Considérons donc la surface

/(a7, jK, 5) = o (de degré m),

et, en supposant n supérieur à un^ soient (^1, jKi, ^i), •••, {^ n-^ y nt ^ ri) les coordonnées de n points arbitraires de la surface. Désignons par

ÇI1 Ç2i • • • ) Ç2/1-+-1

in-\-\ fonctions rationnelles symétriques des {x^ y, s), prises d'ailleurs arbitrairement, on aura une hjpersurface

dans l'espace à 2/1 -f-i dimensions, et, de plus, puisque les fonctions symétriques ^ sont arbitrairement choisies, cette surface correspondra uniformément au groupe des n points.

D'après les hypothèses faites, les coordonnées d'un point arbitraire de la surface F s'exprimeront uniformément par des fonctions abéliennes de 2n variables Wj, Uç,^ . . ., u^n- I^a notion d^ genre géométrique s'étend immédiatement des surfaces de l'espace à trois dimensions aux hypersurfaces dans l'espace à un nombre quelconque de dimensions. Notre surface F ne pourra posséder qu'une seule intégrale multiple de première esjjèce d'ordre 2/î, et cette intégrale correspondra à l'intégrale multiple

dui duo. . .da^/i ;

le genre géométrique de la surface F est donc égal à un. De plus, la surface F aura ■>, /^ intégrales de différentielles totales de première espèce, dont l'inversion donnera les ç en fonctions abéliennes des u.