' = ax -\- Qi(.r, jk),
y = ^y-^Qi{^, y),
Qi et Q., commençant par des termes au moins du second degré, en admettant de plus que
On pourra alors exprimer les coordonnées œ, /, z d'un point quelconque de la surface par les formules
/, cp, 'l étant des fonctions méromorplies de u et r, satisfaisant aux. équations fonctionnelles
/{au, bv) = Ril/(^^ ^)' ?("' ^0^ 4^(««» <')]' o{au, bv) = R2[/(w, V), o(w, v), ^{u, v)\, ^[aa, bv) = ]\:i[f{u, v), o(u, v ), 6 (a, (')].
Quelle est retendue de la classe des surfaces que nous venons de rencontrer? C'est une question à laquelle je ne puis malheureusement répondre.
La surface admettra manifestement une infinité de transformations en elles-mêmes, que l'on obtient en prenant les puissances successives de la transformation initiale. Quand il s'agissait d'une courbe, nous pouvions conclure qu'elle était de genre zéro ou un, mais on ne connaît rien de général sur une surface admettant une \n{\n\lè discontinue de transformations rationnelles. On sait seulement, comme l'a montré le premier M. Humbert, qu'il existe des surfaces admettant une infinité discontinue de transformations rationnelles sans admettre une infinité continue, et M. Painlevé en a donné un second exemple extrêmement simple (^).
(') Voir sur ce point le dernier Chapitre de ce Volume (dernière Section).
